本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學必修第一冊》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其應用
6.2向量的運算
學習目標：
1.理解相反向量的含義，借助相反向量理解向量減法運算的幾何意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.掌握平面向量減法運算及運算規(guī)則，提升數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)；
3.能運用向量的加法和減法運算解決相關問題，提升數(shù)學運算的核心素養(yǎng)；
學習重難點：
重點：理解并掌握向量減法的三角形法則
難點：向量減法的幾何意義及運算律
自主預習：
本節(jié)所處教材的第 頁.
復習——
向量的概念：
向量的加法：
預習——
相反向量：
向量的減法：
新課導學
學習探究
（一）新知導入
我們知道，數(shù)的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”．我們能否類似地定義向量的減法呢？
【想一想】1、類比實數(shù)X的相反數(shù)-X，對于向量a，你能定義“相反向量”-a嗎？它有哪些性質(zhì)？
你認為向量的減法該怎樣定義？
（二）向量的減法運算
1.相反向量：
與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.
性質(zhì)：①a和－a互為相反向量，a。
②零向量的相反向量仍是零向量。
③由兩個向量的和的定義可知：a＋(－a)＝(－a)+a =0，即任意向量與其相反向量的和是零向量。
④若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0。
2.向量的減法
(1)定義：向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)。
求兩個向量差的運算叫做向量的減法.
向量的減法可以轉化為向量的加法來進行：減去一個向量就等于加上這個向量的相反向量.
【探究】利用平行四邊形法則求a＋b，那么你能結合相反向量的概念，求作出a＋(－b)嗎？
(2)幾何意義：在平面內(nèi)任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝eq \(BA,\s\up6(→)).
如圖所示
a－b表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.
記憶口訣：作平移，共起點，兩尾連，指被減。
【思考1】若a，b是不共線的向量，則|a＋b|與|a－b|的幾何意義是什么？
【思考2】||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，等號何時成立？
（三）典型例題
1.向量減法法則的應用
例1.(1)在△ABC中，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，則eq \(AB,\s\up6(→))等于( )
A．a(chǎn)＋b B．－a＋(－b) C．a(chǎn)－b D．b－a
(2)如圖所示，O為△ABC內(nèi)一點，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
求作向量b＋c－a.
【類題通法】求作兩個向量的差向量的兩種思路
(1)用向量減法的三角形法則作兩向量的差的步驟
此步驟可以簡記為“作平移，共起點，兩尾連，指被減”．
(2)利用相反向量作兩向量差的方法
作向量a－b時，先作向量eq \(OA,\s\up6(→))＝a，再作eq \(AB,\s\up6(→))＝－b，則向量eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋(－b)＝a－b.
【鞏固練習1】如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.
2.向量的加減法運算
例2.(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))可以寫成：①eq \(MO,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→))；②eq \(MO,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；③eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→))；④eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)).
其中正確的是________(填序號).
(2)化簡：①eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))；
②(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→)))－(eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(DO,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))).
【類題通法】1.向量減法運算的常用方法
2.向量加減法化簡的兩種形式
(1)首尾相連且為和；(2)起點相同且為差.
解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用.
【鞏固練習2】化簡下列式子：
(1)eq \(NQ,\s\up6(→))－eq \(PQ,\s\up6(→))－eq \(NM,\s\up6(→))－eq \(MP,\s\up6(→))；
(2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→)))－(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→))).
3.向量加減法的應用
例3.如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AE,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→)).
【變式探究1】本例條件不變，試用向量a，b，c表示eq \(BE,\s\up6(→))與eq \(CE,\s\up6(→)).
【變式探究2】 本例中的條件“點B是平行四邊形ACDE外一點”若換為“點B是平行四邊形ACDE內(nèi)一點”，其他條件不變，其結論又如何呢？
【類題通法】用向量表示其他向量的方法
(1)解決此類問題要充分利用平面幾何知識，靈活運用平行四邊形法則和三角形法則.
(2)表示向量時要考慮以下問題：它是某個平行四邊形的對角線嗎？是否可以找到由起點到終點的恰當途徑？它的起點和終點是否是兩個有共同起點的向量的終點？
(3)必要時可以直接用向量求和的多邊形法則.
【鞏固練習3】如圖所示，解答下列各題：
(1)用a，d，e表示eq \(DB,\s\up6(→))； (2)用b，c表示eq \(DB,\s\up6(→))；
(3)用a，b，e表示eq \(EC,\s\up6(→))； (4)用c，d表示eq \(EC,\s\up6(→)).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.化簡eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PN,\s\up6(→))＋eq \(MN,\s\up6(→))所得的結果是( )
A.eq \(MP,\s\up6(→)) B.eq \(NP,\s\up6(→)) C.0 D.eq \(MN,\s\up6(→))
2.在四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，若|eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形 C．正方形D．不確定
3.eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(CO,\s\up6(→))＝________.
4.若菱形ABCD的邊長為2，則|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|的長度為______.
課堂小結
通過這節(jié)課，你學到了什么知識？


在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？



學習評價
【自我評價】 你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【導學案評價】 本節(jié)導學案難度如何（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【建議】 你對本節(jié)導學案的建議：

課后作業(yè)
完成教材：第12頁 練習 第1，2，3題
第22 頁 習題6.2 第4,7題

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6.2 平面向量的運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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