軸對稱的知識在日常生活中應(yīng)用得非常廣泛，我們通過本章的學(xué)習已經(jīng)了解到軸對稱的相關(guān)知識，這節(jié)課我們對軸對稱的知識進行系統(tǒng)的復(fù)習.
（1）認識生活中的軸對稱；
（2）掌握軸對稱的性質(zhì)；
（3）熟知等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)和判定.
1. 你能舉出一些實際生活中軸對稱應(yīng)用的例子嗎？
衣架，房梁，風箏，飛機.
2. 成軸對稱的兩個圖形有哪些特點？“軸對稱圖形”與“成軸對稱”有何區(qū)別？
成軸對稱的兩個圖形沿對稱軸折疊能夠完全重合，
軸對稱圖形是指單一圖形，成軸對稱是指兩個圖形.
3. 在平面直角坐標系中，如果兩個圖形關(guān)于x軸或y軸對稱，那么對稱點的坐標有什么關(guān)系？
關(guān)于x軸對稱，對稱點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)； 關(guān)于y軸對稱，對稱點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù).
4. 利用等腰三角形的軸對稱性，我們發(fā)現(xiàn)了它的哪些性質(zhì)？你能通過全等三角形的知識進行證明嗎？
性質(zhì)一：等腰三角形的兩個底角相等.性質(zhì)二：等腰三角形“三線合一”.
5. 等腰三角形和等邊三角形之間有什么聯(lián)系和區(qū)別？等邊三角形有哪些特殊的性質(zhì)？
等邊三角形是特殊的等腰三角形. 等邊三角形三條邊相等，三個角相等且都為60°， 等邊三角形每條邊上都具有“三線合一”.
6. 在解決最短路徑問題時，通常利用軸對稱、平移等變換變“折線”為同一直線上.
　　例1　判斷下列說法是否正確，如不正確，請說明原因． （1）兩個全等三角形一定關(guān)于某直線對稱； （2）等腰三角形一邊上的高、中線及這邊對角的平分線重合； （3）點（3，1）與點（-3，1）關(guān)于y 軸對稱； （4）三角形中30°的角所對的邊等于斜邊的一半．
例2：小華在鏡中看到身后墻上的鐘，鐘面上指針顯示的時刻為8:45，那么此時的實際時間是多少？
解：此時的實際時間是3：15.
例3　如圖，是由三個小正方形組成的圖形，請你在圖中補畫一個小正方形，使補畫后的圖形為軸對稱圖形．
例4 在△ABC中，AB = AC，在AB上取一點E，在AC延長線上取一點F，使BE = CF，EF交BC于G，求證：EG = FG.
證明：如圖作FD∥BE交BC的延長線于點D. 則∠B =∠D.
∵AB = AC，∴∠B =∠ACB.又∠ACB =∠FCD，∴∠D =∠FCD，
∴FC = FD，又BE = CF，∴BE = DF.在△BEG和△DFG中， ∠BGE=∠DGF， ∠B =∠D， BE = DF，∴△BEG≌△DFG（AAS）.∴EG = FG.
　　例5　已知：如圖，△ABC 是等邊三角形，BD 是AC 邊上的高，延長BC 到E，使CE = CD，過點D 作DF ⊥BE于F．求證：（1）BD = DE；
證明：∵ △ABC 是等邊三角形，∴∠ABC =∠ACB = 60°．∵BD⊥AC，
又　 CE = CD，∴　∠CED = ∠CDE，
∴　∠DBC = ∠CED，∴　BD = DE．
求證：（2）BF = EF；
證明： 在△BDE 中，BD = DE，DF⊥BE，∴　BF = EF．
求證：（3）請猜想FC 與BF 間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
猜想：BF = 3FC．證明：∵ 在Rt△CDF 中， ∠ACB = 60°，∴　∠CDF = 30°．∴　CD = 2FC．
又在Rt△BDC 中，∠DBC = 30°，∴　BC =2DC = 4FC，即BF = 3FC．
例6 如圖，點O到△ABC的兩邊AB、AC所在的直線的距離相等，且OB=OC.
（1）如圖1，若點O在邊BC上，求證AB=AC；（2）如圖2，若點O在△ABC內(nèi)部，求證AB=AC；（3）若點O在△ABC外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示.
（1）證明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠BEO=∠CFO=90°.在Rt△BEO在Rt△CFO中， OB = OC， OE = OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO (HL).∴∠B=∠C. ∴AB=AC.
（2）證明：作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分別為E、F，則∠BEO =∠CFO=90°.在Rt△BEO和Rt△CFO中， OB = OC， OE = OF，∴Rt△BEO≌Rt△CFO(HL).∴∠ABO =∠ACO.連接AO，∵OE = OF，則AO是∠BAC的平分線，
∴∠BAO =∠CAO.在△ABO和△ACO中， ∠ABO =∠ACO， ∠BAO =∠CAO， AO = AO，∴△ABO≌△ACO (AAS).∴AB =AC.
（3）成立，如圖所示.
1.在軸對稱圖形中，對應(yīng)點所連線段被________垂直平分.
2.如圖，△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，則AC= ___cm.
3.等腰三角形、角和圓都是軸對稱圖形.
4.所有的直徑都是圓的對稱軸.
5.在軸對稱圖形中，對應(yīng)線段的延長線不一定交在對稱軸上.
6.等腰三角形只有一條對稱軸.
三、畫出下列是軸對稱圖形的所有對稱軸.
四、如圖，∠A=60°，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD與CE相交于點H，HD=1，HE=2，試求BD和CE的長.
解：∵∠A = 60°， CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠ACE = 30°， ∠ABD = 30°. ∵HE = 2， ∴BH = 2HE = 4.
∵HD = 1，∴HC = 2HD = 2.∴BD = BH + HD = 5，CE = CH + HE = 4.
五、如圖，點P是∠AOB內(nèi)一點，∠AOB=30°，OP=10，點M、N分別是OA、OB上的動點，試通過作圖說明△PMN周長的最小值是多少？
解：如圖，分別作P點關(guān)于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2與OA相交于點M，與OB相交于點N，則此時△PMN的周長最?。ㄈc共線）.
連接OP1，OP2，則∠P1OP2 = 2∠AOB = 60°，OP1 = OP = OP2，∴△OP1P2是等邊三角形，∴P1P2=OP1=OP=10，∴PM+MN+NP=P1M+MN+NP2=P1P2=10.即△PMN周長的最小值為10.
1.從課后習題中選??；2.完成練習冊本課時的習題。

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13.1.1 軸對稱

版本： 人教版（2024）

年級： 八年級上冊

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