高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第二冊(cè)6.4 平面向量的應(yīng)用學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

6.4.1平面幾何中的向量方法導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波      初審：孫銳      終審：孫銳廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)平行四邊形這個(gè)幾何模型，歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問(wèn)題的“三步曲”2.明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示．【自主學(xué)習(xí)】知識(shí)點(diǎn)1 向量方法在幾何中的應(yīng)用對(duì)于平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?             ?             .(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，a⊥b?             ?             .(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cos θ＝＝.(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝      或      ＝. 知識(shí)點(diǎn)2 平面幾何中的向量方法(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用      表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為      問(wèn)題；(2)通過(guò)      運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把      “翻譯”成幾何關(guān)系．知識(shí)點(diǎn)3 直線的方向向量和法向量(1)直線y＝kx＋b的方向向量為        ，法向量為        .(2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為        ，法向量為        .
【合作探究】探究一利用向量證明平行或垂直問(wèn)題【例1】如圖所示，若四邊形ABCD為平行四邊形，EF∥AB，AE與BF相交于點(diǎn)N，DE與CF相交于點(diǎn)M.求證：MN∥AD.        歸納總結(jié)：【練習(xí)1】如圖所示，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線，試用向量證明：AC⊥BD.
探究二利用向量解決長(zhǎng)度和夾角問(wèn)題【例2】如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝DC.求：(1)AD的長(zhǎng)；(2)∠DAC的大?。?/span>       歸納總結(jié)：【練習(xí)2】如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
探究三利用向量解決直線問(wèn)題【例3】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)．(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在直線方程．     歸納總結(jié)：  【練習(xí)3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分線的方程．
課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．在四邊形ABCD中，若＋＝0，·＝0，則四邊形為(　　)A．平行四邊形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形 2．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是(　　)A．2                              B.C．3                              D. 3．點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的(　　)A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn) 4．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是(　　)A．30°     B．45°      C．135°       D．150° 5．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是(　　)A．等腰三角形                        B．直角三角形C．等腰直角三角形                    D．等邊三角形 6．過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直線方程為(　　)A．2x＋y－7＝0                      B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0                      D．x－2y－4＝0 二、填空題7．過(guò)點(diǎn)(1,2)且與直線3x－y＋1＝0垂直的直線的方程是____________． 8．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，則·＝            . 9．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，則當(dāng)AC⊥BC時(shí)，AD＝     .    三、解答題10.正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，試求cos∠DOE的值．      11．已知直線l1：3x＋y－2＝0與直線l2：mx－y＋1＝0的夾角為45°，求實(shí)數(shù)m的值．        12．已知在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相互平分，且AC⊥BD，求證：四邊形ABCD是菱形．證明：設(shè)對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，則有＝，＝，
B組能力提升一、選擇題1.已知非零向量與滿足·＝0且·＝，則△ABC的形狀是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．三邊均不相等的三角形                B．直角三角形C．等腰(非等邊)三角形                   D．等邊三角形 2．在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　)A. B．2 C．5 D．10 3．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　)A．－2 B．－C．－ D．－1 二、填空題4.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m＋n的值為________． 5．已知曲線C：x＝－，直線l：x＝6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得＋＝0，則m的取值范圍為________．
三、解答題6.點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中點(diǎn)，E，F分別在邊CD，AB上，且＝＝.求證：點(diǎn)E，O，F在同一直線上．       7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD，延長(zhǎng)BE交AC于F，連接DF.求證：∠ADB＝∠FDC.         8.如圖所示，正三角形ABC中，D、E分別是AB、BC上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且分別靠近點(diǎn)A、點(diǎn)B，且AE、CD交于點(diǎn)P.求證：BP⊥DC.

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