模塊一：基本輔助線復(fù)習(xí)1．角平分線性質(zhì)與判定2．垂直平分線的性質(zhì)3．角平分線模型模型I：角平分線加平行線必出等腰三角形．模型II：角平分線加射影模型必出等腰三角形．→模型III：角平分線的中心思想關(guān)于角平分線對稱，掌握常見輔助線的三種做法．4．截長補(bǔ)短截長補(bǔ)短兩種方法：截長法和補(bǔ)短法．目的：實(shí)現(xiàn)三條線段或者多條線段的關(guān)系到兩條線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化，而在全等三角形中是處理兩條線段關(guān)系的重要手段．適用：證明線段的和、差、倍、分等題目．若題目條件或求證結(jié)論中含有“”的條件，需要添加輔助線時(shí)多考慮“截長補(bǔ)短（截長或補(bǔ)短）”．模塊二：全等綜合
 （1）如圖1-1，在中，AD平分，于E，，，，則AC長是________． （2）如圖1-2，在中，，、的平分線交于點(diǎn)，于．若，，，則________． （3）如圖1-3，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，則________．                           圖1-1                     圖1-2                    圖1-3 （4）如圖1-4，CD為斜邊上的高，的平分線分別交CD、BC于點(diǎn)E、F．且，垂足為G，，，則________．      （5）如圖1-5，在四邊形ABCD中AE、AF分別是BC，CD的垂直平分線，，，則的度數(shù)為________．  圖1-4                                    圖1-5 【解析】（1）4；（2）1；（3）5cm；（4）4；（5）．
 （1）如圖2-1，已知，，，AE平分，求證：． （2）如圖2-2，在中，BC的垂直平分線DF交的外角平分線AD于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，且．求證：．               圖2-1                                      圖2-2【解析】（1）思路：延長AB、CD交于點(diǎn)F，，，∴；（2）過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)G，連接BD，CD．∵DF垂直平分BC，∴，∵AD平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【教師備課提示】見到中垂線，大多可將中垂線上任意一點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)相連，形成基本構(gòu)圖，并熟練運(yùn)用角分線性質(zhì)及模型．
 （1）已知：如圖3-1，中，，延長BC到點(diǎn)D，使，延長CA到點(diǎn)E，使；連接AD，BE．求證：． （2）如圖3-2，已知中，，，，的平分線交BC，CA于P，Q．求證：．　　  　 圖3-1                             圖3-2 【解析】（1）證明：如圖，取AE的中點(diǎn)F，連接BF，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵，∴，在和中∴，∴．（2）延長AB到點(diǎn)D，使，連接PD，則∵AP平分，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴．
 在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACFG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長線交于點(diǎn)M，試證明：①；②；③；④AM是的中線．  【解析】正方形ABDE和ACFG，，，，，即，在和中，，，．設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，，，，．過點(diǎn)E作的延長線于P，過點(diǎn)G作于Q，，，，，在和中，，．，同理可得，，，在和中，，，是的中線．
 已知四邊形ABCD，于A，于C，，，，現(xiàn)將繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線AD，CD于E，F．（1）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖5-1），求證：；（2）當(dāng)繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)；①在圖5-2情況下，請?zhí)骄?/span>AE、CF、EF之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在圖5-3情況下，探究AE、CF、EF之間又滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．　　　　      圖5-1                    圖5-2                      圖5-3 【解析】（1），，，，在和中，，，；，，．（2）①延長DC至點(diǎn)K，使，連接BK，在和中，,則(SAS)，，，，，，，，在和中，,(SAS)，，，即．②AE、CF、EF的關(guān)系是．
 在和均為等腰直角三角形，，，，按圖6-1放置，使點(diǎn)E在BC上，取CE的中點(diǎn)F，連接DF、BF，則可以得到結(jié)論且．（1）將圖6-1中繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再連接CE，取CE的中點(diǎn)F（如圖6-2），問題目中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；（2）將圖6-1中繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（旋轉(zhuǎn)角在到之間），再連接CE，取CE的中點(diǎn)F（如圖6-3），問題目中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論．            圖6-1                    圖6-2                     圖6-3 【解析】（1）仍然成立．證明：如圖2，延長DF交BC于點(diǎn)G，∵，∴DE//BC，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，又∵∴且．（2）仍然成立．證明：如圖3，延長BF至點(diǎn)G，使，聯(lián)結(jié)DB、DG，GE，∵，，∴，∴，，∴EG//CB，∵，，∴，，∵，，∴， ∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴且．【教師備課提示】這道題主要考查倍長中線的旋轉(zhuǎn)型全等．
  （1）如圖1-1，在中，AD平分交BC于點(diǎn)D，且，若，，則BC的長為______． （2）如圖1-2，在中，，，M是BC的中點(diǎn)，AD平分，且MF//AD，則FC的長等于________.  （3）如圖1-3，的內(nèi)角和外角的平分線相交于點(diǎn)E，BE交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG//BD交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，連接AE，以下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有_____________（只填序號(hào)）．          圖1-1                  圖1-2                      圖1-3 【解析】（1）6；     （2），過點(diǎn)B作AD的平行線，交CA的延長線于點(diǎn)E，可證出，則．（3）①③④．
 在中，E為BC邊的中點(diǎn)，于E點(diǎn)，交AC于D點(diǎn)，求證：．                     【解析】解法一：連結(jié)BD，易得，．而，于是，故．解法二：連接，易得，則．如圖，在中，的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作于N，于點(diǎn)M，求證：．           【解析】證明：連接PB，PC，∵AP是的平分線，，，∴，，∵P在BC的垂直平分線上，∴，在和中，∴，∴．
 如圖，在中，，分別以BC、CD和BD為邊在外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，連接AD、BE和CF交于點(diǎn)P，試證明：（1）①；②；③；（2）在（1）的條件下，求證：． 【解析】（1）和都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，同理，，， ，，，，，同理，即，（2）證明：在PE上截取，連接CM，由（1）可知，，，設(shè)CD與BE交于點(diǎn)G，在和中，，，，同理，是等邊三角形，，，，，，，，即．
 已知兩個(gè)全等的等腰直角、，其中，E為AB中點(diǎn)，可繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，DE、EF分別交線段CA，CB（它們所在直線）于M、N．（1）如圖5-l，當(dāng)線段EF經(jīng)過的頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，線段DE交AC于M，求證：；（2）如圖5-2，當(dāng)線段EF與線段BC邊交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請?zhí)骄?/span>AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖5-3，當(dāng)線段EF與BC延長線交于N點(diǎn)，線段DE與線段AC交于M點(diǎn)，連MN，EC，請猜想AM，MN，CN之間的等量關(guān)系，不必說明理由．          圖5-1                  圖5-2                        圖5-3 【解析】（1）∵，E為AB中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴； （2），理由如下：在AM截取AH，使得，連接EH，由（1）知，，∵在與中：，∴，∴，，∴，∴，∵在與中：，∴，∴，∴；即；（3）猜得：，理由如下：在CB上截取，連接EH，在和中，，∴，∴，，，∵，，∴，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴．

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