6.4.3正弦定理導學案編寫：廖云波      初審：孫銳      終審：孫銳  廖云波【學習目標】1.了解正弦定理的推導過程，掌握正弦定理及其基本應用2.能用正弦定理解三角形，并能判斷三角形的形狀3.能利用正、余弦定理解決綜合問題【自主學習】知識點1  正弦定理的呈現(xiàn)形式1.＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)；2．a＝＝＝2Rsin A；3．sin A＝，sin B＝，sin C＝.知識點2  正弦定理的常見變形1．sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；2.＝＝＝＝2R；3．a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；4．sin A＝，sin B＝，sin C＝.知識點3  利用正弦定理判斷三角形的解的個數(shù)已知三角形的兩角和任意一邊，求另兩邊和另一角，此時有唯一解，三角形被唯一確定．已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定．具體做法如下：由正弦定理得sinB＝，①若>1，則滿足條件的三角形個數(shù)為0，即無解．②若＝1，則滿足條件的三角形個數(shù)為1，即一解．③若<1，則滿足條件的三角形個數(shù)為1或2.
【合作探究】探究一  已知兩角和任意一邊解三角形【例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．[分析]　由三角形的內角和定理可求A的度數(shù)．根據正弦定理可求a，c.[解]　因為B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2(＋)． 歸納總結： 【練習1】△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，則b＝       .【答案】解析：在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，又a＝1，由正弦定理得b＝＝. 探究二  已知兩邊及一邊的對角解三角形【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝5，C＝60°；(3)a＝2，b＝6，A＝30°.[分析]　利用三角形中大邊對大角定理以及結合有解無解的圖形來考慮．[解]　(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105°>90°，本題無解．(2)b＝10，c＝5，b<c，C＝60°<90°，本題有一解．∵sinB＝＝＝，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.∴a＝＝＝＝5(＋1)．(3)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a>bsinA，∴本題有兩解．由正弦定理得：sinB＝＝＝，∴B＝60°或120°，當B＝60°時，C＝90°，c＝＝＝4；當B＝120°時，C＝30°，c＝＝＝2.∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2. 歸納總結： 【練習2】在三角形中,根據下列條件解三角形,其中有兩個解的是         。A．,, B．,,C．,, D．,,【答案】D【解析】A已知兩角一邊，三角形確定的，只有一解，B已知兩邊及夾角用余弦定理，只有一解，C中已知兩邊及一邊對角，但已知的是大邊所對的角，小邊所對角只能是銳角，不可能有兩解，D中，，有兩解．故選：D.探究三  利用正弦定理判斷三角形的形狀【例3】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．[分析]　注意到a，b在條件式中是齊次的，因此可以考慮利用正弦定理將邊化為角，通過角的特征或者關系來判斷三角形的形狀．[解]　因為(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以sin2A＝sin2B.在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B.所以A＝B或A＋B＝.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形． 歸納總結： 【練習3】在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判斷△ABC的形狀．解：由題意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，即－sin2A＋sin2C＝sin2B.由正弦定理得－a2＋c2＝b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
課后作業(yè)A組 基礎題一、選擇題1．在△ABC中，a＝5，b＝3，則sin A∶sin B的值是(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　根據正弦定理，得＝＝.2．在△ABC中，a＝bsin A，則△ABC一定是(　　)A．銳角三角形   B．直角三角形C．鈍角三角形   D．等腰三角形答案　B解析　由題意有＝b＝，則sin B＝1，又B∈(0，π)，故角B為直角，故△ABC是直角三角形．3．在△ABC中，若＝，則C的值為(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°答案　B解析　∵＝，∴＝，又由正弦定理，得＝.∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝45°，故選B.4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，則c等于(　　)A．1  B．2  C.  D.答案　B解析　∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，則cos B等于(　　)A．－  B.  C．－  D.答案　D解析　由正弦定理，得＝，∴sin B＝＝＝.∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B為銳角．∴cos B＝＝ ＝.6．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，則c的值為(　　)A．1  B．2  C.－1  D.答案　B解析　由正弦定理＝，可得＝，∴sin B＝，由a>b，得A>B，∴B∈(0，)，∴B＝.故C＝，由勾股定理得c＝2.7．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，則cos C等于(　　)A.  B．－  C．±  D.答案　A解析　由正弦定理及8b＝5c，得8sin B＝5sin C，又∵C＝2B，∴8sin B＝5sin 2B＝10sin Bcos B，∴cos B＝，∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.8．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則角C的值為(　　)A．45°  B．30°  C．75°  D．90°答案　C解析　由正弦定理，得＝，∴sin A＝.∵BC＝2<＝AC，∴A為銳角，∴A＝45°，∴C＝75°.9．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是(　　)A．直角三角形   B．等邊三角形C．鈍角三角形   D．等腰直角三角形答案　B解析　由正弦定理，知＝＝，∴tan A＝tan B＝tan C，又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，故三角形為等邊三角形．10．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(＋1)∶2，則最大角為(　　)A．45°   B．60°C．75°   D．90°答案　C解析　設C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，∴＝＝＝＝×＋＝＋，∴＝1.∴tan A＝1，又∵A為銳角，∴A＝45°，C＝75°.11．在△ABC中，＝，則△ABC一定是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案　D解析　在△ABC中，∵＝，∴acos A＝bcos B，由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.又∵A，B∈(0°，180°)，∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°.故△ABC為等腰三角形或直角三角形．12．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，則AB等于(　　)A．2  B.  C.  D．4答案　C解析　∵tan A＝，A∈(0°，180°)，∴sin A＝.由正弦定理，知＝，∴AB＝＝＝.二、填空題13．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，則a＝________.答案　1解析　由正弦定理，得＝，∴sin B＝.∵C為鈍角，∴B必為銳角，∴B＝，∴A＝.∴a＝b＝1.14．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，則B＝______.答案　45°解析　由正弦定理＝，得sin B＝，∵a>b，∴A>B.∴B只有一解．∴B＝45°.15．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，BC＝4，則AB＝________.答案　5解析　∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝ ＝.sin B＝ ＝.∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝1，∴C＝，∴AB＝＝＝5.16．已知 c＝50，b＝72，C＝135°，則三角形解的個數(shù)為________．答案　0解析　∵c<b，∴C<B，∴B＋C>180°，故三角形無解．17．在單位圓上有三點A，B，C，設△ABC三邊長分別為a，b，c，則＋＋＝________.答案　7解析　∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，∴＝＝＝2R＝2，∴＋＋＝2＋1＋4＝7.18．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，則a∶b∶c＝________.答案　1∶1∶解析　根據三角形內角和定理，得A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.19．銳角三角形的內角分別是A、B、C，并且A>B.下列三個不等式中成立的是________．①sin A>sin B；②cos A<cos B；③sin A＋sin B>cos A＋cos B.答案　①②③解析　A>B?a>b?sin A>sin B，故①成立．函數(shù)y＝cos x在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立．在銳角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B，函數(shù)y＝sin x在區(qū)間[0，]上是增函數(shù)，則有sin A>sin，即sin A>cos B，同理sin B>cos A，故③成立． 三、解答題20．在△ABC中，求證：＝.證明　因為＝＝＝2R，所以左邊＝＝＝＝＝右邊．所以等式成立．21．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的內切圓半徑．解　由正弦定理知＝，∴＝.即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.∴△ABC是直角三角形且C＝，由得a＝6，b＝8.故內切圓的半徑為r＝＝＝2.22．在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀．解　由bsin B＝csin C，得b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC為等腰三角形，由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC為等腰直角三角形．23．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.解　∵＝，∴a＝＝＝10.B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵＝，∴b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5(＋)．24．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，試判斷△ABC的形狀．解　方法一　∵acos(－A)＝bcos(－B)，∴asin A＝bsin B.由正弦定理，可得a·＝b·，∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC為等腰三角形．方法二　∵acos(－A)＝bcos(－B)，∴asin A＝bsin B.由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，又∵A，B∈(0，π)，∴sin A＝sin B，∴A＝B(A＋B＝π不合題意，舍去)．故△ABC為等腰三角形．25．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．解　由三角形內角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理＝＝，得b＝a×＝5×＝5，c＝a×＝5×＝5×＝5×＝(＋)． 

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6.4 平面向量的應用

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