初二數(shù)學上冊秋季班培優(yōu)講義第12講幾何變換之軸對稱（二）-課件下載-教習網(wǎng)

　　　　　   由“”聯(lián)想到角平分線，其實對稱起到了角的轉(zhuǎn)移，平分．連接，．∴，又∵∴，∴，又∵∴是等邊三角形，設，∴∴，∴，∴．問題：已知中，，點D是內(nèi)的一點，且，．探究與度數(shù)的比值．請你完成下列探究過程：先將圖形特殊化，得出猜想，再對一般情況進行分析并加以證明．（1）當時，依問題中的條件補全圖形．觀察圖形，AB與AC的數(shù)量關系為________；當推出時，可進一步推出的度數(shù)為_______；可得到與度數(shù)的比值為_________．（2）當時，請你畫出圖形，研究與度數(shù)的比值是否與（1）中的結(jié)論相同，寫出你的猜想并加以證明．（1）相等；；．（2）猜想：與度數(shù)的比值與⑴中結(jié)論相同．證明：如圖2，作，過B點作交CK于點K，連結(jié)DK．∵，∴四邊形ABKC是等腰梯形．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴，．
∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴與度數(shù)的比值為．【教師備課提示】這道題來源于北京中考，具有濃濃的故事背景．對于整個圖形是軸對稱圖形的平面幾何問題，如果以其對稱軸為對稱軸作軸對稱變換，則整個圖形毫無變化，因此對解決問題是沒有絲毫幫助的．但如果只是一部分圖形是軸對稱圖形，此時以其對稱軸為對稱軸作軸對稱變換，再找出軸對稱圖形之外的有關元素的像，則原來的幾何圖形即發(fā)生了變化，從而有可能使問題得到解決．等腰三角形問題在平面幾何中占有很大的比例，它是一類典型的軸對稱圖形，因而等腰三角形除了可以考慮用旋轉(zhuǎn)變換處理外，還可以考慮用軸對稱變換處理，對稱軸即等腰三角形的對稱軸．如圖所示，在中，，AD是BC邊上的高，點P在內(nèi)部，求證：．　　　　　　　　作點P關于AD的對稱點，連接并延長交PC于點Q，連接．因為，AD是BC邊上的高，易得．因為，，故．【教師備課提示】這道題主要讓孩子們感受一下等腰三角形中的“丫”字用軸對稱解決的方法．
已知：是一個等腰直角三角形，，內(nèi)部有一點P，連接PA，，求證：．                    如圖所示，構造與對稱全等，連接PQ，可得，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，可得，∴．【教師備課提示】通過這道題，來講解下關于針對等腰三角形的幾種軸對稱處理手段，主要有3種，備課的時候讓唯哥給我們分享??！第一種：過B作AC的垂線，延長CP于垂線相交，連接A與其交點即可，俗稱“三線合一法”；第二種：以BP為邊向內(nèi)構造等邊三角形或以AP為邊向下構造等邊三角形或以AC為邊向上構造等邊三角形，一般地，如果出現(xiàn)等腰三角形，以底邊構造等邊三角形可以解決；第三種就是利用軸對稱方法．在內(nèi)取一點M，使得，，設，，求．如圖所示，的高CH與直線BM交于點E，則．而，，，，則，因此，．【教師備課提示】通過這道題，讓孩子們自己體會下用哪種方法，總結(jié)是不是所有的這種題三種方法都可以，如果不是，那什么樣的題適合用什么樣的方法？
如圖所示，在中，，M為內(nèi)一點，使得，，求的度數(shù)．               在中，由，可得，．如圖所示，作于D點，延長CM交BD于O點，連接OA，則有，，，所以．又因為，所以．而，因此，故．由于，則，故．在一些題當中，往往出現(xiàn)兩角和或者差為特殊的角度，但是兩個角度又離的比較遠或者位置比較特殊，這個時候可以考慮三大變換來解決問題，但是構造比較巧妙，往往不容易想到，在這里把這樣的一些利用軸對稱構造特殊角度形成特殊的三角形如直角三角形，等邊三角形等的題總結(jié)下．在凸四邊形ABCD中，，．如果，求四邊形ABCD的面積．
如圖，將沿中垂線翻折至處．∵，；∴，；∴又∵；∴由翻折可知：∵，；∴∴，，三點共線；又∴；∴∴為等腰直角三角形，∴∴．已知點M是四邊形ABCD的BC邊的中點，且，證明：．        顯然，要證題設的不等式，應當把AB，，CD三條線段首尾連接成一條折線，然后再與線段AD比較．要實現(xiàn)這一構想，折線之首端應與A點重合，尾端應與D點重合，這可由軸對稱來實現(xiàn)．以AM為對稱軸，作點B關于AM的對稱點，連接、，則，，即，由此．再以DM為對稱軸，作點C關于DM的對稱點，連接、，則，，即，由此．而，所以．注意到，因此，而，所以是等邊三角形，．由于兩點之間以直線段為最短，所以，即．
在中，，，為內(nèi)部一點，，，求的度數(shù)．               法一：容易求得，．的對稱軸為AD，作點P關于AD的對稱點，則，故為等邊三角形，則平分，．故．法二：在BC上截取，連接PD，如圖所示假設，則，∵∴ ∴， ∴∵， ∴,∴假設，則∴ 即解得： ∴．【教師備課提示】此題也可以用構造等邊的方法來求解．
在等腰直角三角形ABC中，P為內(nèi)部一點，滿足，．求證：．                 補形成正方形，證明為等邊三角形即可解決問題．【教師備課提示】這道題主要是鍛煉下孩子們，看看能不能發(fā)現(xiàn)題中隱含的2倍角，也就是等腰直角三角三角形．如圖所示，在中，，P為三角形內(nèi)一點，，，求證：．              由已知條件，考慮作直線于M，并以PM為對稱軸將翻折至的位置，連接．由軸對稱的性質(zhì)有，．因為，
于是，即是正三角形，從而可得，．再由三內(nèi)角之和為，即，整理后得．【教師備課提示】主要說明北京中考題的來源，來源是第24屆澳大利亞數(shù)學奧林匹克競賽試題，主要就是考察倍角模型．如圖，在中，，，為內(nèi)一點，且，，求的度數(shù)．解法一：如圖①，作于E，延長CO交AE于F，連接BF，則，，，得，，又，得，，從而．解法二：如圖②，以BC為邊作等邊，連接AE，則，，，得．，，，，，又，，，得，．
如圖所示，在四邊形ABCD中，，，，，，求四邊形ABCD的面積．               936．設M是凸四邊形ABCD的邊BC的中點，，求證：．        作點B關于AM的對稱點，作點C關于DM的對稱點，連接、、，則，且，．而，則，故．