探究點(diǎn)一　計(jì)算高度【典例1】如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.?
【思維導(dǎo)引】畫出空間圖形和平面圖形,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,解三角形.
【解析】如圖所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由 得在Rt△BCD中,答案:100
【類題通法】測量高度問題的解題思路1.高度的測量主要是解決一些底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題.常用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體的頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.2.這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐,再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個(gè)或者幾個(gè)三角形,從而求出所需測量物體的高度.
【定向訓(xùn)練】如圖,要在山坡上A,B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高,由A,B兩處測得塔頂C的仰角分別為60°和45°,AB長為40 m,斜坡與水平面成30°角,則鐵塔CD的高為________m.?
【解析】延長CD交過A,B的水平線于點(diǎn)E,F,則∠CAE=60°,∠CBF=45°,∠DBF=30°,所以∠BCF=45°,∠ACE=30°,∠BDF=60°,所以∠BCA=15°,∠ADC=120°,∠CBA=15°,∠CAD=30°.所以AC=AB=40 m,在△ACD中,由正弦定理得, 即 解得答案:
探究點(diǎn)二　計(jì)算角度【典例2】某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度向正東方向勻速行駛,經(jīng)過t小時(shí)小艇與輪船相遇.假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的時(shí)間與輪船相遇,并說明理由.
【思維導(dǎo)引】先畫出簡圖,再對照圖形理解題意,然后確定各個(gè)角度、各條邊長(邊長有已知的,有用字母表示的),并嘗試用正、余弦定理,函數(shù),不等式的知識解答.
【解析】設(shè)小艇航行速度的大小是v海里/小時(shí),如圖所示,設(shè)小艇與輪船在B處相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcs A.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcs (90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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