新課導(dǎo)學(xué)
（一）新知導(dǎo)入
【問(wèn)題1】可以,即=.
【問(wèn)題2】與的方向相同,與的方向相反.
【問(wèn)題3】的長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的3倍,即若||=λ,則||=3λ.
【問(wèn)題4】成立,向量同樣滿足分配律、結(jié)合律.
（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算
1.向量的數(shù)乘運(yùn)算
1．定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.
2．規(guī)定：①|(zhì)λa|＝|λ||a|，
②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．
答案：C
【做一做2】答案：D
2.向量共線定理
【探究1】 正確．
【探究2】不一定．當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，λ有無(wú)數(shù)個(gè)值；當(dāng)b＝0，a≠0時(shí)，λ無(wú)解；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a＝λb.
【探究3】一定存在,且是唯一的.
向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
【辯一辯】答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×

（三）典型例題
【例1】 【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \f(2,3)a－b]－eq \f(7,6)[eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)(b＋eq \f(7,6)a)]＝eq \f(1,2)(3a－eq \f(2,3)a＋2b－b)－eq \f(7,6)(eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)b)
＝eq \f(1,2)(eq \f(7,3)a＋b)－eq \f(7,6)(a＋eq \f(3,7)b)＝eq \f(7,6)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(7,6)a－eq \f(1,2)b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
【鞏固練習(xí)1】【解】（1）
=.
（2）
=
【例2】(1)證明：因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線．
（2）解：因?yàn)閗e1＋e2與e1＋ke2共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1與e2不共線，只能有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.
【鞏固練習(xí)2】解析：由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
答案：－eq \f(1,3)
【例3】【解】因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1.
(2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2.
【變式探究】【解】因?yàn)閑q \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))，
所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋(eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))．
又因?yàn)镸，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，
所以eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝0.所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)e2－eq \f(1,2)e1.
【鞏固練習(xí)3】【解】（1）因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)椋?br>所以
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
答案：1.B 2.C 3.D 4.－2

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6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

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