本節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）
第六章 平面向量及其應(yīng)用
6.2.1向量的加法運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.借助實(shí)例掌握平面向量加法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.理解平面向量加法運(yùn)算的幾何意義，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
3.會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量，提升直觀想象的核心素養(yǎng)。
學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：
重點(diǎn)：理解并掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則
難點(diǎn)：向量加法的幾何意義及運(yùn)算律
自主預(yù)習(xí)：
本節(jié)所處教材的第 頁(yè).
復(fù)習(xí)——
平面向量的概念：
向量的模：
力的合成：
3.預(yù)習(xí)——
向量的加法：
三角形法則：
平行四邊形法則：
運(yùn)算律：
新課導(dǎo)學(xué)
學(xué)習(xí)探究
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
①飛機(jī)從廣州飛往上海，再?gòu)纳虾ｏw往北京(如圖)，這兩次位移的結(jié)果與飛機(jī)從廣州直接飛往北京的位移是相同的．
②有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3 000 N，F(xiàn)2＝2 000 N，牽引繩之間的夾角為θ＝60°(如圖)，如果只用一條拖輪來牽引，也能產(chǎn)生跟原來相同的效果．
【想一想】從物理學(xué)的角度，上面實(shí)例中位移、牽引力說明了什么？體現(xiàn)了向量的什么運(yùn)算？
探索交流，解決問題
【思考1】上述實(shí)例中位移的和運(yùn)算、力的和運(yùn)算分別用什么法則？

（二）向量的加法運(yùn)算
1.向量加法的定義：求兩個(gè)向量 的運(yùn)算，叫做向量的加法。
對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定：a＋0＝ ＝ .
【思考】?jī)蓚€(gè)向量的和還是向量嗎？
2.向量的加法運(yùn)算法則
（1）三角形法則
已知非零向量a，b，在平面上任取一點(diǎn)A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，則 叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的 。
記憶口訣： ．
【思考1】若向量和共線，它們的和向量能否用三角形法則作出？
【思考2】如果eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，那么A，B，C三點(diǎn)一定能構(gòu)成三角形嗎？
（2）平行四邊形法則
已知兩個(gè)不共線向量a，b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以 為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的向量eq \(OC,\s\up6(→))就是向量a與b的和．這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的 。
記憶口訣：
【探究1】根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”,你能發(fā)現(xiàn)|a＋b|與|a|，|b|之間的關(guān)系嗎?
【做一做】如果=8，=5，那么的取值范圍為 .
【探究2】三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有何不同？
（3）加法的運(yùn)算律
如圖(1)在平行四邊形ABCD中，，所以
在圖(2)中，
所以
【探究3】實(shí)數(shù)的加法滿足哪些運(yùn)算律?向量的加法是否也滿足這些運(yùn)算律?
(1)交換律：a＋b＝ .
(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝ .
（三）典型例題
1.向量加法法則的應(yīng)用
例1.如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【類題通法】應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則作向量和時(shí)需注意的問題：
(1)三角形法則可以推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”．即n個(gè)向量首尾相連的向量的和對(duì)應(yīng)的向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第n個(gè)向量的終點(diǎn)的向量．
(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合．
(3)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則實(shí)質(zhì)上是一致的，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半，在多個(gè)向量的加法中，利用三角形法則更為簡(jiǎn)便．如本題(2)法一比法二簡(jiǎn)單.
【鞏固練習(xí)1】如圖，已知a、b，求作a＋b.
2.平面向量的表示
例2.化簡(jiǎn)：(1)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
(2)eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
(3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【類題通法】向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則
(1)意義：向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.
(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.
【鞏固練習(xí)2】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式：
(1)eq \(DG,\s\up6(→))＋eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))；
(2)eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→)).
3.向量加法在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例3.在靜水中船的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流的航線到達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)的方向.
【變式探究1】 若例3條件不變，則經(jīng)過3小時(shí)，該船的實(shí)際航程是多少km?
【變式探究2】 若例3的條件不變，改為若船沿垂直于水流的方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)的方向的正切值(相當(dāng)于與河岸的夾角).
【類題通法】應(yīng)用向量解決平面幾何問題的基本步驟
(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問題.
(3)還原：根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線、相等等概念回答原問題.
【鞏固練習(xí)3】一架救援直升飛機(jī)從A地沿北偏東60°方向飛行了40 km到達(dá)B地，再由B地沿正北方向飛行40 km到達(dá)C地，求此時(shí)直升飛機(jī)與A地的相對(duì)位置.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.已知四邊形ABCD是菱形，則下列等式中成立的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
2.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))|為( )
A.1 B.eq \r(2) C.3 D.2eq \r(2)
3.化簡(jiǎn)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(AB,\s\up6(→)) B.eq \(BA,\s\up6(→)) C.0 D.eq \(AC,\s\up6(→))
4.小船以10eq \r(3) km/h的靜水速度按垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河水的流速為
10 km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小為________ km/h.
課堂小結(jié)
通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？



學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
【自我評(píng)價(jià)】 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【導(dǎo)學(xué)案評(píng)價(jià)】 本節(jié)導(dǎo)學(xué)案難度如何（ ）
A.很好 B.較好 C.一般 D.較差
【建議】 你對(duì)本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的建議：

課后作業(yè)
完成教材：第10頁(yè) 練習(xí) 第1，2，3,4,5題
第22 頁(yè) 習(xí)題6.2 第1,2,3題

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6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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