? 6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義
導(dǎo)學(xué)案
編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解向量數(shù)乘的概念，并理解這種運(yùn)算的幾何意義.
2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算
3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及其判定方法，并能熟練地運(yùn)用這些知識(shí)處理有關(guān)共線向量問(wèn)題
【自主學(xué)習(xí)】
知識(shí)點(diǎn)1 向量數(shù)乘運(yùn)算
實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，
其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：21·世紀(jì)*
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的方向
特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝0或λ0＝0.

知識(shí)點(diǎn)2 向量數(shù)乘的運(yùn)算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.

知識(shí)點(diǎn)3 共線向量定理
向量a (a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.

知識(shí)點(diǎn)4 向量的線性運(yùn)算
向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b，
以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有：λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

【合作探究】
探究一 向量的數(shù)乘運(yùn)算
【例1】計(jì)算：
(1)(－3)×4a；
(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．
解　(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；
(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；
(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.
歸納總結(jié)：向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，主要是“合并同類項(xiàng)”、“提取公因式”，但這里的“同類項(xiàng)”、“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．
【練習(xí)1】跟蹤訓(xùn)練1　計(jì)算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.
探究二 用已知向量表示未知向量
【例2】如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)分別為K，L，且＝e1，＝e2，試用e1，e2表示，.

[分析]　利用向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)．
[解]　設(shè)＝x，則＝x，＝e1－x，
＝＝＝e1－x.
由＋＝，得x＋e1－x＝e2，
解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.
由＝－，＝e1－x，
得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.

歸納總結(jié)：由已知向量來(lái)表示另外一些向量是向量解題的基礎(chǔ)，除了要利用向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理、性質(zhì)，如三角形的中位線定理，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量進(jìn)行求解.
【練習(xí)2】如圖，設(shè)△ABC的重心為M，O為平面上任一點(diǎn)，＝a，＝b，＝c，試用a、b、c表示向量.

解：連接AM并延長(zhǎng)交BC于D點(diǎn)．
∵M(jìn)是△ABC的重心，
∴D是BC的中點(diǎn)，且AM＝AD.
∴＝＝(＋)
＝＋
＝＋
＝＋
＝(－)＋(－)
＝(b－a)＋(c－b)
＝－a＋b＋c.
∴＝＋＝a＋
＝(a＋b＋c)．
探究三 向量共線定理的應(yīng)用
【例3-1】已知e1，e2是不共線的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，則a與b是否共線？
解　若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，
即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，
所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，
因?yàn)閑1與e2不共線，所以所以λ不存在，
所以a與b不共線．
【例3-2】已知兩個(gè)非零向量e1和e2不共線，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求證：A、B、D三點(diǎn)共線．
證明　∵＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
∴＝＋＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)
＝10e1＋15e2.
又∵＝2e1＋3e2，∴＝5，
∴、共線，且有公共點(diǎn)B.∴A、B、D三點(diǎn)共線．
歸納總結(jié)：　(1)本題充分利用了向量共線定理，即b與a(a≠0)共線?b＝λa，因此用它既可以證明點(diǎn)共線或線共線問(wèn)題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值．
(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來(lái)表示，進(jìn)而互相表示，從而判斷共線．
【練習(xí)3-1】已知非零向量e1，e2不共線．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求證：，共線；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．
解　(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴，共線．
(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，
∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1與e2不共線，
只能有∴k＝±1.
【練習(xí)3-2】已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線；
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1.
證明　(1)若m＋n＝1，
則＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，
即＝m，∴與共線．
又∵與有公共點(diǎn)B，則A，P，B三點(diǎn)共線．
(2)若A，P，B三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，
∴－＝λ(－)．
又＝m＋n.
故有m＋(n－1)＝λ－λ，
即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.
∵O，A，B不共線，∴，不共線，
∴∴m＋n＝1.

課后作業(yè)
A組 基礎(chǔ)題
一、選擇題
1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則(　　)
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
答案　D
解析　當(dāng)k＝時(shí)，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.
∴n＝2m，此時(shí)，m，n共線．
2．下列各式計(jì)算正確的有(　　)
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
答案　C
3．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P，且＋＋＝，則(　　)
A．P在△ABC內(nèi)部
B．P在△ABC外部
C．P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上
D．P在AC邊上
答案　D
解析　＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC邊上．
4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　

如圖，＋
＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝·2＝.
5．已知向量a，b，設(shè)＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，那么下列各組中三點(diǎn)一定共線的是(　　)
A．A，B，C B．A，C，D
C．A，B，D D．B，C，D
答案　C
解析　由向量的加法法則知＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2，又兩線段均過(guò)點(diǎn)B，故A，B，D三點(diǎn)一定共線21-cn-jy.co
6．已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，則a＝b；④若ma＝na，則m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
答案　B
解析?、俸廷趯儆跀?shù)乘對(duì)向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；③中，若m＝0，則不能推出a＝b，錯(cuò)誤；④中，若a＝0，則m，n沒(méi)有關(guān)系，
7．已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m的值為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　B
解析　∵＋＋＝0，
∴點(diǎn)M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3.
二、填空題
8．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示)
答案　b－a?。璦－b
解析　如圖，＝＝－＝b－a，

＝－＝－－＝－a－b.
9．在平行四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________．
答案　矩形
解析　如圖，因?yàn)椋剑?br />
－＝，
所以||＝||.
由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形．
10.如圖所示，設(shè)M，N為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且＝＋，＝＋，則△ABM的面積與△ABN的面積之比為________．

答案　2∶3
解析　

如圖所示，設(shè)＝，＝，
則＝＋.
由平行四邊形法則知，MQ∥AB，
∴＝＝.
同理＝.∴＝
三、解答題
11.如圖，ABCD為一個(gè)四邊形，E、F、G、H分別為BD、AB、AC和CD的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．

證明　∵F、G分別是AB、AC的中點(diǎn)．
∴＝.
同理，＝.
∴＝.
∴四邊形EFGH為平行四邊形．

12.已知e1，e2是兩個(gè)非零不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，求實(shí)數(shù)k的值．
解　∵a與b是共線向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴∴∴k＝－2.
13．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，求k的值．
解　若A，B，D三點(diǎn)共線，則與共線，
所以可設(shè)＝λ.
又因?yàn)椋剑?br /> ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
即(4λ＋k)e2＝(λ－2)e1，
因?yàn)閑1，e2是兩個(gè)不共線的向量，
若4λ＋k≠0，則e2＝e1，
于是e1與e2是共線向量，與已知條件矛盾；
若λ－2≠0，則e1＝e2，
于是e1與e2是共線向量，與已知條件矛盾，
所以　故λ＝2，k＝－8.
14.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BD上，且BN＝BD.
求證：M、N、C三點(diǎn)共線.

證明　設(shè)＝a，＝b，則由向量減法的三角形法則可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，
又∵與的公共點(diǎn)為C，
∴C、M、N三點(diǎn)共線．


B組 能力提升
一、選擇題
1.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D．＋
【答案】A
【解析】作出示意圖如圖所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.


2.在四邊形ABCD中，＝，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F，則(　　)
A.＝＋ B．＝＋
C.＝＋ D．＝＋
【解析】

在四邊形ABCD中，如圖所示，因?yàn)椋?，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由已知得＝，由題意知△DEF∽△BEA，則＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故選B.
【答案】B
3.如圖，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，則2r＋3s＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4

【解析】　法一：由題圖可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋.
因?yàn)椋絩＋s，所以r＝，s＝，則2r＋3s＝1＋2＝3.
法二：因?yàn)椋?，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一．

法三：如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)P，則由＝得DC∥AB，且AB＝4DC.
又＝2，所以E為PB的中點(diǎn)，且＝.
于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一．

法四：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點(diǎn)B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
所以解得
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
【答案】C
4.如圖，已知＝，用，表示，則等于(　　)

A.－
B.＋
C．－＋
D．－－
【答案】C
【解析】＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故選C.
5.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．
C.　　　　 D．
【答案】D
【解析】由題意易得＝＋＝＋，所以2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
6.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16－12－3＝0，則(　　)
A.＝12＋3 B．＝12－3
C.＝－12＋3 D．＝－12－3
【答案】A
【解析】對(duì)于A，＝12＋3＝12(－)＋3(－)＝12＋3－15，整理，可得16－12－3＝0，這與題干中條件相符合，故選A.
7.如圖，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，則的值為(　　)

A．－3 B．3
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】因?yàn)椋剑?，＝?－)＝－＝×－＝－，
所以＝＋＝＋.又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以＝×＝3.故選B.
8.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d反向共線，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－
C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【解析】由于c與d反向共線，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共線，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－.

二、填空題
9．已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且2＝＋，＝t，若B，O，D三點(diǎn)共線，則t的值為________．
【解析】設(shè)線段BC的中點(diǎn)為M，則＋＝2.
因?yàn)?＝＋，所以＝，
則＝＝(＋)＝＝＋.
由B，O，D三點(diǎn)共線，得＋＝1，解得t＝.
【答案】
10．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，則AD的長(zhǎng)為________．

【解析】因?yàn)锽，D，C三點(diǎn)共線，所以＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)M，N，則＝，＝，因?yàn)椤鰽BC中，∠A＝60°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，所以四邊形AMDN是菱形，因?yàn)锳B＝4，所以AN＝AM＝3，AD＝3.
【答案】3
11．在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．

【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．因?yàn)镸是線段AD的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t.又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.
【答案】－.
12．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，則△ABC的面積為________．
【解析】因?yàn)椋?，所以＝－(＋)．由平行四邊形法則可知，以，為邊組成的平行四邊形的一條對(duì)角線與反向，且長(zhǎng)度相等．因?yàn)閨|＝||＝||＝2，所以以，為邊的平行四邊形為菱形，且除BC外的另一條對(duì)角線長(zhǎng)為2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2.
【答案】2
三、解答題
13．在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，求的值．

【解析】設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以所以的值為.
14．經(jīng)過(guò)△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
【解析】設(shè)＝a，＝b，則＝(a＋b)，
＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，
則消去λ，得＋＝3.

C組 挑戰(zhàn)壓軸題
一、選擇題
1.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且滿足BD＝DC，過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N若＝m，＝n，則(　　)

A．m＋n是定值，定值為2
B．2m＋n是定值，定值為3
C.＋是定值，定值為2
D.＋是定值，定值為3
【答案】D
【解析】法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交AB于點(diǎn)E.由＝n可得＝，所以＝＝，由BD＝DC可得＝，所以＝＝，因?yàn)椋絤，所以m＝，整理可得＋＝3.

法二：因?yàn)镸，D，N三點(diǎn)共線，所以＝λ＋(1－λ)·.又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)·n.又＝，所以－＝－，所以＝＋.比較系數(shù)知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3，故選D.
2.已知O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ（＋）(λ∈[0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　　)
A．外心 B．內(nèi)心
C．重心 D．垂心
答案　B
解析　為上的單位向量，為上的單位向量，則＋的方向?yàn)椤螧AC的角平分線的方向．
又λ∈[0，＋∞)，∴λ（＋）的方向與＋的方向相同．而＝＋λ（＋），
∴點(diǎn)P在上移動(dòng)．
∴點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心．
3．A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)O與點(diǎn)D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
答案　B
解析　設(shè)＝m，則m>1，
因?yàn)椋溅耍蹋?br /> 所以m＝λ＋μ，
即＝＋，
又知A，B，D三點(diǎn)共線，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故選B.
4.在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，若，則的最小值是（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
【答案】D
【解析】由題意可知：，
三點(diǎn)共線，則：，據(jù)此有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
綜上可得：的最小值是12.
本題選擇D選項(xiàng).

二、填空題
5.在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，則x的取值范圍是________．
【解析】設(shè)＝y(tǒng)，因?yàn)椋剑剑珁＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因?yàn)椋?，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)．
所以y∈，
因?yàn)椋絰＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
【答案】
6.已知為直線上的不同三點(diǎn)，為外一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最小值為__________．
【答案】16
【解析】∵為直線上的不同三點(diǎn)，且，
∴，又，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為16，故答案為：16

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

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