初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊18.2.3 正方形試講課課件ppt-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

1.在平行四邊形的基礎(chǔ)上對矩形、菱形的判定
有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等
有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直
有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形
正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等,每條對角線平分一組對角
正方形的對邊平行且相等
正方形的四個(gè)角都是直角
2.正方形的定義及性質(zhì)
將矩形紙片對折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個(gè)正方形？
剪口與折痕成 45°角
滿足怎樣條件的矩形是正方形？
滿足怎樣條件的菱形是正方形？
定理1 有一組鄰邊相等的矩形是正方形. 定理2 對角線互相垂直的矩形是正方形. 定理3 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形. 定理4 對角線相等的菱形是正方形.
已知：如圖,在矩形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四邊形ABCD是正方形.
對角線互相垂直的矩形是正方形.
已知：如圖,在菱形ABCD中,AC , DB是它的兩條對角線, AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四邊形ABCD是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
判斷以下說法是否正確：
1.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形. 2.四條邊都相等的四邊形是正方形.3.對角線相等的菱形是正方形.4.對角線垂直的平行四邊形是正方形.5.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.6.四條邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是正方形.7.對角線互相垂直的矩形是正方形.8.對角線垂直且相等的四邊形是正方形.9.四邊相等，有一角是直角的四邊形是正方形.
證明：∵BF∥CE，CF∥BE ∴四邊形BECF是平行四邊形又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB ∴∠EBA=∠ECB=45° ∴BE=CE ∴四邊形BECF是菱形. 又∵∠BEC=90°， ∴四邊形BECF是正方形．
如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.
如圖1，已知在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于E， DF∥AB交AC于F．請分別回答下列問題，并簡述理由. （不添加任何線段）（1）四邊形AEDF是什么四邊形？解： ∵ DE∥AC，DF∥AB ∴ 四邊形AEDF是平行四邊形（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是矩形？解： ∵ 一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形 ∴ ∠BAC=90°時(shí)，四邊形AEDF是矩形
（3）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是菱形？
解：∵ 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 ∴ 當(dāng)AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF是菱形
（4）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，四邊形AEDF是正方形？
解：∵既是矩形又是菱形的四邊形是正方形， ∴∠BAC=90°且AD平分∠BAC時(shí)，四邊形AEDF是正方形．
如果一個(gè)四邊形變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形會(huì)有怎樣的變化呢？
平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形
菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形
矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形
等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形
直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形
梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形
對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形
對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形
對角線既相等又垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形
對角線既不相等又不垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形
一般四邊形的中點(diǎn)四邊形：決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系.
已知：如圖點(diǎn)A' 、 B' 、 C'、D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA'=BB'=CC'=DD'求證：四邊形A'B'C'D'是正方形
①、由已知正方形證三角形全等；②、證得菱形；③、再證直角； ④、是正方形
①證明是正方形就先證是菱形即證四邊相等②再證又是矩形即只證明有個(gè)角是直角
證明：∵四邊形ABCD是正方形
又∵A'A=B'B=C'C=D'D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴四邊形A'B'C'D'是菱形
又∵∠AD'A'=∠BA'B'， ∠ AA'D'+∠AD'A'=90°
∵∠D'A'B'=180°—（∠AA'D'+∠BA'B'）=90°
∴AB=BC=CD=DA
∴D'A=A'B=B'C=C'D
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'A'D'=A'B'=B'C'=C'D'
∴ ∠AA'D'+∠BA'B'=90 °
∴四邊形A'B'C'D'是正方形
如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO =45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,
∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.
如圖，在四邊形ABCD中, AB=BC ,對角線BD平分?ABC , P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PM?AD , PN?CD ,垂足分別為M、N. (1) 求證：?ADB=?CDB; (2) 若?ADC=90?,求證：四邊形MPND是正方形.
證明：（1）∵BD平分∠ABC. ∴∠1=∠2. 又∵AB = BC, ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB=∠CDB. （2）∵PM⊥AD,PN⊥CD， ∴∠PMD=∠PND=90°.
又∵∠ADC=90°， ∴四邊形NPMD是矩形. ∵∠ADB=∠CDB， ∴∠ADB=∠CDB=45°. ∴∠MPD=∠NPD=45°. ∴DM=PM,DN=PN. ∴四邊形NPMD是正方形.
1.下列命題正確的是（） A、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 B、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對角線相等的平行四邊形是正方形 D、對角線互相垂直的矩形是正方形
2.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是（）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
3．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四邊形
4．在四邊形ABCD中，O是對角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正方形的是：（） A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　 C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC D．AC＝BD
5. 已知在□ABCD中，∠A=90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（） A．∠D=90° B.AB=CD C. AD=BC D. BC=CD
6. （1）順次連接矩形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（　　）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．梯形
（2）順次連接菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（　　）Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四邊形
（3）順次連接正方形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（　 ?。? Ａ．正方形Ｂ．菱形Ｃ．矩形Ｄ．平行四邊形
證明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°.又∵ ∠C=90 °，∴四邊形EDFC是矩形.過點(diǎn)D作DG⊥AB，垂足為G.∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AC，DG⊥AB，∴ DE=DG.同理得DG=DF，∴ED=DF，∴四邊形EDFC是正方形.
7.如圖，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D. DE⊥AC，DF⊥AB.求證:四邊形CEDF為正方形.

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