北師大版（2024新版）七年級下冊數(shù)學(xué)第一章《整式的乘除》教案 1同底數(shù)冪的乘法 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解同底數(shù)冪的乘法法則，能熟練運用該法則解決與之相關(guān)的一些數(shù)學(xué)問題。 2.經(jīng)歷探索同底數(shù)冪乘法運算法則的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理和歸納的能力。 3.通過同底數(shù)冪的乘法法則的探索過程使學(xué)生感受到由特殊到一般再到特殊的數(shù)學(xué)思想，通過合作學(xué)習(xí)激發(fā)學(xué)生的探索熱情，感受到成功的喜悅。 【教學(xué)重點】 同底數(shù)冪的乘法法則的探索過程和理解應(yīng)用。 【教學(xué)難點】 同底數(shù)冪的乘法法則的理解。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.乘方： 2.光在真空中的速度大約是3×105千米/秒，太陽系以外距離地球最近的恒星是比鄰星，它發(fā)出的光到達(dá)地球大約需要4.22年。一年以3×107秒計算，比鄰星與地球的距離約為多少千米？ [教學(xué)說明] 以課本上有趣的天文知識為引例，讓學(xué)生從中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型，實際在列式計算時遇到了同底數(shù)冪相乘的形式，給出問題，啟發(fā)學(xué)生進行獨立思考，也可采用小組合作交流的形式，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的有關(guān)冪的意義的知識，進行推導(dǎo)嘗試，力爭獨立得出結(jié)論。 二、思考探究，獲取新知 1.計算下列各式： (1)102×103;(2)105×108; （3）10m×10n（m，n都是正整數(shù)）。你發(fā)現(xiàn)了什么？ [教學(xué)說明] 小組合作探究，對于有的同學(xué)可能會由上面的分析感覺到了規(guī)律的存在，可鼓勵他們進行驗證。請部分學(xué)生代表說出自己小組的觀點，其他組同學(xué)則進行評價或發(fā)表不同的見解。 2. 2m×2n等于什么？呢？（m，n都是正整數(shù)） [教學(xué)說明] 猜想，交流，驗證，口答。 3.合作交流：am·an等于什么？（m，n都是正整數(shù)） 4.引導(dǎo)學(xué)生剖析法則。 （1）等號左邊是什么運算？ （2）等號兩邊的底數(shù)有什么關(guān)系？ （3）等號兩邊的指數(shù)有什么關(guān)系？ （4）你能總結(jié)同底數(shù)冪的乘法的法則嗎？ [教學(xué)說明] 猜想，交流，驗證，口答。 [歸納結(jié)論] am·an=am+n(m,n都是正整數(shù)）同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P3例1、例2.2.計算： (1)-b3·b2 (2) (-a)·a3 (3)(-y)2·(-y)3 (4)(-a)3·(-a)4 (5)-34×32 (6)(-5)7×(-5)6 (7)(-q)2n·(-q)3 (8)(-m)4·(-m)2 (9)-23 (10)(-2)4×(-2)5 (11)-b9·(-b)6 (12)（-a）3·(-a3) 答案： (1)-b5 (2)-a4 (3)-y5 (4)-a7 (5)-729 (6)-513 (7)-q2n+3 (8)m6 (9)-8 (10)-512 (11)-b15 (12)a6 3.下面的計算對不對？如果不對，應(yīng)怎樣改正？ (1)23×32=65; (2)a3+a3=a6; (3)yn·yn=2y2n; (4)m·m2=m2; (5)(-a)2·(-a2)=a4; (6)a3·a4=a12; (7)(-4)3=43; (8)7×72×73=76; (9)-22=-4; (10)n+n2=n3. 4.計算： 5.計算：（結(jié)果可以化成以（a+b）或（a-b）為底時冪的形式）. (1)（a-b）2·(a-b)3·(a-b)4 (2)（a+b）m+1·(a+b)+(a+b)m·(a+b)2 答案：（1）（a-b）9 （2）2(a+b)m+2 6.我國自行研制的“神威”計算機的峰值運算速度達(dá)到每秒3840億次。如果按這個速度工作一整天，那么它能運算多少次（結(jié)果保留3個有效數(shù)字）？ 提示：3840億次=3.84×103×108次、24時=24×3.6×103秒 解：（3.84×103×108）×(24×3.6×103)=(3.84×24×3.6)×(103×108×103)=331.776×1014≈3.32×1016（次） 答：它能運算約3.32×1016次。 [教學(xué)說明] 給學(xué)生充足的思維空間，養(yǎng)成獨立思考習(xí)慣，讓后進生也能在課堂上體驗成功，有成就感；且該教學(xué)活動亦能培養(yǎng)學(xué)生仔細(xì)觀察問題的習(xí)慣。 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想再以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.1”中第1、2、3題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 2 冪的乘方與積的乘方 第1課時 冪的乘方 【教學(xué)目標(biāo)】 1.學(xué)習(xí)冪的乘方的運算性質(zhì)，進一步體會冪的意義，并能解決實際問題。 2.經(jīng)歷探索冪的乘方運算性質(zhì)的過程，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力，提高解決問題的能力。 3.體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。 【教學(xué)重點】 會進行冪的乘方的運算。 【教學(xué)難點】 冪的乘方法則的總結(jié)及運用。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 復(fù)習(xí)已學(xué)過的冪的意義及冪的運算法則。 1.冪的意義是什么？ 2.同底數(shù)冪的乘法的法則是什么？根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，帶領(lǐng)學(xué)生回憶并探討以下實際問題： （1）乙正方體的棱長是2cm，則乙正方體的體積V乙=______cm3.甲正方體的棱長是乙正方體的5倍，則甲正方體的體積V=______cm3. （2）乙球的半徑為3cm，則乙球的體積V乙=________cm3（球的體積公式是V=πr3，其中V是體積，r是球的半徑）甲球的半徑是乙球的10倍，則甲球的體積V甲=______cm3. 如果甲球的半徑是乙球的n倍，那么甲球體積是乙球體積的______倍。 （3）地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的______倍和______倍。 [教學(xué)說明] 在實際教學(xué)過程中應(yīng)本著從學(xué)生實際出發(fā)的原則，首先從學(xué)生最為熟悉的正方體體積入手，通過具體數(shù)字來研究問題，這是良策。進而告知學(xué)生球的體積公式，給出具體數(shù)字再去研究。 二、思考探究，獲取新知 1.通過問題情境繼續(xù)研究：為什么（102）3=106？ [教學(xué)說明] 讓學(xué)生清楚運算之間的關(guān)系，題目所描述的是10的2次冪的三次方，其底數(shù)是冪的形式，然后根據(jù)冪的意義展開運算，去探究運算的過程。 2.計算下列各式，并說明理由。 (1)(62)4; (2)(a2)3; (3)(am)2; (4)(am)n. [教學(xué)說明] 學(xué)習(xí)的過程中，時刻不能忘記學(xué)生是主體，一切教學(xué)活動都應(yīng)當(dāng)從學(xué)生已有的認(rèn)知角度出發(fā)，問題環(huán)節(jié)設(shè)計跨越性不能太大，要讓學(xué)生在不斷的探索過程中得到不同程度的感悟，自己能夠主動地去探究問題的實質(zhì)，有成功的體驗。 3.觀察結(jié)果中冪的指數(shù)與原式中冪的指數(shù)及乘方的指數(shù)，想一想它們之間有什么關(guān)系？結(jié)果中的底數(shù)與原式的底數(shù)之間有什么關(guān)系？你能總結(jié)這個規(guī)律嗎？ [教學(xué)說明] 培養(yǎng)學(xué)生從“一般”到“特殊”再到“一般”的研究問題方法和概括歸納能力。 [歸納結(jié)論] 冪的乘方的法則： （am）n=amn（當(dāng)m、n都是正整數(shù)） 冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P6例1 2.計算： (1)(75)4=______;(2)75×74=______; (3)(x5)2=______;(4)x5·x2=______; (5)[(-7)4]5=______;(6)[(-7)5]4=______. 答案：（1）720（2）79（3）x10（4）x7（5）720（6）720 3.你能說明下面每一步計算的理由嗎？將它們填在括號里。 答案： （1）冪的乘方法則同底數(shù)冪的乘法法則 （2）冪的乘方法則合并同類項法則 4.計算下列各式。 5.若│a-2b│+（b-2）2=0，求a5b10的值。 解：∵│a-2b│≥0，（b-2）2≥0， 且│a-2b│+（b-2）2=0. ∴│a-2b│=0,(b-2)2=0, 6.若xm·x2m=2，求x9m. 解：x3m=2，x9m=(x3m)3=23=8. 7.已知a=3555，b=4444，c=5333，試比較a，b，c的大小。 解：∵a=3555=35×111=（35）111=243111， b=4444=44×111=(44)111=256111. c=5333=53×111=(53)111=125111, 又∵256>243>125， ∴256111>243111>125111. 即b>a>c. 8.化簡-{-［（-a2）3］4}2 解：-{-［（-a2）3］4}2=-{-［-a6］4}2=-{-a24}2=-a48 [教學(xué)說明] 培養(yǎng)學(xué)生對新知識的靈活運用能力。 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.(am)n＝am·n(m、n是正整數(shù)），這里的底數(shù)a，可以是數(shù)、是字母，也可以是代數(shù)式；這里的指數(shù)是指冪指數(shù)及乘方的指數(shù)。 2.對于同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、要理解它們的聯(lián)系與區(qū)別。在利用法則解題時，要正確選用法則，防止相互之間發(fā)生混淆（如：am·an＝am+n，(am)n＝amn)。并逐步培養(yǎng)自己“以理馭算”的良好運算習(xí)慣。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.2”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 積的乘方 【教學(xué)目標(biāo)】 1.經(jīng)歷探索積的乘方的運算性質(zhì)的過程，進一步體會冪的意義。 2.了解積的乘方的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。 3.在探索積的乘方的運算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。 4.在發(fā)展推理能力和有條理的語言和符號表達(dá)能力的同時，進一步體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。 【教學(xué)重點】 會進行積的乘方的運算。 【教學(xué)難點】 正確區(qū)別冪的乘方與積的乘方的異同。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.復(fù)習(xí)前幾節(jié)課學(xué)習(xí)的有關(guān)冪的三個知識點： ①冪的意義。 ②同底數(shù)冪的乘法運算法則am·an=am+n（m、n為正整數(shù)）. ③冪的乘方運算法則（am)n=amn(m、n都是正整數(shù)）. 2.計算： (1)-a2·a6;（2）(-x)·(-x)3;（3）(103)3; (4)(-p)·(-p)4;（5）(a2)3·(a3)2;（6）(a4)6-(a3)8. [教學(xué)說明] 參與回顧舊知識為新課作準(zhǔn)備。 二、思考探究，獲取新知 1.地球可以近似的看做是球體，如果用V、r分別代表球的體積和半徑，那么V＝πr3.地球的半徑約為6×103千米，它的體積大約是多少立方千米？根據(jù)公式可知：V＝r3=π (6×103)3那么（6×103）3=？ 2.仿照第（1）小題，計算（2）（3）題： (1)23×53; 解：原式＝(2×2×2)×(5×5×5) =(2×5)×(2×5)×(2×5) =(2×5)3 (2)28×58; (3)212×512. 從以上的計算中，我們發(fā)現(xiàn)了什么？ [教學(xué)說明] 通過對以上特別的計算，學(xué)生能歸納出：an·bn=(a·b)n. 3.做一做： 4.你能根據(jù)冪的意義和乘法的運算律推出公式嗎？你能用自己的語言描述該性質(zhì)的特點嗎？ [歸納結(jié)論] an·bn=(a·b)n（n為正整數(shù)）積的乘方等于每一個因式乘方的積。 [教學(xué)說明] 在實踐中探索新知，進一步學(xué)會總結(jié)運算中的規(guī)律。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P7例2. 2.計算下列各式，結(jié)果是x8的是（D） 3.下列各式中計算正確的是（C） 4.計算（-x2）3的結(jié)果是（C） A.-x5 B.x5 C.-x6 D.x6 5.下列四個算式中： ①（a3）3=a3+3=a6；②［（b2）2］2=b2×2×2=b8；③［（-x）3］4=（-x）12=x12；④（-y2）5=y10，正確的算式有（C） A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 6.計算下列各式。 7.已知：2x+3y-4=0，求4x·8y的值。 解：因為，2x+3y-4=0, 所以2x+3y=4. 所以4x·8y=22x×23y=22x+3y=24=16. 8.已知：9n+1-32n=72，求n的值。 解：由9n+1-32n=72得 32n+2-32n=72，9×32n-32n=72，8×32n=72，32n=9，所以n=1. 9.若a=255，b=344，c=433，比較a、b、c的大小。 解：因為a=(25)11=3211，b=(34)11=8111，c=(43)11=6411，所以an) 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 探究2：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 1.做一做： 104=10000, 24=16 10()=1000, 2()=8 10()=100, 2()=4 10()=10, 2()=2 2.猜一猜：下面的括號內(nèi)該填入什么數(shù)？你是怎么想的？與同伴交流： 3.你有什么發(fā)現(xiàn)？能用符號表示你的發(fā)現(xiàn)嗎？ 4.你認(rèn)為這個規(guī)定合理嗎？為什么？ [教學(xué)說明] 讓學(xué)生完整的經(jīng)歷觀察、歸納、猜想、解釋的過程，從而感悟到先由具體問題概括出結(jié)論，再通過一般性證明來說明結(jié)論的合理性這樣一個解決問題的方法，數(shù)學(xué)合情推理和演繹推理能力的培養(yǎng)就蘊含在這樣的思維過程之中。同時，不同的解釋思路可以幫助學(xué)生從不同的角度，更好地理解零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義。 [歸納結(jié)論] a0=1(a≠0) a-p= (a≠0,p是正整數(shù)） 三、運用新知，深化理解 1.見教材P10例1、例22。計算： 3.若式子（2x-1）0有意義，求x的取值范圍。 分析：由零指數(shù)冪的意義可知，只要底數(shù)不等于零即可。 解：由2x-1≠0，得x≠，即，當(dāng)x≠時，（2x-1）0有意義。 4.計算： 5.計算： (1)(a8)2÷a8; (2)(a-b)2(b-a)2n÷(a-b)2n-1. 解：（1）（a8）2÷a8=a16÷a8=a16-8=a8； (2)(a-b)2(b-a)2n÷(a-b)2n-1 =(a-b)2(a-b)2n÷(a-b)2n-1 =(a-b)2+2n-(2n-1) =(a-b)3 6.計算下列各式，并把結(jié)果化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式。 分析：（1）正整數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)運算對負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪同樣適用。對于第（2）題，在運算過程中要把（x+y）.(x-y）看成一個整體進行運算。 [教學(xué)說明] 在教學(xué)時應(yīng)重視對算理的理解，每一小題都應(yīng)先讓學(xué)生判斷是不是同底數(shù)冪的除法運算，再說出每一步運算的道理，有意識地培養(yǎng)他們有條理的思考和語言表達(dá)能力 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？ 2.現(xiàn)在你一共學(xué)習(xí)了哪幾種冪的運算？它們有什么聯(lián)系與區(qū)別？談?wù)勀愕睦斫狻?五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.4”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較小的數(shù) 【教學(xué)目標(biāo)】 1.會用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù)，能進行它們的乘除運算，并將結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示出來。 2.借助自己熟悉的事物感受絕對值較小的數(shù)據(jù)，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。 3.了解數(shù)學(xué)的價值，體會數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。 【教學(xué)重點】 用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù)。 【教學(xué)難點】 用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù)。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.納米是一種長度單位，1米=1,000,000,000納米，你能用科學(xué)記數(shù)法表示1,000,000,000嗎？ 2.在用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)據(jù)時，我們要注意哪些問題？ [教學(xué)說明] 引導(dǎo)學(xué)生回顧如何用科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)以及應(yīng)注意的問題，為下面類比表示小于1的正數(shù)奠定基礎(chǔ)。 二、思考探究，獲取新知 1. 1納米=（）米這個結(jié)果還能用科學(xué)記數(shù)法表示嗎？ 2.你知道生物課中接觸的洋蔥表皮細(xì)胞的直徑是多少嗎？照相機的快門時間是多長呢？中彩票頭獎的可能性是多大？頭發(fā)的直徑又是多少呢？生活中你還見到過哪些較小的數(shù)？請把你找到的資料和數(shù)據(jù)與同伴交流。 無論在生活還是在學(xué)習(xí)中，都會遇到一些較小的數(shù)，例如： 細(xì)胞的直徑只有1微米，即0.000001米。 某種計算機完成一次運算的時間為1納秒，即0.000000001s. 一個氧原子的質(zhì)量為0.00000000000000000000000002657 千克。那么為了書寫方便，能不能用科學(xué)記數(shù)法來表示這些較小的數(shù)呢？ [教學(xué)說明] 讓學(xué)生從最熟悉的生活場景中查找絕對值較小的數(shù)據(jù)，符合他們的認(rèn)知和年齡特點，目的是讓學(xué)生體會這些數(shù)據(jù)在生活中的廣泛存在，同時在記錄數(shù)據(jù)的過程中學(xué)生會感受到書寫的復(fù)雜性，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)欲望，借助前面的經(jīng)驗來自主探索更為簡便的表示方法。 [歸納結(jié)論] 一般地，一個小于1的正數(shù)可以表示為a×10n，其中1≤a＜10，n是負(fù)整數(shù)。 三、運用新知，深化理解 1.-2.040×105表示的原數(shù)為（A） A.-204000 B.-0.000204 C.-204.000 D.-20400 2.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)。 (1)30920000 (2)0.00003092 (3)-309200 (4)-0.000003092 分析：用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，關(guān)鍵是確定a和n的值。 解： （1）原式=3.092×107 （2）原式=3.092×10-5 （3）原式=-3.092×105 （4）原式=-3.092×10-6 3.用小數(shù)表示下列各數(shù)。 (1)-6.23×10-5; (2)（-2）3×10-8. 分析：本題對科學(xué)記數(shù)法進行了逆向考查，同樣，關(guān)鍵是弄清楚n的值與小數(shù)點之間的變化關(guān)系。 解：（1）原式=-0.0000623； （2）原式=-8×10-8=-0.00000008. 4.（1）原子彈的原料——鈾，每克含有2.56×1021個原子核，一個原子核裂變時能放出3.2×10—11J的熱量，那么每克鈾全部裂變時能放出多少熱量？ （2）1塊900mm2的芯片上能集成10億個元件，每一個這樣的元件約占多少平方毫米？約多少平方米？（用科學(xué)記數(shù)法表示） 分析：第（1）題直接列式計算；第（2）題要弄清m2和mm2之間的換算關(guān)系，即1m=1000mm=103mm，1m2=106mm2，再根據(jù)題意計算。 解：（1）由題意得2.56×1021×3.2×10-11=2.56×3.2×1021×10-11=8.192×1010J 答：每克鈾全部裂變時能放出的熱量為8.192×1010J的熱量。 (2) =900×10-9=9×102×10-9=9×10-7(mm2)； 9×10-7÷106=9×10-7-6=9×10-13(m2) 答：每一個這樣的元件約占9×10-7mm2；約9×10-13m2. [教學(xué)說明] 2、3兩題通過正反兩個方面的運用來鞏固學(xué)生對科學(xué)記數(shù)法的理解。 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？ 2.用科學(xué)記數(shù)法表示小于1的正數(shù)與表示大于10的數(shù)有什么相同之處？有什么不同之處？ 3.用科學(xué)記數(shù)法表示容易出現(xiàn)哪些錯誤？你有哪些經(jīng)驗？與同伴交流。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.5中第1、2、3題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 4整式的乘法 第1課時 單項式與單項式相乘 【教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生理解并掌握單項式與單項式相乘的法則，能夠熟練地進行單項式的乘法計算。 2.通過探究單項式與單項式相乘的法則，培養(yǎng)了學(xué)生歸納、概括能力，以及運算能力。 3.通過單項式的乘法法則在生活中的應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。 【教學(xué)重點】 掌握單項式與單項式相乘的法則。 【教學(xué)難點】 分清單項式與單項式相乘中，冪的運算法則。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 京京用同樣大小的紙精心制作的兩幅畫，如圖所示，第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有18x米的空白，你能表示出兩幅畫的面積嗎？ 教師提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生對兩個代數(shù)式進行分析： 問題1：以上求矩形的面積時，會遇到x·mx，（mx）·x，這是什么運算呢？ 問題2：什么是單項式？我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們就來研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項式乘以單項式。 [教學(xué)說明] 以上設(shè)計從實際問題出發(fā)，引出了單項式乘法，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識來源于生活，并能解決生活中的問題。 二、思考探究，獲取新知 繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析實例中出現(xiàn)的算式，教師提出以下三個問題： 問題1：對于實際問題的結(jié)果x·mx，（mx）·mx可以表達(dá)得更簡單些嗎？說說你的理由？ 問題2：類似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表達(dá)的更簡單一些嗎？ 問題3：如何進行單項式與單項式相乘的運算？ [教學(xué)說明] 組織學(xué)生先獨立思考，再以四人為小組討論，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的見解，全班共同交流，得出單項式乘法的法則。得出法則后，教師再提出有思維價值的問題，引導(dǎo)學(xué)生對探究的過程進行反思，明確算理，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。 [歸納結(jié)論] 單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。 問題4：在你探索單項式乘法運算法則的過程中，運用了哪些運算律和運算法則？ 學(xué)生回答：運用了乘法的交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)。 [教學(xué)說明] 實際教學(xué)中，視學(xué)生情況而定，以上四個問題可同時給出，也可以逐一給出。教師通過問題1和問題2，讓學(xué)生獨立思考，自主探究，經(jīng)歷知識形成的過程，在探究中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)出規(guī)律，獲得體驗。教師應(yīng)鼓勵學(xué)生靈活運用乘法交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪的運算性質(zhì)等知識探索單項式乘單項式的運算法則，并理解算理，在探究的基礎(chǔ)上運用自己的語言描述單項式乘法的法則。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P14例1. 2.下列運算正確的是（D） 上述過程中有無錯誤？如果有，請寫出正確的解答過程。 解：有錯誤； [教學(xué)說明] 在學(xué)習(xí)了單項式乘法法則后，及時通過一組習(xí)題和練習(xí)幫助學(xué)生熟悉法則的應(yīng)用及每一步的算理，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出運用單項式相乘的乘法法則時，應(yīng)注意以下幾點： （1）進行單項式乘法，應(yīng)先確定結(jié)果的符號，再把同底數(shù)冪分別相乘，這時容易出現(xiàn)的錯誤是將系數(shù)相乘與相同字母指數(shù)相加混淆； （2）不要遺漏只在一個單項式中出現(xiàn)的字母，要將其連同它的指數(shù)作為積的一個因式； （3）單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用； （4）單項式乘以單項式，結(jié)果仍為單項式。 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想，后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.6”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 單項式與多項式相乘 【教學(xué)目標(biāo)】 1.在具體情境中了解單項式與多項式乘法的意義，會進行單項式與多項式的乘法運算。 2.經(jīng)歷探索單項式與多項式乘法法則的過程，理解單項式與多項式相乘的算理，體會乘法分配律的重要作用及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和語言表達(dá)能力。 3.在探索單項式與多項式乘法運算法則的過程中，獲得成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 【教學(xué)重點】 會進行單項式與多項式的乘法運算。 【教學(xué)難點】 靈活運用單項式乘以多項式的運算法則。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.如何進行單項式乘單項式的運算？你能舉例說明嗎？ 2.計算： 3.寫一個多項式，并說明它的次數(shù)和項數(shù)。 [教學(xué)說明] 首先引導(dǎo)學(xué)生回憶單項式乘單項式的運算法則，目的是為探索單項式乘以多項式法則做好鋪墊，因為最終我們要將它轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式，所以這里通過活動1、2來進行回顧十分必要。 問題3的設(shè)置為今天的新課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。 二、思考探究，獲取新知 探究：寧寧作了一幅畫，所用紙的大小如圖所示，她在紙的左、右兩邊各留了xm的空白，這幅畫的畫面面積是多少？ 先讓學(xué)生獨立思考，之后全班交流。交流時引導(dǎo)學(xué)生呈現(xiàn)出自己的思考過程。 同學(xué)之中主要有兩種做法： 法一：先表示出畫面的長和寬，由此得到畫面的面積為x(mx-x)； 法二：先求出紙的面積，再減去兩塊空白處的面積，由此得到畫面的面積為mx2-x2. 教師啟發(fā)學(xué)生：兩種方法得到的答案不一樣，到底哪種方法對？短暫的思考之后，學(xué)生回答都對，由此引出x(mx-x)= mx2-x2這個等式。 引導(dǎo)學(xué)生觀察這個算式，并思考兩個問題： 式子的左邊是什么運算？能不能用學(xué)過的法則說明這個等式成立的原因？ 學(xué)生不難總結(jié)出：式子的左邊是一個單項式與一個多項式相乘，利用乘法分配律可得x（mx-x）=x·mx-x·x，再根據(jù)單項式乘單項式法則或同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)得到x·mx-x·x=mx2-x2，即x（mx-x）=mx2-x2. [教學(xué)說明] 從實際問題出發(fā)，學(xué)生通過對同一面積的不同表達(dá)，引出x（mx-x）=mx2-x2這個等式。 想一想： 問題1：ab·(abc+2x）及c2(m+n-p）等于什么？你是怎樣計算的？ 問題2：如何進行單項式與多項式相乘的運算？ [教學(xué)說明] 設(shè)置問題1是讓學(xué)生獲得更充分的體驗，為下面順利歸納單項式與多項式的乘法法則鋪平道路。 [歸納結(jié)論] 單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P16例2. 2.計算： 5.一條防洪堤壩，其橫斷面是梯形，上底寬a米，下底寬（a+2b）米，壩高a米。 （1）求防洪堤壩的橫斷面積； （2）如果防洪堤壩長100米，那么這段防洪堤壩的體積是多少立方米？ 解：（1）防洪堤壩的橫斷面積 S=［a+(a+2b)]×a=a2+ab. 故防洪堤壩的橫斷面積為a2+ab平方米； （2）堤壩的體積V=Sh=（a2+ab）×100=50a2+50ab. 故這段防洪堤壩的體積是（50a2+50ab）立方米。 6.某同學(xué)在計算一個多項式乘以-3x2時，因抄錯運算符號，算成了加上-3x2，得到的結(jié)果是x2-4x+1，那么正確的計算結(jié)果是多少？ 解：這個多項式是（x2-4x+1）-（-3x2）=4x2-4x+1 正確的計算結(jié)果是：（4x2-4x+1）·（-3x2）=-12x4+12x3-3x2. ]7.對任意有理數(shù)x、y定義運算如下：x△y=ax+by+cxy，這里a、b、c是給定的數(shù)，等式右邊是通常數(shù)的加法及乘法運算，如當(dāng)a=1，b=2，c=3時，1△3=1×1+2×3+3×1×3=16，現(xiàn)已知所定義的新運算滿足條件，1△2=3，2△3=4，并且有一個不為零的數(shù)d使得對任意有理數(shù)x△d=x，求a、b、c、d的值。 解：∵x△d=x，∴ax+bd+cdx=x， ∴(a+cd-1)x+bd=0, ∵有一個不為零的數(shù)d使得對任意有理數(shù)x△d=x， 則有 ∵1△2=3,∴a+2b+2c=3②, ∵2△3=4,∴2a+3b+6c=4③, 又∵d≠0，∴b=0， ∴有方程組解得 故a的值為5,b的值為0,c的值為-1,d的值為4. [教學(xué)說明] 通過不同難度的練習(xí)題，不斷促進學(xué)生思考，運用所學(xué)知識解決新問題，在解決問題的過程中獲得能力的提高。教學(xué)中，教師可以通過靈活的評價方式，激勵學(xué)生挑戰(zhàn)多星題，培養(yǎng)學(xué)生樂于鉆研的精神。 四、師生互動，課堂小結(jié) 單項式與多項式相乘的步驟： 乘法分配律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數(shù)和的形式； 化為單項式的乘法運算； 所得的積相加。 解題時需要注意的問題： 項式乘多項式的積仍是多項式，其項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同； ②單項式分別與多項式的每一項相乘時，要注意積的各項符號的確定，多項式中的每一項前面的符號是性質(zhì)符號，同號相乘得正，異號相乘得負(fù)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式； 項式要乘以多項式的每一項，不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象； ④混合運算中，要注意運算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.7”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第3課時 多項式與多項式相乘 【教學(xué)目標(biāo)】 1.在具體情境中了解多項式乘法的意義，會利用法則進行簡單的多項式乘法運算。 2.經(jīng)歷探索多項式與多項式乘法法則的過程，理解多項式與多項式相乘的運算算理，體會乘法分配律的作用及轉(zhuǎn)化思想在解決問題過程中的應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生有條理的思考和語言表達(dá)能力。 3.在解決問題的過程中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心。 【教學(xué)重點】 熟悉多項式與多項式乘法法則。 【教學(xué)難點】 理解多項式與多項式相乘的算理。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.如何進行單項式乘多項式的運算？你能舉例說明嗎？ 2.計算： (1)（3mn）2·(m2+mn-n2); (2)2a2-a(2a-5b)-b(2a-b). [教學(xué)說明] 單項式乘以多項式運算是多項式乘以多項式運算的基礎(chǔ)，所以幫助學(xué)生回憶單項式乘多項式的運算非常重要。 二、思考探究，獲取新知 下圖1-1是一個長和寬分別為m，n的長方形紙片，如果它的長和寬分別增加a，b，所得長方形（圖1-2）的面積可以怎樣表示？ 學(xué)生獨立思考后，全班交流，主要產(chǎn)生了四種解法： 方法一：長方形的長為（m+a），寬為（n+b），所以面積可以表示為（m+a）(n+b)； 方法二：長方形可以看做是由四個小長方形拼成的，四個小長方形的面積分別為mn，mb，an，ab，所以長方形的面積可以表示為mn+mb+an+ab； 方法三：長方形可以看做是由上下兩個長方形組成的，上面的長方形面積為b（m+a），下面的長方形面積為n（m+a），這樣長方形的面積就可以表示為n（m+a）+b（m+a），根據(jù)上節(jié)課單項式乘多項式的法則，結(jié)果等于nm+na+bm+ba； 方法四：長方形可以看做是由左右兩個長方形組成的，左邊的長方形面積為m（b+n），右邊的長方形面積為a（b+n），這樣長方形的面積就可以表示為m（b+n）+a（b+n），根據(jù)上節(jié)課單項式乘多項式的法則，結(jié)果等于mb+mn+ab+an. 將四種方法的過程板書到黑板上，由于求的是同一個長方形的面積，于是我們得到： (m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mn+mb+an+ab 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這個等式，并啟發(fā)性的將等式板書為以下形式： (m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a) 或（m+a）(n+b)=m(b+n)+a(b+n) 或（m+a）(n+b)=mn+mb+an+ab [教學(xué)說明] 引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、實驗、類比、歸納獲得數(shù)學(xué)猜想。在上一課時中，學(xué)生已經(jīng)有了利用圖形面積探究法則的經(jīng)驗，因此用不同方法計算同一圖形面積猜想出多項式乘法法則并不困難，順利引出新課。 觀察上面的過程，回答下列問題： 1.你能說出（m+a）(n+b)=n(m+a)+b(m+a) 這一步運算的道理嗎？ 2.結(jié)合這個算式（m+a）(n+b)=mn+mb+an+ab，你能說說如何進行多項式與多項式相乘的運算？ 3.歸納總結(jié)多項式與多項式相乘的運算法則。 [歸納結(jié)論] 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P18例3. 2.下列說法不正確的是（D） A.兩個單項式的積仍是單項式； B.兩個單項式的積的次數(shù)等于它們的次數(shù)之和； C.單項式乘以多項式，積的項數(shù)與多項式項數(shù)相同； D.多項式乘以多項式，合并同類項前，積的項數(shù)等于兩個多項式的項數(shù)之和。 3.下列多項式相乘的結(jié)果是a2-a-6的是（B） A.(a-2)(a+3); B.(a+2)(a-3); C.(a-6)(a+1); D.(a+6)(a-1). 4.下列計算正確的是（C） A.a3·(-a2)=a5; B.(-ax2)3=-ax6; C.3x3-x(3x2-x+1)=x2-x; D.(x+1)(x-3)=x2+x-3. 5.若（x+m）（x+n）=x2-6x+5，則（A） A.m，n同時為負(fù)； B.m，n同時為正； C.m，n異號； D.m，n異號且絕對值小的為正。 6.要使（x-3)·M=x2+x+N成立，且M是一個多項式，N是一個整數(shù)，則（C） A.M=x-4,N=12; B.M=x-5,N=15; C.M=x+4,N=-12; D.M=x+5,N=-15. 7.計算： (1)(3x+1)(x-2); (2)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2); (3)(x-5)(x+2); (4)(x+5)(x-2); (5)(x-5)(x-2); (6)(x+5)(x+2). 答案： (1)3x2-5x-2;（2）5a-6;（3）x2-3x-10; (4)x2+3x-10;（5）x2-7x+10;（6）x2+7x+10. 8.若（mx+y）（x-y）=2x2+nxy-y2，求m，n的值。 解：左邊=mx2-mxy+xy-y2=mx2+(1-m)xy-y2 ∴m=2,n=1-m ∴n=-1 9.對于任意自然數(shù)，試說明代數(shù)式n（n+7）-（n-3）（n-2）的值都能被6整除。 解：n（n+7）-（n-3）（n-2）=n2+7n-n2+5n-6=12n-6=6（2n-1）. 因為n為自然數(shù)， 所以6（2n-1）一定是6的倍數(shù)。 [教學(xué)說明] 讓學(xué)生通過不同形式的多項式相乘，靈活應(yīng)用法則，針對解決不同問題時遇到的問題，積累解題經(jīng)驗。對于掌握程度比較好的學(xué)生，需要設(shè)置一些具有挑戰(zhàn)性的題目，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的動力。 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？ 2.領(lǐng)悟到哪些解決問題的方法？感觸最深的是什么？ 3.對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有什么困惑？ 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.8”中第1、2、3題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 5 平方差公式 第1課時 平方差公式的認(rèn)識 【教學(xué)目標(biāo)】 1.使學(xué)生理解和掌握平方差公式； 2.會利用公式進行計算，能夠掌握平方差公式的一些應(yīng)用。 3.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，增強了數(shù)和符號的意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力。 4.在探索和交流的過程中，培養(yǎng)學(xué)生與人協(xié)作的習(xí)慣、質(zhì)疑的精神。 【教學(xué)重點】 弄清平方差公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，能用自己的語言說明公式及其特點。 【教學(xué)難點】 準(zhǔn)確理解和掌握公式的結(jié)構(gòu)特征。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 回顧整式乘法中多項式與多項式相乘： 1.多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。符號表示：（m+b）(n+a)=mn+ma+bn+ba； 2.兩項式乘以兩項式，結(jié)果可能是兩項嗎？請你舉例說明。 [教學(xué)說明] 平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式，它的得出可以直接利用多項式乘以多項式法則，設(shè)計這一環(huán)節(jié)的目的，是在復(fù)習(xí)上節(jié)課知識的基礎(chǔ)上，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好知識準(zhǔn)備。 二、思考探究，獲取新知 1.計算下列各式： (1)(x+2)(x-2); (2)(1+3a)(1-3a); (3)(x+5y)(x-5y); (4)(2y+z)(2y-z). 2.觀察以上算式及其運算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ [歸納結(jié)論] 平方差公式：（a+b）(a-b)＝a2-b2兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，等于它們的平方差。 [教學(xué)說明] 在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，引入形式特殊的多項式乘以多項式，使學(xué)生在計算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會規(guī)律的一般性，提出自己的猜想，并嘗試用數(shù)學(xué)語言進行描述。 應(yīng)用平方差公式的注意應(yīng)注意些什么呢？ （1）注意平方差公式的適用范圍； （2）字母a、b可以是數(shù)，也可以是整式； （3）注意計算過程中的符號和括號。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P20例1、例2. 2.填空題： 3.下列式中能用平方差公式計算的有（D） ①(x-y)(x+y),②(3a-bc)(-bc-3a),③(3-x+y)(3+x+y),④(100+1)(100-1) A.1個B.2個C.3個D.4個 4.下列式中，運算正確的是（C） A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 5.乘法等式中的字母a、b表示（D） A.只能是數(shù) B.只能是單項式 C.只能是多項式 D.單項式、多項式都可以 6.計算： (1)(2a-3b)(2a+3b); 解：原式=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2 (2)(-p2+q)(-p2-q); 解：原式=（-p2）2-（q）2=p4-q2 (3)（4a-7b）(4a+7b); 解：原式=(4a)2-(7b)2=16a2-49b2 (4)（-2m-n）(2m-n); 解：原式=(-n)2-(2m)2=n2-4m2 7.計算（a+1）(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1). 解：原式=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a8+1)=a16-1 [教學(xué)說明] 在深刻理解公式的基礎(chǔ)上，借助例題訓(xùn)練學(xué)生正確應(yīng)用公式計算，體會公式在簡化運算中的作用，并通過鞏固練習(xí)，進一步強化技能。 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 公式的結(jié)構(gòu)特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積；右邊是兩數(shù)的平方差。 2.應(yīng)用平方差公式的注意事項： （1）注意平方差公式的適用范圍； （2）字母a、b可以是數(shù)，也可以是整式； （3）注意計算過程中的符號和括號。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.9”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 平方差公式的應(yīng)用 【教學(xué)目標(biāo)】 1.進一步體會平方差公式的意義，會利用公式進行計算，能夠掌握平方差公式的一些應(yīng)用。 2.通過拼圖游戲，了解平方差公式的幾何背景。 3.發(fā)展學(xué)生的符號感、推理能力和有條理的表達(dá)能力。 【教學(xué)重點】 平方差公式的應(yīng)用。 【教學(xué)難點】 平方差公式的應(yīng)用。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.什么是平方差公式？ 2.判斷正誤： (1)(a+5)(a-5)=a2-5; (2)(3x+2)(3x-2)=3x2-22; (3)(a-2b)(-a-2b)=a2-4b2; (4)(100+2)(100-2)=1002-22=9996; (5)(2a+b)(2a-b)=4a2-b2. [教學(xué)說明] 通過對平方差公式的復(fù)習(xí)，激發(fā)興趣，正確地利用公式。進一步理解公式特征。 二、思考探究，獲取新知 如圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。 1.請表示圖1中陰影部分的面積。 2.小穎將陰影部分拼成了一個長方形（如圖2），這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？ 3.比較1，2的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？ 4.(1）敘述平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式及文字表達(dá)式； （2）試比較公式的兩種表達(dá)式在應(yīng)用上的差異。 [歸納結(jié)論] (a+b)(a-b)=a2-b2 [教學(xué)說明] 經(jīng)過對兩個圖形的面積的計算，使學(xué)生明白可以通過幾何圖形對平方差公式進行驗證。進一步加深對平方差公式的理解。 想一想： 1.計算下列各組算式，并觀察它們的共同特點。 2.從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？ 3.請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？ [歸納結(jié)論] (a-1)(a+1)=a2-1 三、運用新知，深化理解 1.見教材P22例3、例4. 2.下列運算中，正確的是（C） A.(a+3)(a-3)=a2-3 B.(3b+2)(3b-2)=3b2-4 C.(3m-2n)(-2n-3m)=4n2-9m2 D.(x+2)(x-3)=x2-6 3.下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是（B） A.(x+1)(1+x) B.(a+b)(b-a) C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2) 4.(1)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2); 解：原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4 (2)(x+y-z)(x-y+z)－(x+y+z)(x-y-z); 解：原式=［x+（y-z）］［x-（y-z）］-［x+（y+z）］［x-（y+z）］ =x2-(y-z)2-[x2-(y+z)2] =x2-(y-z)2-x2+(y+z)2 =(y+z)2-(y-z)2 =(y+z+y-z)[y+z-(y-z)] =2y·2z=4yz (3)403×397; 解：原式=（400+3）（400-3）=4002-32=159991 5.解方程. 6.計算： [教學(xué)說明] 使學(xué)生能靈活運用公式，培養(yǎng)其發(fā)散思維和思考問題的嚴(yán)密性，思考角度的多樣性 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.10”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 6完全平方公式 第1課時 完全平方公式的認(rèn)識 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解公式的本質(zhì)，從不同的層次上理解完全平方公式，并會運用公式進行簡單的計算，了解完全平方公式的幾何背景。 2.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并從推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。 3.在學(xué)習(xí)中使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感受數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。 【教學(xué)重點】 1.弄清完全平方公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，用自己的語言說明公式及其特點； 2.會用完全平方公式進行運算。 【教學(xué)難點】 會用完全平方公式進行運算。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了多項式乘多項式法則和合并同類項法則，你會計算下列各題嗎？ (x+3)2=_________________, (x-3)2=_________________, 這些式子的左邊和右邊有什么規(guī)律？再做幾個試一試： (2m+3n)2=_________________, (2m-3n)2=_________________. [教學(xué)說明] 讓學(xué)生運用多項式乘以多項式的法則進行計算，為本節(jié)課學(xué)習(xí)完全平方公式做準(zhǔn)備。 二、思考探究，獲取新知 1.觀察下列算式及其運算結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？ (m+3)2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 2.觀察上面的計算結(jié)果，回答下列問題： （1）原式的特點？兩數(shù)和的平方。 （2）結(jié)果的項數(shù)特點？等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍。 （3）三項系數(shù)的特點？（特別是符號的特點）. （4）三項與原多項式中兩個單項式的關(guān)系。 3.再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)。 4.你能用自己的語言敘述這一公式嗎？ [歸納結(jié)論] 兩數(shù)和的平方，等于它們平方的和，加上它們乘積的兩倍。即： (a+b)2=a2+2ab+b2 5.用不同的形式表示圖形的總面積，并進行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 6.議一議：(a-b)2=？你是怎樣做的？ 7.你能自己設(shè)計一個圖形解釋這一公式嗎？并用自己的語言敘述這一公式。 [歸納結(jié)論] 兩數(shù)差的平方，等于它們平方的和，減去它們乘積的兩倍。即：(a-b)2=a2-2ab+b2 上面的兩個公式稱為完全平方公式。 8.分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，并用語言來描述完全平方公式。 結(jié)構(gòu)特點：左邊是二項式（兩數(shù)和（差））的平方；右邊是兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍。 語言描述：兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的兩倍。 [教學(xué)說明] 讓學(xué)生觀察、思考、總結(jié)、歸納，使之掌握基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生用文字語言表示公式，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言的能力。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P24例1. 2.填空題： 3.下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算（C） A.(a+b)(a+c) B.(x+y)(-y+x) C.(ab-3x)(-3x+ab) D.(-m-n)(m+n) 4.計算： (3)(4x+0.5)2; 解：原式=(4x)2+2×4x×0.5+(0.5)2 =16x2+4x+0.25 (4)(2x2-3y2)2. 解：原式=(2x2)2-2(2x2)(3y2)+(3y2)2=4x4-12x2y2+9y4 5.利用完全平方公式計算： (1)(-1-2x)2; 解：原式=(-1)2-2×(-1)×(2x)+（2x）2=1+4x+4x2 (2)(-2x+1)2. 解：原式=(-2x)2+2(-2x)×1+12=4x2-4x+1 [教學(xué)說明] 讓學(xué)生熟悉公式的特征，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、歸納概括的能力；讓學(xué)生思考。得出結(jié)論，可以使學(xué)生有效避免出現(xiàn)易錯的符號問題。 四、師生互動，課堂小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識上有哪些收獲，哪些能力得到了提高？ 引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，組織學(xué)生互相交流各自的收獲與體會，成功與失敗。明確以下幾點： 1.完全平方公式是兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式的統(tǒng)稱。 2.公式中的a、b可以是任意數(shù)或代數(shù)式。 3.公式的條件是：兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.11”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 完全平方公式的應(yīng)用 【教學(xué)目標(biāo)】 1.熟記完全平方公式，能說出公式的結(jié)構(gòu)特征，進一步發(fā)展學(xué)生的符號感。 2.能夠運用完全平方公式進行簡便運算，體會符號運算對解決問題的作用。 3.能夠運用完全平方公式解決簡單的實際問題，并在活動當(dāng)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的意識及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。 4.會在多項式、單項式的混合運算中，正確運用完全平方公式進行計算，感悟換元變換的思想方法，提高靈活應(yīng)用乘法公式的能力。 【教學(xué)重點】 運用完全平方公式進行一些數(shù)的簡便運算及綜合運用平方差和完全平方公式進行整式的簡便運算。 【教學(xué)難點】 靈活運用平方差和完全平方公式進行整式的簡便運算。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 復(fù)習(xí)已學(xué)過的完全平方公式。 1.完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 2.公式口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。 3.想一想： （1）兩個公式中的字母都能表示什么？數(shù)或代數(shù)式。 （2）根據(jù)兩數(shù)和或差的完全平方公式，能夠計算多個數(shù)的和或差的平方嗎？ 完全平方公式在計算化簡中有些什么作用？ [教學(xué)說明] 本堂課的學(xué)習(xí)方向首先仍是對于完全平方公式的進一步鞏固應(yīng)用，因而復(fù)習(xí)是很有必要的，這為后面的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，同時經(jīng)過本環(huán)節(jié)中的第三個問題的思考，也使學(xué)生明確了本節(jié)課學(xué)習(xí)的初步目標(biāo)，起到了承上啟下的作用。 二、思考探究，獲取新知 1.怎樣計算1022、1972更簡單呢？ （1）把1022改寫成（a+b）2還是（a-b）2?a、b怎樣確定？ 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404 （2）把1972改寫成（a+b）2還是（a-b）2?a、b怎樣確定？ 1972=(200-3)2=2002-2×200×3+32=4000-1200+9=38809 [教學(xué)說明] 能夠運用完全平方公式進行一些有關(guān)數(shù)的簡便運算，進一步體會完全平方公式在實際當(dāng)中的應(yīng)用，并通過練習(xí)加以鞏固。需要注意的是，本題的目的是進一步鞏固完全平方公式，體會符號運算對解決問題的作用，不要在簡便運算上做過多練習(xí)。 2.想一想：有一位老人非常喜歡孩子，每當(dāng)有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們。來一個孩子，老人就給這個孩子一塊糖，來兩個孩子，老人就給每個孩子兩塊糖，來三個，就給每人三塊糖，…… （1）第一天有a個男孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （2）第二天有b個女孩一起去了老人家，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （3）第三天這（a+b）個孩子一起去看老人，老人一共給了這些孩子多少塊糖？ （4）這些孩子第三天得到的糖果數(shù)與前兩天他們得到的糖果總數(shù)哪個多？多多少？為什么？ [教學(xué)說明] 數(shù)學(xué)源自于生活，通過生活當(dāng)中的一個有趣的分糖場景，使學(xué)生進一步鞏固了（a+b)2=a2+2ab+b2，同時幫助學(xué)生進一步理解了（a+b)2與a2+b2的關(guān)系。同時通過問題串的形式，層層遞進，適合學(xué)生的思維梯度，學(xué)生通過自主探究和交流學(xué)到了新的知識，鞏固了舊的知識，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性得到大大的激發(fā)。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P26例2. 2.若（x-5）2=x2+kx+25，則k=（D） A.5 B.-5 C.10 D.-10 3.如果x2+4x+k2恰好是另一個整式的平方，那么常數(shù)k的值為（D） A.4 B.2 C.-2 D.±2 4.用完全平方公式和平方差公式計算。 (1)9.8×10.2; 解：原式=（10-0.2）×（10+0.2）=102-0.22=100-0.04=99.96 (2)89.82; 解：原式=（90-0.2）2=902-2×0.2×90+0.22=8064.04 (3)472-94×27+272; 解：原式=472-2×47×27+272=（47-27）2=202=400 (4)(a+b+c)2; 解：原式=［(a+b)+c］2(a+b)2+2(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 (5)(3x+2y-5z+1)(-3x+2y-5z-1). 解：原式=［(2y-5z)+（3x+1）］［（2y-5z）-（3x+1）］=（2y-5z）2-（3x+1）2 =4y2-9x2+25z2-20yz-6x-1 5.（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2. 解：a2+b2=（a+b）2-2ab. ∵a+b=3,ab=2,∴a2+b2=32-2×2=5. （2）若已知a+b=10，a2+b2=52，ab的值呢？ 解：∵a+b=10， ∴(a+b)2=102,a2+2ab+b2=100, ∴2ab=100-(a2+b2). 又∵a2+b2=52，∴2ab=100-52，ab=24. 7.觀察下列各式的規(guī)律。 12+(1×2)2+22=(1×2+1)2; 22+(2×3)2+32=(2×3+1)2; 32+(3×4)2+42=(3×4+1)2； （1）寫出第2014行的式子； （2）寫出第n行的式子，并說明你的結(jié)論是正確的。 解：（1）（2014）2+（2014×2015）2+（2015）2=（2014×2015+1）2； (2)n2+[n(n+1)]2+(n+1)2=[n(n+1)+1] 2.理由：∵n2+［n（n+1）］2+（n+1）2 =n2+n2(n+1)2+n2+2n+1 =n2+n2(n2+2n+1)+n2+2n+1 =n2+n4+2n3+n2+n2+2n+1 =n4+2n3+3n2+2n+1. 而［n（n+1）+1］2=［n（n+1）］2+2n（n+1）+1 =n2(n2+2n+1)+2n2+2n+1 =n4+2n3+n2+2n2+2n+1 =n4+2n3+3n2+2n+1, 所以n2+［n（n+1）］2+（n+1）2=［n（n+1）+1］2. [教學(xué)說明] 使學(xué)生進一步熟悉乘法公式的運用，同時進一步體會完全平方公式中字母a，b的含義是很廣泛的，它可以是數(shù)，也可以是整式。 四、師生互動，課堂小結(jié) 1.完全平方公式的使用：在做題過程中一定要注意符號問題和正確認(rèn)識a、b表示的意義，它們可以是數(shù)。也可以是單項式，還可以是多項式，所以要記得添括號。 2.解題技巧：在解題之前應(yīng)注意觀察思考，選擇不同的方法會有不同的效果，要學(xué)會優(yōu)化選擇。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.12”中第1.3題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 7 整式的除法 第1課時 單項式除以單項式 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解單項式除以單項式的法則，發(fā)展有條理的思考及語言表達(dá)能力。 2.通過引導(dǎo)學(xué)生觀察、對比、獨立思考、合作探究等方式使學(xué)生經(jīng)歷探索單項式除以單項式法則的過程，能進行簡單的整式除法運算。 3.培養(yǎng)獨立思考和良好的合作意識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，體會數(shù)學(xué)的實際價值。 【教學(xué)重點】 掌握單項式除以單項式的運算法則，并學(xué)會簡單的整式除法運算。 【教學(xué)難點】 理解和體會單項式除以單項式的法則。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 1.兩數(shù)相除，____號得正，____號得負(fù)，并把____相除。 2.同底數(shù)冪的除法法則是什么？ 3.零指數(shù)冪的意義是什么？ 4.計算： (1)x5·x2÷(x3)2=________; (2)(a-b)6÷(a-b)3=________. [教學(xué)說明] 引導(dǎo)學(xué)生先通過預(yù)習(xí)，能夠復(fù)習(xí)與單項式除法相關(guān)聯(lián)的知識：有理數(shù)的除法，同底數(shù)冪的除法等，掌握相關(guān)的運算法則是解題的關(guān)鍵。通過預(yù)習(xí)，能夠進行簡單的單項式的除法計算。 二、思考探究，獲取新知 1.計算： (1)8m3n2÷2m2n; (2)-36x4y3z2÷4x3z. 解：（1）8m3n2÷2m2n=（8÷2）·（m3÷m2）·（n2÷n）=4mn (2)-36x4y3z2÷4x3z=(-36÷4)x4-3·y3·z2-1=-9xy3z 2.請同學(xué)們認(rèn)真探討，在進行單項式的除法時，要怎么做？ （1）如何來計算單項式的除法，首先看第1（1）題的系數(shù)，系數(shù)怎么辦？ （2）同底數(shù)冪怎么辦？ （3）僅在被除式里含有的字母怎么辦，如第1（2）題中的y3？ （4）單項式的除法法則是什么？ （5）我們要理解記憶運算法則，用自己的話說。系數(shù)怎么辦？系數(shù)相除。 （6）同底數(shù)冪怎么辦？同底數(shù)冪相除。 （7）其余的怎么辦？其余都不變。 [教學(xué)說明] 通過兩道探究題目，學(xué)生充分探討后，師生一起總結(jié)單項式的除法法則，探究與問題結(jié)合，體現(xiàn)探究學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)法則的重要性，結(jié)合有理數(shù)的除法法則，同底數(shù)冪的除法等相關(guān)知識，總結(jié)單項式除法法則，以便后面靈活應(yīng)用法則進行相關(guān)的計算。 [歸納結(jié)論] 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P28例1 2.8x6y4z÷( )=4x2y2，括號內(nèi)應(yīng)填的代數(shù)式為（C）. A.2x3y2 B.2x3y2z C.2x4y2z D.12x4y2z 3.下列計算中，正確的是（D）. A.8x9÷4x3=2x3 B.4a2b3÷4a2b3=0 C.a2m÷am=a2 D.2ab2c÷ab2=-4c 4.若xmyn÷x3y=4x2則（B）. A.m=6,n=1 B.m=5,n=1 C.m=5,n=0 D.m=6,n=0 5.在等式6a2·(-b3)2÷( )2=中的括號內(nèi)，應(yīng)填入（D）. 6.計算： 7.計算： 8.化簡求值： 將x=-1，y=-2代入上式得原式=-12+16=4. 9.地球到太陽的距離約為1.5×108km，光的速度約為3×108m/s，求光從太陽到地球的時間。 解：∵1.5×108km=1.5×1011m ∴(1.5×1011)÷(3×108) =(1.5÷3)×(1011÷108) =0.5×103=500(s) 答：光從太陽到地球的時間為500秒。 [教學(xué)說明] 進一步鞏固落實單項式除以單項式，提高法則的靈活應(yīng)用能力和實際應(yīng)用能力；計算題在保證正確率的前提下，應(yīng)提高計算速度；應(yīng)用題的解題過程力求準(zhǔn)確規(guī)范；課堂練習(xí)應(yīng)由學(xué)生獨立完成。 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.13”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 第2課時 多項式除以單項式 【教學(xué)目標(biāo)】 1.理解多項式除以單項式的算理，會進行簡單的多項式除以單項式運算。 2.經(jīng)歷探索多項式除以單項式法則的過程，體會知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化以及化歸的思想方法。 3.培養(yǎng)學(xué)生分析、思考能力，發(fā)展有條理的表達(dá)能力。 【教學(xué)重點】 會進行簡單的多項式除以單項式的運算。 【教學(xué)難點】 1.商的符號的確定。 2.準(zhǔn)確運用法則將多項式除以單項式轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式。 【教學(xué)過程】 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 復(fù)習(xí)準(zhǔn)備： 1.同底數(shù)冪的除法。 am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整數(shù)，且m>n) 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。 2.單項式與單項式相除的法則： 單項式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的因式。 [教學(xué)說明] 同底數(shù)冪的除法與單項式除法是學(xué)習(xí)多項式除以單項式的基礎(chǔ)，只有熟練掌握同底數(shù)冪的除法與單項式除法，才能正確的進行多項式除以單項式的運算。 二、思考探究，獲取新知 1.計算下列各題，說說你的理由。 (1)(ad+bd)÷d; (2)(a2b+3ab)÷a; (3)(xy3-2xy)÷(xy). 2.總結(jié)探究方法。 方法1：利用乘除法的互逆 (1)∵(a+b)·d=ad+bd ∴(ad+bd)÷d=a+b (2)∵(ab+3b)·a=a2b+3ab ∴(a2b+3ab)÷a=ab+3b (3)∵(y2-2)·xy=xy3-2xy ∴(xy3-2xy)÷(xy)=y2-2 方法2：類比有理數(shù)的除法 3.根據(jù)上面的探究，你能總結(jié)多項式除以單項式的法則嗎？ [歸納結(jié)論]多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。 [教學(xué)說明] 通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、計算、推理、想象等探索過程，獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗；發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生盡可能用多種方法來說明自己計算的正確性，培養(yǎng)學(xué)生合情說理的能力；并在這個過程中，培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納知識的能力。 三、運用新知，深化理解 1.見教材P30例2. 2.下列各選項中，計算正確的是（D） 3.下列運算中，錯誤的是（B） 5.計算： 6.化簡［(2x+y)2-y(y+4x)-8x］÷2x. 解：［(2x+y)2-y(y+4x)-8x］÷2x =(4x2+4xy+y2-y2-4xy-8x)÷2x =(4x2-8x)÷2x =2x-4 7.某天數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)了整式的除法運算，放學(xué)后，小明回到家拿出課堂筆記，認(rèn)真地復(fù)習(xí)課上學(xué)習(xí)的內(nèi)容，他突然發(fā)現(xiàn)一道三項式除法運算題：(21x4y3- +7x2y2)÷(-7x2y)= +5xy-y.被除式的第二項被鋼筆水弄污了，商的第一項也被鋼筆水弄污了，你能算出兩處被污染的內(nèi)容是什么嗎？ 解：商的第一項=21x4y3÷（-7x2y）=-3x2y2； 被除式的第二項=-（-7x2y）×5xy=35x3y2. 8.先化簡，再求值： (a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)(a-b), 其中a=，b=-1. 分析：根據(jù)多項式除單項式的法則，平方差公式化簡，整理成最簡形式，然后把a、b的值代入計算即可 [教學(xué)說明] 通過練習(xí)對單項式除以單項式的計算進行鞏固提高。 四、師生互動，課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想而后以小組為單位派代表進行總結(jié)，教師作以補充。 五、教學(xué)板書 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“習(xí)題1.14”中第1、2題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】 4.在時間的把握上做得不夠好，從而在總結(jié)時沒能讓學(xué)生小結(jié)，使學(xué)生少了一次鍛煉的機會。 章末復(fù)習(xí) 【教學(xué)目標(biāo)】 1.梳理本章內(nèi)容，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)；重點加強對整式的概念，整式的乘除運算，冪的運算性質(zhì)的復(fù)習(xí)，并能靈活運用知識解決問題。 2.通過梳理本章內(nèi)容，發(fā)展學(xué)生的符號感以及合情說理的能力，滲透轉(zhuǎn)化、類比的思想。 3.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中通過相互間的合作與交流，進一步發(fā)展學(xué)生合作交流的能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力。感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。 【教學(xué)重點】 整式的乘除、冪的運算。 【教學(xué)難點】 整式的乘除、冪的運算。 【教學(xué)過程】 一、知識結(jié)構(gòu) [教學(xué)說明] 引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識點，使學(xué)生系統(tǒng)地了解本章知識及它們之間的關(guān)系。 二、釋疑解惑，加深理解 1.冪的運算性質(zhì)： （1）同底數(shù)冪的乘法：am·an=am+n（m，n都是正整數(shù)）逆用：am+n=am·an （2）同底數(shù)冪的除法：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是正整數(shù)）逆用：am-n=am÷an（a≠0） （3）冪的乘方：（am）n=amn（m，n都是正整數(shù)）逆用：amn=（am）n （4）積的乘方：（ab）n=anbn（m,n都是正整數(shù)）逆用，anbn=（ab）n （5）零指數(shù)冪：a0=1（注意底數(shù)范圍a≠0）. （6）負(fù)指數(shù)冪： (a≠0，p是正整數(shù)） 2.整式的乘除法： （1）單項式乘以單項式： 法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)。相同字母的冪分別相乘，其余的字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。 （2）單項式乘以多項式： m(a+b+c)=ma+mb+mc. 法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。 （3）多項式乘以多項式： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。 （4）單項式除以單項式： 單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。 （5）多項式除以單項式： (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m. 多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。 3.整式乘法公式： （1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 （2）完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 逆用：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2. [教學(xué)說明] 可以采用提問的形式，讓學(xué)生回答，達(dá)到鞏固的作用。 三、典例精析，復(fù)習(xí)新知 例1 下列運算正確的是（） A.x3+x3=x6 B.2x·3x2=6x3 C.(2x)3=6x3 D.(2x2+x)÷x=2x 解析：A.應(yīng)為x3+x3=2x3，故本選項錯誤； B.2x·3x2=6x3，正確； C.應(yīng)為（2x）3=23x3=8x3，故本選項錯誤； D.應(yīng)為（2x2+x）÷x=2x+1，故本選項錯誤。故選B. 例2 已知a=8131，b=2741，c=961，則a，b，c的大小關(guān)系是（） A.a>b>c B.a>c>b C.aa 解析：∵a=8131=（34）31=3124 b=2741=(33)41=3123; c=961=（32）61=3122。則a＞b＞c.故選A. 例3一個長方體的長、寬、高分別3a-4，2a，a，它的體積等于（ ） A.3a3-4a2 B.a2 C.6a3-8a2 D.6a3-8a 解析：由題意知，V長方體=（3a-4）·2a·a=6a3-8a2.故選C. 例4 已知：2x=4y+1，27y=3x-1，則x-y=3. 解析：∵2x=4y+1 ∴2x=2（2y+2） ∴x=2y+2① 又∵27y=3x-1∴33y=3x-1∴3y=x-1② 解①②組成的方程組得 例5 計算： (1)82×42011×(-0.25)2015; 解：82×42011×（-0.25）2015=43×42011×（-0.25）2015=42014×（-0.25）2014×（-0.25）=-0.25×（-4×0.25）2014=-1/4 (2)20152-2014×2016. 解：20152-2014×2016 =20152-(2015-1)(2015+1) =20152-(20152-12) =20152-20152+1 =1 例6若（x+y）2=36，（x-y）2=16，求xy和x2+y2的值。 解：∵（x+y）2=36，（x-y）2=16， ∴x2+2xy+y2=36,①x2-2xy+y2=16,② ①-②得4xy=20，∴xy=5， ①+②得2（x2+y2）=52，∴x2+y2=26. [教學(xué)說明] 對冪的運算，乘法公式的應(yīng)用。 四、復(fù)習(xí)訓(xùn)練，鞏固提高 1.已知：a+b=m，ab=-4，化簡：（a-2）（b-2）的結(jié)果是（） A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m 解析：∵a+b=m，ab=-4， ∴（a-2）（b-2）=ab+4-2（a+b）=-4+4-2m=-2m故選D. 2.某商場四月份售出某品牌襯衣b件，每件c元，營業(yè)額a元。五月份采取促銷活動，售出該品牌襯衣3b件，每件打八折，則五月份該品牌襯衣的營業(yè)額比四月份增加（ ） A.1.4a元 B.2.4a元 C.3.4a元 D.4.4a元 解析：5月份營業(yè)額為3b×=bc=， 4月份營業(yè)額為bc=a， ∴125a-a=1.4a.故選A. 3.已知（x+a）（x+b）=x2-13x+36，則a+b的值是（ ） A.13 B.-13 C.36 D.-36 解析：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab， 又∵（x+a）（x+b）=x2-13x+36， 所以a+b=-13.故選B. 4.若（a+2）2+|b+1|=0，則5ab2-{2a2b-［3ab2-（4ab2-2a2b）］}=______. 解析：由（a+2）2+|b+1|=0得a=-2，b=-1，當(dāng)a=-2，b=-1時，5ab2-{2a2b-［3ab2-（4ab2-2a2b）］}=4ab2=-8. 5.計算： . 解：根據(jù)冪的乘方與積的乘方法則可知， 8.先化簡：（2x-1）2-（3x+1）（3x-1）+5x（x-1），再選取一個你喜歡的數(shù)代替x求值。 解：（2x-1）2-（3x+1）（3x-1）+5x（x-1） =4x2-4x+1-(9x2-1)+5x2-5x =4x2-4x+1-9x2+1+5x2-5x =-9x+2 9.已知a-b=4，ab+m2-6m+13=0，求證（a+m）b的值為. 證明：ab+m2-6m+13=0可化為ab+m2-6m+9+4=0， 即ab+（m-3）2+4=0①； 將a-b=4轉(zhuǎn)化為b=a-4②； ②代入①得：a（a-4）+（m-3）2+4=0， 即（a-2）2+（m-3）2=0； 解得a=2；m=3. ∴b=a-4=2-4=-2; 因此（a+m）b=（2+3）-2= . [教學(xué)說明] 因為內(nèi)容特點，運算規(guī)律與方法是學(xué)生應(yīng)掌握的重點，所以本課復(fù)習(xí)以練習(xí)為主，通過大量題型訓(xùn)練，使學(xué)生理解掌握各類運算技巧，并力求熟練。 五、師生互動，課堂小結(jié) 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識上有哪些收獲？哪些能力得到了提高？ 【課后作業(yè)】 1.布置作業(yè)：教材“復(fù)習(xí)題”中第2、3、5、8、9題。 2.完成同步練習(xí)冊中本課時的練習(xí)。 【教學(xué)后記】

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