一、有限樣本空間的相關(guān)概念1.拋擲兩枚骰子,觀察它們落地時(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)情況,你能寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間嗎?提示可以考慮用有序數(shù)對(duì)(a,b)來(lái)表示試驗(yàn)的結(jié)果.其中a表示其中一枚骰子的點(diǎn)數(shù),b表示另一枚骰子的點(diǎn)數(shù),則有Ω={(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,且a,b∈N*},當(dāng)然Ω還可以用列舉法進(jìn)行表示,該空間中有36個(gè)樣本點(diǎn).
2.填空(1)隨機(jī)試驗(yàn):我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱試驗(yàn),常用字母E表示.說(shuō)明:本節(jié)中我們研究的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn).①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè);③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.(2)樣本點(diǎn):隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn).(3)樣本空間:全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.(4)有限樣本空間:一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果,ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間,也就是說(shuō)Ω為有限集的情況即為有限樣本空間.
3.做一做袋中裝有大小相同的紅、白、黃、黑4個(gè)球,分別寫(xiě)出以下隨機(jī)試驗(yàn)的條件和結(jié)果.(1)從中任取1球;(2)從中任取2球.解:(1)條件為:從袋中任取1球,結(jié)果為:紅、白、黃、黑4種.(2)條件為:從袋中任取2球.若記(紅,白)表示一次試驗(yàn)中取出的是紅球與白球,結(jié)果為:(紅,白),(紅,黃),(紅,黑),(白,黃),(白,黑),(黃,黑)6種.
二、事件的概念及分類1.思考(1)考察下列事件:①導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱;②向上拋出的石頭會(huì)下落;③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水溫升高到100 ℃會(huì)沸騰.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)?提示都是必然會(huì)發(fā)生的事件.(2)考察下列事件:①在沒(méi)有水分的真空中種子發(fā)芽;②在常溫常壓下鋼鐵熔化;③一個(gè)三角形的大邊所對(duì)的角小,小邊所對(duì)的角大.這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)?提示都是不可能發(fā)生的事件.(3)考察下列事件:①某人射擊一次,命中目標(biāo);②某人購(gòu)買(mǎi)福利彩票中獎(jiǎng);③拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).這些事件就其發(fā)生與否有什么共同特點(diǎn)?提示都是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.
2.填空(1)隨機(jī)事件:樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.(2)基本事件:只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.(3)事件A發(fā)生:在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件A發(fā)生.(4)必然事件:Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會(huì)發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.(5)不可能事件:空間?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱?為不可能事件.說(shuō)明:(1)每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集.(2)為了統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形.
3.做一做(1)已知集合A是集合B的真子集,則下列關(guān)于非空集合A,B的四個(gè)命題:①若任取x∈A,則x∈B是必然事件;②若任取x?A,則x∈B是不可能事件;③若任取x∈B,則x∈A是隨機(jī)事件;④若任取x?B,則x?A是必然事件.其中正確的命題有(　　)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案:C解析:∵集合A是集合B的真子集,∴A中的任意一個(gè)元素都是B中的元素,而B(niǎo)中至少有一個(gè)元素不在A中,因此①正確,②錯(cuò)誤,③正確,④正確.
(2)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①?gòu)募系慕嵌瓤?事件?與事件Ω的關(guān)系為??Ω.(　　)②必然事件也可能不發(fā)生,不可能事件一定不能發(fā)生.(　　)③只有當(dāng)A中的樣本點(diǎn)都發(fā)生了,事件A才發(fā)生.(　　)答案:①√　②×?、邸?br/>三、利用集合的知識(shí)研究隨機(jī)事件1.思考對(duì)于隨機(jī)事件A,B之間的關(guān)系可以用如下圖示來(lái)刻劃,你能用集合符號(hào)表示下列圖示嗎?
3.做一做(1)擲一顆骰子,統(tǒng)計(jì)正面向上的點(diǎn)數(shù).記“出現(xiàn)5點(diǎn)”=A,“出現(xiàn)3點(diǎn)”=B,“出現(xiàn)1點(diǎn)”=C,則“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”這一事件可表示為　　　　.事件A∪B與事件C是否互為對(duì)立事件,　　　　(填“是”或“否”).?答案:A∪B∪C　否(2)有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床,記“甲正常工作”=A,“乙正常工作”=B,則AB表示　　　　,“甲不能正常工作”可記為　　　　　　.?答案:“甲、乙同時(shí)正常工作”　
(3)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.①事件A發(fā)生,事件B與C不發(fā)生,則可表示為AB C.(　　)②事件A,B,C均不發(fā)生可表示為A B C.(　　)③事件A,B,C至少有兩個(gè)發(fā)生可表示為A∪B∪C.(　　)④若事件A與B是互為對(duì)立事件,則事件A與B一定為互斥事件.(　　)答案:①√?、凇獭、邸痢、堋?br/>試驗(yàn)的樣本空間例1某人做試驗(yàn),從一個(gè)裝有標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的小球的盒子中,無(wú)放回地取兩個(gè)小球,每次取一個(gè),先取的小球的標(biāo)號(hào)為x,后取的小球的標(biāo)號(hào)為y,這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y).(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間;(2)寫(xiě)出“第一次取出的小球上的標(biāo)號(hào)為2”這一事件.分析利用列舉法按照一定的順序逐個(gè)列舉即可.
解:(1)當(dāng)x=1時(shí),y=2,3,4;當(dāng)x=2時(shí),y=1,3,4;當(dāng)x=3時(shí),y=1,2,4;當(dāng)x=4時(shí),y=1,2,3.因此,這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間是Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.(2)記“第一次取出的小球上的標(biāo)號(hào)為2”為事件A,則A={(2,1),(2,3),(2,4)}.反思感悟 隨機(jī)事件的結(jié)果是相對(duì)于條件而言的,要弄清某一隨機(jī)事件的結(jié)果,首先必須明確事件發(fā)生的條件.在寫(xiě)試驗(yàn)結(jié)果時(shí),要按照一定的順序采用列舉法寫(xiě)出,注意不能重復(fù)也不能遺漏.
延伸探究1若將本例中的條件改為有放回地取兩個(gè)小球呢?每次取一個(gè),先取的小球的標(biāo)號(hào)為x,看清編號(hào)后放回盒子搖勻,再取一個(gè)小球的標(biāo)號(hào)為y,這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y).試寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間.解:當(dāng)x=1時(shí),y可取1,2,3,4.同理,x=2,3,4時(shí),對(duì)應(yīng)的不同的試驗(yàn)結(jié)果也有4個(gè).所以這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
延伸探究2若將本例中的條件改為無(wú)放回地取三個(gè)小球呢?每次取一個(gè),先取的小球的標(biāo)號(hào)為x,后取的小球的標(biāo)號(hào)為y,最后取的小球的標(biāo)號(hào)為z,這樣構(gòu)成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y,z).試寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間.解:當(dāng)x=1時(shí),y可取2,3,4.若y=2,則z可取3,4;若y=3,則z可取2,4;若y=4,則z可取2,3.同理,x=2,3,4時(shí),對(duì)應(yīng)的不同的試驗(yàn)結(jié)果也有6個(gè).所以,這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間是Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(1,3,4),(1,4,2),(1,4,3),(2,1,3),(2,1,4),(2,3,1),(2,3,4),(2,4,1),(2,4,3),(3,1,2),(3,1,4),(3,2,1),(3,2,4),(3,4,2),(3,4,1),(4,1,2),(4,1,3),(4,2,1),(4,2,3),(4,3,2),(4,3,1)}.
隨機(jī)事件的概念及分類例2(1)以下的隨機(jī)事件中不是必然事件的是(　　)A.標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100 ℃,必會(huì)沸騰B.長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形,其面積為a×bC.走到十字路口,遇到紅燈D.三角形內(nèi)角和為180°(2)下列事件中,是必然事件的是(　　)A.任意買(mǎi)一張電影票,座位號(hào)是2的倍數(shù)B.12個(gè)人中有兩個(gè)人生肖相同C.買(mǎi)了一注彩票中一等獎(jiǎng)D.實(shí)數(shù)a+b=b+a
答案:(1)C　(2)D解析:(1)在A中,標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水加熱到100 ℃,必會(huì)沸騰是必然事件,故A不符合題意;在B中,長(zhǎng)和寬分別為a,b的矩形,其面積為a×b是必然事件,故B不符合題意;在C中,走到十字路口,遇到紅燈是隨機(jī)事件但不是必然事件,故C符合題意;在D中,三角形內(nèi)角和為180°是必然事件,故D不符合題意.(2)四個(gè)選項(xiàng)都是隨機(jī)事件,但選項(xiàng)A,B,C中的事件都不確定發(fā)生,因此都不是必然事件,只有選項(xiàng)D總會(huì)發(fā)生,因此是必然事件.反思感悟 (1)要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件,要從定義出發(fā).(2)必然事件和不可能事件不具有隨機(jī)性,但為了統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的特殊情形,具有隨機(jī)性的和不具有隨機(jī)性的事件都可以理論上認(rèn)為是隨機(jī)事件。
變式訓(xùn)練1從6個(gè)籃球、2個(gè)排球中任選3個(gè)球,則下列事件中,不可能事件是(　　)A.3個(gè)都是籃球B.至少有1個(gè)是排球C.3個(gè)都是排球D.至少有1個(gè)是籃球答案:C解析:根據(jù)題意,從6個(gè)籃球、2個(gè)排球中任選3個(gè)球,四個(gè)選項(xiàng)都是隨機(jī)事件,進(jìn)一步C是不可能事件,D是必然事件.
互斥事件、對(duì)立事件的判斷例3把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人,每人分得一張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(　　)A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件C.不可能事件D.以上都不對(duì)分析由題意可知事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生,但除了“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”之外,還有“丙分得紅牌”和“丁分得紅牌”,則兩者不是對(duì)立事件.答案:B
解析:根據(jù)題意,把紅、黃、藍(lán)、白四張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”不會(huì)同時(shí)發(fā)生,則兩者是互斥事件,但除了“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”之外,還有“丙分得紅牌”和“丁分得紅牌”,則兩者不是對(duì)立事件.∴事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是互斥但不對(duì)立事件.故選B.反思感悟 一般判斷互斥事件或?qū)α⑹录募系慕嵌葋?lái)認(rèn)識(shí),若A∪B=Ω,A∩B=?,則稱A與B互為對(duì)立;若A∩B=?,則稱A與B為互斥(互不相容).對(duì)于本例中的問(wèn)題, 要把樣本空間明確,再進(jìn)行分析.
變式訓(xùn)練2從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,則事件“取出1個(gè)紅球和2個(gè)白球”的對(duì)立事件是(　　)A.取出2個(gè)紅球和1個(gè)白球B.取出的3個(gè)球全是紅球C.取出的3個(gè)球中既有紅球也有白球D.取出的3個(gè)球中不止一個(gè)紅球答案:D解析:從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,則事件“取出1個(gè)紅球和2個(gè)白球”的對(duì)立事件是取出的3個(gè)球中至少有兩個(gè)紅球.故選D.
用簡(jiǎn)單事件的和或積表示復(fù)雜事件例4已知電路圖 ,其中記A1=“開(kāi)關(guān)K1合上”,A2=“開(kāi)關(guān)K2合上”.則A1A2表示的含義是　　　　.?答案:“開(kāi)關(guān)K1,K2同時(shí)合上”這一事件
例5盒子里有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取3個(gè)球,設(shè)事件A=“3個(gè)球中有1個(gè)紅球,2個(gè)白球”,事件B=“3個(gè)球中有2個(gè)紅球,1個(gè)白球”,事件C=“3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球”,事件D=“3個(gè)球中既有紅球又有白球”.問(wèn):(1)事件D與A,B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?分析事件間運(yùn)算的類型:
解:(1)對(duì)于事件D,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球,故D=A∪B.(2)對(duì)于事件C,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球,2個(gè)紅球1個(gè)白球,3個(gè)均為紅球,故C∩A=A.反思感悟 進(jìn)行事件運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí),一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中,需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí),可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目,就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理.
變式訓(xùn)練3在擲質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)中,可以定義許多事件.例如:C1=“出現(xiàn)1點(diǎn)”,C2=“出現(xiàn)2點(diǎn)”,C3=“出現(xiàn)3點(diǎn)”,C4=“出現(xiàn)4點(diǎn)”,C5=“出現(xiàn)5點(diǎn)”,C6=“出現(xiàn)6點(diǎn)”,D1=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1”,D2=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”,D3=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5”,E=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7”,F=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,G=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件,回答下列問(wèn)題.(1)請(qǐng)列出事件D2,事件F包含的事件及符合相等關(guān)系的事件;(2)利用和事件的定義,判斷上述哪些事件是和事件.
解:(1)事件D2包含事件C4,C5,C6.事件F包含事件C2,C4,C6.事件C1與事件D1相等,即C1=D1.(2)因?yàn)镈2=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3”=“出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)”,所以D2=C4∪C5∪C6,所以事件D2為和事件.同理可得事件D3,事件E,事件F,事件G均為和事件.
變式訓(xùn)練4從一批100件的產(chǎn)品中每次取出一個(gè)(取后不放回),假設(shè)100件產(chǎn)品中有5件是次品,用事件Ak表示第k次取到次品(k=1,2,3),試用A1,A2,A3表示下列事件.(1)三次全取到次品.(2)只有第一次取到次品.(3)三次中至少有一次取到次品.(4)三次中恰有兩次取到次品.(5)三次中至多有一次取到次品.
忽略試驗(yàn)的順序?qū)е略囼?yàn)結(jié)果出錯(cuò)典例先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,則:(1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果?(2)出現(xiàn)“一枚正面,另一枚反面”的情況有幾種?錯(cuò)解(1)一共出現(xiàn)“兩枚正面”“兩枚反面”“一枚正面,一枚反面”3種情況.(2)出現(xiàn)“一枚正面,另一枚反面”的情況只有1種.以上錯(cuò)解中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你如何防范?錯(cuò)因分析將“一正、一反”“一反、一正”兩種情形錯(cuò)認(rèn)為是一種情形.在題干中若強(qiáng)調(diào)了“先后”“依次”“順序”“前后”,則必須注意順序問(wèn)題.
正解(1)一共可能出現(xiàn)“兩枚正面”“兩枚反面”“一枚正面,一枚反面”“一枚反面,一枚正面”4種不同的結(jié)果.(2)出現(xiàn)“一枚正面,另一枚反面”的情況有2種.防范措施 1.把握隨機(jī)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì),明確一次試驗(yàn)的含義.2.按一定的順序用有序數(shù)組的形式寫(xiě)出,要不重不漏.
變式訓(xùn)練一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩兒,則可能的結(jié)果為(　　)A.{(男,女),(男,男),(女,女)}B.{(男,女),(女,男)}C.{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}D.{(男,男),(女,女)}答案:C解析:隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果要保證等可能性.兩小孩兒有大小之分,所以(男,女)與(女,男)是不同的結(jié)果,故選C.
1.(多選)下列事件中,是隨機(jī)事件的有(　　)A.在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,學(xué)生張濤獲得100 m短跑冠軍B.在體育課上,體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材,抽到李凱C.從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?恰為1號(hào)簽D.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在4 ℃時(shí)結(jié)冰分析利用隨機(jī)事件的概念直接判斷.答案:ABCD解析:在A中,在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,學(xué)生張濤獲得100 m短跑冠軍,是隨機(jī)事件;在B中,在體育課上,體育老師隨機(jī)抽取一名學(xué)生去拿體育器材,抽到李凱,是隨機(jī)事件;在C中,從標(biāo)有1,2,3,4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?恰為1號(hào)簽,是隨機(jī)事件;在D中,在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水在4 ℃時(shí)結(jié)冰是不可能事件.也屬于隨機(jī)事件的特殊情況.
2.抽查10件產(chǎn)品,設(shè)“至少抽到2件次品”為事件A,則A的對(duì)立事件是(　　)A.至多抽到2件次品　　　B.至多抽到2件正品C.至少抽到2件正品D.至多抽到一件次品答案:D解析:抽查10件產(chǎn)品,設(shè)“至少抽到2件次品”為事件A,則 為至多抽到一件次品.故選D.
3.一箱產(chǎn)品中有正品4件,次品3次,從中任取2件,下列四組事件:①恰有一件次品和恰有兩件次品;②至少有一件次品和全是次品;③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品.其中兩個(gè)事件互斥的是　　　　.(填序號(hào))?答案:①④解析:∵從一箱產(chǎn)品中任取2件,觀察正品件數(shù)和次品件數(shù),其中正品、次品都多于2件,∴恰有一件次品和恰有兩件次品是互斥的,至少有一件次品和全是正品是互斥的,∴①④是互斥事件.
4.(多空題)如圖所示,事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正?！?C=“丙元件正?！?則A∪B∪C表示的含義為　　　　　　　, 表示的含義為　　　　.?答案:電路工作正?！‰娐饭ぷ鞑徽?br/>5.給出下列四個(gè)命題:①集合{x||x|0,則x>1是必然事件;④對(duì)頂角不相等是不可能事件.其中正確命題是　　　　　.?答案:①②③④解析:∵|x|≥0恒成立,∴①正確;奇函數(shù)y=f(x)只有當(dāng)x=0有意義時(shí)才有f(0)=0,∴②正確;由lga(x-1)>0知,當(dāng)a>1時(shí),x-1>1即x>2;當(dāng)0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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