8.5.28.5.2直線與平面平行的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波      初審：譚光垠      終審：譚光垠  廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解線面平行的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用定理解決有關(guān)問題2.會用文字、符號、圖形三種語言準(zhǔn)確地描述線面平行的性質(zhì)定理，并能證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．【自主學(xué)習(xí)】知識點1  文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言
【合作探究】探究一  線面平行性質(zhì)定理的理解【例1】下列說法中正確的是(　　)①一條直線如果和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行；②一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任何直線無公共點；③過直線外一點，有且僅有一個平面和已知直線平行；④如果直線l和平面α平行，那么過平面α內(nèi)一點和直線l平行的直線在α內(nèi)．A．①②③④　B．①②③　　C．②③④　　D．①②④【答案】　D[解析]　①根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知：直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，正確．②根據(jù)線面平行的定義，直線與平面平行，則直線與平面內(nèi)的任何直線無公共點，正確．③可以作無數(shù)個平面與直線平行，錯誤．④根據(jù)直線l與平面α內(nèi)一定點可以確定一個平面β，則平面α與平面β的交線與直線l平行，且在平面α內(nèi)，正確，所以選D.歸納總結(jié)：【練習(xí)1】若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a、b、c…，那么這些交線的位置關(guān)系為(　　)A．都平行B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點D．都平行或交于同一點【答案】A解析：因為直線l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A.探究二  線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，已知兩條異面直線AB與CD，平面MNPQ與AB，CD都平行，且點M，N，P，Q依次在線段AC，BC，BD，AD上，求證：四邊形MNPQ是平行四邊形．[證明]　因為AB∥平面MNPQ，且過AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，所以AB∥MN.又過AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，所以AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可證NP∥MQ.所以四邊形MNPQ為平行四邊形．歸納總結(jié)：應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理可以得到線線平行.解此類題的關(guān)鍵是找到過已知直線的平面與已知平面的交線，有時為了得到交線需要作出輔助平面.必要時，可反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化【練習(xí)2】求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行．證明：如圖，直線a、l，平面α、β滿足α∩β＝l，a∥α，a∥β.過a作平面γ交平面α于b.∵a∥α，∴a∥b.同樣過a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，則b∥c.又∵b?β，c?β，∴b∥β.又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l. 
課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點，G，H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則(　　)A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能【答案】　B解析　因為GH∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B.2．直線a∥平面α，P∈α，過點P平行于a的直線(　　)A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條，不一定在α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，一定在α內(nèi)【答案】　C解析　由線面平行性質(zhì)定理知過點P平行于a的直線只有一條，且在平面α內(nèi)，故選C.3．過平面α外的直線l作一組平面與α相交，如果所得的交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關(guān)系為(　　)A．都平行B．都相交但不一定交于同一點C．都相交且一定交于同一點D．都平行或都交于同一點【答案】　D解析　分l∥α和l與α相交兩種情況作答，對應(yīng)的結(jié)果是都平行或都交于同一點．4．如圖，四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則(　　)A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能【答案】　B5．已知正方體AC1的棱長為1，點P是面AA1D1D的中心，點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為(　　)A．1  B.  C.  D.【答案】　C解析　如圖，連接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1，∴PQ＝AB1＝＝.6．在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當(dāng)BD∥平面EFGH時，下面結(jié)論正確的是(　　)A．E，F，G，H一定是各邊的中點B．G，H一定是CD，DA的中點C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC【答案】　D解析　由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.7.如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為(　　)A．2＋   B．3＋C．3＋2   D．2＋2【答案】　C解析　∵CD∥AB，CD?平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB，∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF為△ABS的中位線，∴EF＝AB＝1，又DE＝CF＝，∴四邊形DEFC的周長為3＋2.二、填空題8.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝，過P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.【答案】　a解析　∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝.9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝______.【答案】　m∶n解析　∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG＝m·，同理EH＝FG＝n·.∵四邊形EFGH是菱形，∴m·＝n·，∴AE∶EB＝m∶n.10.如圖，已知A，B，C，D四點不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______．【答案】　平行四邊形解析　∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四邊形EFHG是平行四邊形．11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F的截面的周長為________．【答案】　4＋6解析　由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1，平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.三、解答題12.如圖，已知E，F分別是菱形ABCD中邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．解　如圖，連接BD交AC于點O1，連接OM.因為PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，所以PC∥OM，所以＝.在菱形ABCD中，因為E，F分別是邊BC，CD的中點，所以＝.又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM∶MA＝1∶3.13．如圖所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的點，E是B′C′的中點，且A′E∥平面DBC′.試判斷D點在AA′上的位置，并給出證明．解　點D為AA′的中點．證明如下：取BC的中點F，連接AF，EF，如圖．設(shè)EF與BC′交于點O，易證A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.因為A′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.在平行四邊形A′EFA中，因為O是EF的中點(因為EC′∥BF，且EC′＝BF)，所以點D為AA′的中點． 
B組 能力提升一、選擇題1.如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命題中，錯誤的為(　　)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線PM與BD所成的角為45°【答案】　C解析　由題意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，則AC⊥BD，故A正確；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；異面直線PM與BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；C是錯誤的，故選C.2．(多選題)如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，下列命題中，正確的有(　　)A．BM∥平面DE B．CN∥平面AFC．平面BDM∥平面AFN D．平面BDE∥平面NCF【答案】ABCD　[展開圖可以折成如圖①所示的正方體．圖①　　　　　　　　圖②在正方體中，連接AN，如圖②所示．∵AB∥MN，且AB＝MN，∴四邊形ABMN是平行四邊形．∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF，∴AB正確；圖③如圖③所示，連接NF，BE，BD，DM，CF，可以證明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，則平面BDM∥平面AFN，同理可證平面BDE∥平面NCF，所以CD正確．]二、填空題3.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E、F分別是AB、CD的中點，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED與AF相交于點H，則GH＝________.【答案】　[因為ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，AB＝CD，因為E、F分別是AB、CD的中點，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因為平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，所以G是PD的中點，因為PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝2×sin 60°＝.所以GH＝PE＝.]三、解答題4.如圖，四邊形ABCD為矩形，A，E，B，F四點共面，且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°.求證：平面BCE∥平面ADF.[證明]　∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD，又BC?平面ADF，AD?平面ADF，∴BC∥平面ADF.∵△ABE和△ABF均為等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，又BE?平面ADF，AF?平面ADF，∴BE∥平面ADF.又BC?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面ADF.5．如圖①所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D為AP的中點，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P－ABCD，如圖②所示．求證：在四棱錐P－ABCD中，AP∥平面EFG.證明　在四棱錐P－ABCD中，E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD.∵AB∥CD，∴EF∥AB.∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.∵AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG.  6．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D為AP的中點，E，F，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.圖①　　　　　　　　　圖②求證：在四棱錐P-ABCD中，AP∥平面EFG.[證明]　在四棱錐P-ABCD中，E，F分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD．∵AB∥CD，∴EF∥AB．∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB．同理EG∥平面PAB．又EF∩EG＝E，EF?平面EFG，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面PAB．∵AP?平面PAB，∴AP∥平面EFG. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.5 空間直線、平面的平行

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