觀察下面的圖片，其中有你熟悉的圖形嗎？
將一張長方形的紙對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)什么樣的圖形？
在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長度，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考：在這變化過程中，哪些關(guān)系沒變？哪些關(guān)系變了？
如果改變了邊的長度，使兩鄰邊相等，那么這個(gè)平行四邊形成為怎樣的四邊形？
畫出菱形的兩條折痕，并通過折疊手中的圖形回答以下問題：
2、菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？菱形有幾條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸之間有什么關(guān)系？
1、菱形是中心對(duì)稱圖形嗎？若是，對(duì)稱中心是什么？
菱形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)．
菱形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有兩條是對(duì)角線所在的直線，兩條對(duì)稱軸互相垂直．
菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，對(duì)稱軸是對(duì)角線所在的直線．
因此，菱形具備平行四邊形所有的性質(zhì)
既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形
菱形是特殊的平行四邊形，因此菱形除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)．你能說出菱形有哪些特殊性質(zhì)嗎?
有一組鄰邊相等的平行四邊形.
畫出菱形的兩條對(duì)稱軸，從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面猜想菱形具有哪些特殊的性質(zhì)？如何證明？
猜想：1、菱形的四條邊都相等．2、菱形的對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線對(duì)平分一組對(duì)角．
如何驗(yàn)證以上的猜想？　
命題：菱形的四條邊都相等．
已知：如圖，四邊形ABCD是菱形．求證：AB=BC=CD=AD．
證明： ∵四邊形ABCD是菱形，　　　 ∴ AB=BC， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，　　　 ∴ AB=DC，AD=BC， ∴ AB=BC=CD=AD．
定理：菱形的四條邊都相等．
命題：菱形的對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線對(duì)平分一組對(duì)角．
已知：如圖，四邊形ABCD是菱形．求證：AC⊥BD ；AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA=AB，OB＝OD，在等腰△DAC中，∵AO=CO，∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三線合一）．同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．
定理：菱形的對(duì)角線互相垂直，且每條對(duì)角線對(duì)平分一組對(duì)角．
既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形
平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)對(duì)比
菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì).
對(duì)稱性：是軸對(duì)稱圖形.邊：四條邊都相等.對(duì)角線：互相垂直，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
角：對(duì)角相等.邊：對(duì)邊平行且相等.對(duì)角線：相互平分.
如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，試求出∠B的大小，并說明△ABC是等邊三角形．
解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，∴∠B=60°．在菱形ABCD中，∵AB=BC（菱形的四條邊都相等），∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形．
如圖，已知菱形ABCD的邊長為2 cm，∠BAD=120°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．試求這個(gè)菱形的兩條對(duì)角線AC與BD的長．（結(jié)果保留根號(hào)）
如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E． 求證：∠AFD=∠CBE． 證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CB=CD， CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又 CE=CE，∴△BCE≌△DCE（SAS）．∴∠CBE=∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE．
如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE垂直且平分CD，垂足為點(diǎn)E．求∠BCD的大小．
解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA（菱形的四條邊都相等）．又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC與△ABC都為等邊三角形．∴∠ACD=∠ACB=60°，∠BCD=120°．
如圖，在△ABC 中，AB =AC，D，E，F(xiàn) 分別是 AB，BC，AC 邊的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形 ADEF 是菱形；（2）若 AB = 12 cm，求菱形 ADEF 的周長．
（1）證明: 因?yàn)?D, E, F, 分別是 AB, BC, AC 的中點(diǎn),所以 DE, EF 是△ABC 的中位線.所以 DE∥AC, DE ＝0.5AC, EF∥AB, EF ＝ 0.5AB.所以四邊形 ADEF 是平行四邊形.又因?yàn)锳B ＝AC,所以 DE ＝ EF. 所以 □ ADEF 是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形).
（2）解: 若AB ＝12 cm,則 EF ＝0.5AB ＝6 cm.所以菱形ADEF 的周長為 4EF ＝ 4×6＝ 24(cm).
菱形是特殊的平行四邊形，那么能否利用平行四邊形面積公式計(jì)算菱形的面積嗎?
計(jì)算菱形的面積除了上式方法外，利用對(duì)角線能計(jì)算菱形的面積公式嗎?
【菱形的面積公式】 S菱形 = 底×高 = 對(duì)角線乘積的一半．
菱形 ABCD 的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為 O. 已知 AB=5cm，OB = 3cm. 求菱形 ABCD 的兩條對(duì)角線的長度以及它的面積.
解：如右圖所示.∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=60°.∵OB=3cm，AB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理，
得AO=
故AC=2OA=8cm，BD=2OB=6cm.
所以菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長度分別是8cm，6cm，它的面積為24 cm2.
解 ∵ AC 是∠DAB 的平分線，∴點(diǎn) P 到 AB 的距離等于點(diǎn) P 到 AD 的距離，故點(diǎn) P 到 AB 的距離是 4 cm .
如圖，點(diǎn) P 是菱形 ABCD 的對(duì)角線 AC 上一點(diǎn)，PE⊥AD 于點(diǎn) E，PE = 4 cm，求點(diǎn) P 到 AB 的距離.
如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD兩對(duì)邊的距離h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵又∵菱形兩組對(duì)邊的距離相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝ .
1.周長=邊長的四倍2.面積=底×高=兩條對(duì)角線乘積的一半
1.兩組對(duì)邊平行且相等；2.四條邊相等
兩組對(duì)角分別相等，鄰角互補(bǔ)
1.兩條對(duì)角線互相垂直平分；2.每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
1.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）A．對(duì)角相等 　　B．對(duì)角線互相垂直C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線相等2.下列說法錯(cuò)誤的是 （ ）A．菱形的四邊都相等B．菱形的對(duì)角線互相垂直C．菱形的對(duì)角線互相平分且平分一組對(duì)角D．菱形的對(duì)角線相等且互相平分
3.如圖在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交與點(diǎn)O，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A． AB∥CD B． AC=BD C．AC ⊥BD D．OA=OC4.如圖在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，AE ⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長是（ ）A．3 　　　B．2 C．9.6 　　D．4.8
5.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AB=5，AC=6，則BD的長是（　?。〢．8 B．7 C．4 D．3 6.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長是（　?。〢．20 B．24 C．40 D．48
7.如圖, 兩個(gè)連接在一起的菱形的邊長都是1 cm,一只甲蟲從點(diǎn) A 開始按 ABCDAEFGABCD …的 順序沿菱形的邊循環(huán)爬行,當(dāng)甲蟲爬行2020 cm 時(shí)停下,則它停下的位置是（ ） A. 點(diǎn) F B. 點(diǎn) E C. 點(diǎn) A D. 點(diǎn) C
8.如圖, 在菱形 ABCD 中, AB 的垂直平分線 EF 交對(duì)角線 AC 于點(diǎn) F , 垂足為 E , 連接 DF．若∠CDF ＝24°, 則∠DAB 等于（ ） A. 100° B. 104° C. 105° D. 110°
9.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．
10.如圖，在菱形ABCD中，過B作BE⊥AD于E，過B作BF⊥CD于F．求證：AE=CF．
證明：∵菱形ABCD，∴BA=BC，∠A=∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE與△CBF中 ∠BEA＝∠BFC＝90° ，∠A＝∠C，BA＝BC ，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE=CF．
11.如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過C作CE⊥AC，交AB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠E=50°，求∠DAB的度數(shù)．
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，又∵CE⊥AC， ∴BD∥EC，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴DB∥CE，∴∠CEA=∠DBA=50°，∴∠ADB=50°，∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．
12.如圖，E為菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求證：OA=EB.
證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，∴∠DAE＝∠AEB，∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，?∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?又∵AD＝BA ，∴△AOD≌△BEA ，∴AO＝BE .

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