10.1.1 有限樣本空間與隨機(jī)事件
北宋仁宗年間,西南蠻夷儂智高起兵作亂,大將狄青奉命征討,出征之前,他召集將士說(shuō):“此番作戰(zhàn),前途未卜,惟吾命乃上天注定,今將手中百錢(qián),全拋于地,若盡數(shù)朝上,則乃天助我軍,此戰(zhàn)必勝.”言罷,便將銅錢(qián)拋出,100枚銅錢(qián)居然全部正面朝上!將士聞?dòng)?歡聲雷動(dòng)、士氣大振!宋軍也勢(shì)如破竹,最終全勝而歸.100枚銅錢(qián)居然全部正面朝上!可能嗎?
1.有限樣本空間 問(wèn)題1 考察下列試驗(yàn): (1)將一枚硬幣拋擲2次,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況; (2)從你所在的班級(jí)隨機(jī)選擇10名學(xué)生,觀察近視的人數(shù). 觀察這些隨機(jī)現(xiàn)象,分別說(shuō)出該試驗(yàn)有哪些可能的結(jié)果.
我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱試驗(yàn),常用字母E表示.
問(wèn)題2 有如下生活中的隨機(jī)試驗(yàn)的例子:(1)一個(gè)袋中有大小和質(zhì)地相同的紅、黃、藍(lán)3個(gè)球,從中隨機(jī)摸出1個(gè)球,并記錄其顏色;(2)隨機(jī)選擇一個(gè)有兩個(gè)小孩的家庭,觀察兩個(gè)孩子的性別;(3)射擊靶3次,觀察中靶的次數(shù).以上3個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的共同特征是什么?
隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn): (1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行(可重復(fù)性); (2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的,并且不止一個(gè)(可預(yù)知性); (3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果(隨機(jī)性).
問(wèn)題3 體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí),將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2,…,9的球放入搖獎(jiǎng)器中,經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球,觀察這個(gè)球的號(hào)碼.這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)共有多少種可能結(jié)果?如何表示這些結(jié)果?
共有10種可能結(jié)果,所有可能結(jié)果可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
樣本空間: 我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn),全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.一般地,我們用Ω表示樣本空間,用ω 表示樣本點(diǎn).如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.
2.隨機(jī)事件 問(wèn)題4 (1)在體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中,搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎?搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件?
(1)“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.
問(wèn)題4 (2)如果用集合的形式來(lái)表示它們,那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系?
(2)用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”,則A發(fā)生,當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1,3,5,7,9之一,即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1,3,5,7,9}.因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機(jī)事件A.類(lèi)似地,可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”.
(1)隨機(jī)事件 一般地,隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.為了敘述方便,我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母A,B,C,…表示.在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí),稱為事件A發(fā)生.
(2)必然事件與不可能事件Ω作為自身的子集,包含了所有的樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生,所以Ω總會(huì)發(fā)生,我們稱Ω為必然事件.而空集?不包含任何樣本點(diǎn),在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生,我們稱?為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理,將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形.這樣,每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集.
寫(xiě)樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點(diǎn),有三種方法:(1)枚舉法:適用于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不是很多,可以把樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái)的情況,列舉時(shí)注意一般按一定的順序列舉,要做到不重不漏.(2)列表法:適用于試驗(yàn)中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素,且試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)較多的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解問(wèn)題,通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對(duì)”,也可用坐標(biāo)法.列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏.(3)樹(shù)狀圖法:樹(shù)狀圖法是使用樹(shù)狀的圖形把樣本點(diǎn)列出來(lái)的一種方法,適用于較為復(fù)雜問(wèn)題中樣本點(diǎn)的探求,一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用畫(huà)樹(shù)狀圖法.
通過(guò)今天的學(xué)習(xí),你能解決什么問(wèn)題?你了解了哪些數(shù)學(xué)概念?它們之間有什么聯(lián)系?總結(jié):在本節(jié)課中,認(rèn)識(shí)了樣本點(diǎn)、樣本空間的概念,進(jìn)而利用樣本空間描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果,以及一個(gè)隨機(jī)事件所包含的基本結(jié)果,并把隨機(jī)事件看成樣本空間的子集,這樣就可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與方法研究隨機(jī)現(xiàn)象.

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10.1 隨機(jī)事件與概率

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