【知識(shí)生成】　實(shí)際測(cè)量問題中的常用角(1)仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫_____,在水平線下方的角叫_____(如圖(1)).(2)方位角指從正北方向___時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(2)).
(3)方向角:相對(duì)于某正方向的水平角,如北偏東45°,南偏西30°(或西偏南60°)等.
(4)坡角與坡度:坡面與_______所成的二面角叫坡角,坡面的鉛直高度與_________之比叫坡度 如圖.
探究點(diǎn)一　測(cè)量一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離【典例1】如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離,測(cè)量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B兩點(diǎn)的距離.
【思維導(dǎo)引】在三角形中由正弦定理計(jì)算距離.【解析】∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得, 所以AB= 即A,B兩點(diǎn)間的距離為20 m.
【類題通法】求距離問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)選定或確定所求量所在的三角形.若其他量已知,則直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.
【定向訓(xùn)練】　如圖,為了測(cè)量A,C兩點(diǎn)間的距離,選取同一平面上B,D兩點(diǎn),測(cè)出四邊形ABCD各邊的長度(單位: km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B與∠D互補(bǔ),則AC的長為__________ km.?
【解析】在△ACD中,由余弦定理得cs D= 在△ABC中,由余弦定理得cs B=
又因?yàn)椤螧與∠D互補(bǔ),所以cs B=-cs D,即 解得AC=7.答案:7
探究點(diǎn)二　測(cè)量都不可到達(dá)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離【典例2】如圖,從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時(shí)氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于(　　)
A.30( +1)mB.120( -1)mC.180( -1)mD.240( -1)m
【解析】選B.方法一:記A點(diǎn)正下方地面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為O,由題意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由 =tan75°=tan(45°+30°)= 得到OB= 在Rt△AOC中,由 =tan30°= 得到OC= =60 ,
所以河流的寬度BC等于OC-OB=60 -60(2- )=120( -1)m.
方法二:記A點(diǎn)正下方地面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為O,由題意可得OA=60,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cs 45°+cs 30°sin 45°= 所以AB=
在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理,得 得BC=
【類題通法】解三角形的注意事項(xiàng)(1)根據(jù)三角形已知的邊長和角,明確要求的邊長或角,靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理計(jì)算.(2)優(yōu)先運(yùn)用直角三角形中的邊長和角,記住特殊角的三角函數(shù)值能計(jì)算 sin 15°= 等.
【定向訓(xùn)練】如圖,A,B,C,D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75°,30°,于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60°,AC=0.1 km試探究圖中B,D間的距離與另外哪兩點(diǎn)間的距離相等,然后求B,D的距離.(計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示)
【解題指南】先求∠ADC與∠BCD,進(jìn)而可發(fā)現(xiàn)CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.
【解析】在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1,又∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠ACB=60°,故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA,在△ABC中, 即AB=
因此,BD= .故B,D的距離為 km.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】　　　如圖所示,為了測(cè)量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測(cè),A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測(cè)B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,求A,B兩處島嶼間的距離.
【解題指南】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,然后在△ABD中由余弦定理求得AB.
【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得: 解得AD=
在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD= CD=40 (海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcs∠ADB=800+3 200-2×20 ×40 × =2 400,解得AB=20 (海里).
探究點(diǎn)三　有關(guān)距離的綜合問題【典例3】如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+ )海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20 海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營救,其航行速度為30海里/小時(shí),該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要多長時(shí)間?
【思維導(dǎo)引】已知速度,要求時(shí)間,只要求出路程,即CD的長即可.觀察CD所在的三角形,有△ACD和△BCD,確定用△BCD來求CD.
【解析】由題意知AB=5(3+ )海里,因?yàn)椤螪AB=90°-45°=45°,∠DBA=90°-60°=30°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△ADB中,由正弦定理得所以DB=
又因?yàn)椤螪BC=180°-60°-60°=60°,BC=20 海里,所以在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BCcs ∠DBC=300+1 200-2×10 ×20 × =900,
所以CD=30(海里),所以需要的時(shí)間t= =1(小時(shí)),即救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要1小時(shí).
【類題通法】航行問題的解題技巧(1)在航行等問題中,通常是把方位角(方向角)與幾何圖形結(jié)合起來,求出幾何圖形的有關(guān)角.(2)幾何圖形的應(yīng)用是解決實(shí)際問題的重要輔助手段,一是從圖形的完整性方面畫出圖形;二是把多邊形向解三角形轉(zhuǎn)化.
【定向訓(xùn)練】1.若本例條件不變,該救援船應(yīng)沿東偏北多少度的方向去營救?
【解析】由本例解析知在△BCD中,DB=10 ,BC=20 ,CD=30,故DB2+CD2=BC2.所以∠CDB=90°,又因?yàn)椤螩BD=60°.所以∠DCB=30°.過C作AB的平行線CE,
即∠BCE=∠CBA=30°,所以∠DCE=60°.故該救援船應(yīng)沿東偏北60°的方向去營救.
2.本例中若不知救援船的速度,其他條件不變,要求救援船必須在40分鐘內(nèi)到達(dá),則救援船的最小速度為多少?【解析】設(shè)救援船的速度為v海里/小時(shí),由本例解析求得CD=30海里,由 得v≥45.即救援船的最小速度為45海里/小時(shí).
余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——距離問題
1.數(shù)學(xué)抽象：常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語；2.邏輯推理：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用余弦定理、正弦定理求距離；4.數(shù)學(xué)模型：在適當(dāng)?shù)娜切沃薪饩嚯x。
1 解決應(yīng)用題的思想方法 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題2.求解三角形應(yīng)用題的一般步驟（1）審題（分析題意，根據(jù)題意，畫出示意圖）（2）建模（將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形的數(shù)學(xué)問題）（3）求模（正確運(yùn)用正、余弦定理求解）（4）還原。
1.選定或確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解2.若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解
1.為測(cè)一河兩岸相對(duì)兩電線桿A,B間的距離,在距A點(diǎn)12米的C處(AC⊥AB)測(cè)得∠ACB=30°,則A,B間的距離應(yīng)為(　　)A.6米　　　B.4 米　　　C.6 米　　　D.12 米【解析】選B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan 30°= ,得AB=ACtan 30°=4 (米).
2.如圖,已知A,B,C三地,其中A,C兩地被一個(gè)湖隔開,測(cè)得AB=3 km,B=45°,C=30°,則A,C兩地的距離為(　　)A.3 kmB.4 kmC.3 km D.5 km
【解析】選C.根據(jù)題意,由正弦定理可得 代入數(shù)值得 解得AC=3 .
3.某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°距離為10海里的C處,此時(shí)得知,該漁船沿北偏東105°方向,以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近,艦艇時(shí)速21海里,則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是________.?【解析】如圖,設(shè)經(jīng)過t小時(shí)漁船和艦艇同時(shí)到達(dá)B處,此即為艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間.
在△ABC中,∠C=45°+75°=120°,CA=10,CB=9t,AB=21t.由余弦定理,得(21t)2=102+(9t)2-2·10·9t·cs 120°,即36t2-9t-10=0,解得t= 或- (舍).答案:40分鐘
4.如圖,某城市有一條公路從正西方AO通過市中心O后轉(zhuǎn)向北偏東 角方向的OB.位于該市的某醫(yī)院M與市中心O的距離OM=3 km,且∠AOM=β.新冠肺炎疫情期間,為了更快地將患者送到醫(yī)院救治,要修筑一條公路L,在OA上設(shè)一中轉(zhuǎn)站A,在OB上設(shè)一中轉(zhuǎn)站B,公路在AB部分為直線段,且經(jīng)過醫(yī)院M.其中tan α=2,cs β= ,AO=15 km.
(1)求醫(yī)院M與中轉(zhuǎn)站A的距離AM;(2)求公路AB段的長度.
【解析】(1)在△AOM中,AO=15 km,∠AOM=β且cs β= ,OM=3 km,由余弦定理得,AM2=OA2+OM2-2OA·OM·cs∠AOM=152+(3 )2-2×15×3 × =72.所以AM=6 km,即醫(yī)院M與中轉(zhuǎn)站A的距離AM為6 km.
(2)因?yàn)閏s β= ,且β為銳角,所以sin β= ,在△AOM中,由正弦定理得, 即所以sin∠MAO= ,由題意知∠AOB> ,所以∠MAO= ,所以∠ABO=α- ,

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6.4 平面向量的應(yīng)用

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