18.2.2 菱形菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角。4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點(diǎn)，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心。菱形的判定：1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。2）四條邊相等的四邊形是菱形。3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。菱形的面積公式：菱形ABCD的對角線是AC、BD，則菱形的面積公式是：S＝底×高，S＝ 【題型一】利用菱形的性質(zhì)求角度【典題】（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個(gè)全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實(shí)際需要可以調(diào)節(jié)間的距離，若間的距離調(diào)節(jié)到60，菱形的邊長，則的度數(shù)是（   ）A． B． C． D． 鞏固練習(xí)1（?）（2022春·江蘇南通·八年級校考期中）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝20°，則∠DHO的度數(shù)是（　　）A．20° B．25° C．30° D．40°2（?）（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？计谀┤鐖D，已知E為鄰邊相等的平行四邊形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，且∠DAE=∠B=80o，那么∠CDE的度數(shù)為（    ）A．20o B．25o C．30o D．35o3（?）（2022春·遼寧葫蘆島·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形中，分別垂直平分，垂足分別為，則的度數(shù)是（    ）A．90° B．60° C．45° D．30°4（?）（2022春·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形的頂點(diǎn)在直線上，若，，則的度數(shù)為(   )A． B． C． D．5（?）（2022春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE．則∠DEC的大小為（    ）A．78° B．75° C．60° D．45°6（?）（2022春·山東濟(jì)南·八年級校聯(lián)考期中）如圖，把菱形ABCD沿AH折疊，使B點(diǎn)落在BC上的E點(diǎn)處，若∠B=70°，則∠EDC的大小為______．7（?）（2022春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，分別是和上的點(diǎn)，且（1）求證：（2）若，求的度數(shù)．8（?）（2022春·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，的垂直平分線交對角線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【題型二】利用菱形的性質(zhì)求線段長【典題】（2022春·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，E為邊中點(diǎn)，菱形的周長為28，則的長等于（    ）A．3.5 B．4 C．7 D．14 鞏固練習(xí)1（?）（2022春·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D，菱形中，對角線相交于點(diǎn)O，E為邊中點(diǎn)，菱形的周長為28，則的長等于（    ）A．3.5 B．4 C．7 D．142（??）（2022·廣東東莞·八年級校考期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若，，則EF的最小值為_____．3（??）（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD，AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)填空：①當(dāng)AM的值為　　 時(shí)，四邊形AMDN是矩形；②當(dāng)AM的值為　　 時(shí)，四邊形AMDN是菱形．3（?）（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使得CF=BE，連接DF，（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）連接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的長．【題型三】利用菱形的性質(zhì)求面積【典題】（2022春·四川廣元·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接OH，若，，則菱形ABCD的面積為（    ）A．8 B．16 C．24 D．32鞏固練習(xí)1（?）（2022春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）已知菱形的周長為8，兩鄰角的度數(shù)比為1：2，則菱形的面積為（　?。?/span>A．8 B．8 C．4 D．22（?）（2022春·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，則菱形ABCD的面積為（    ）A．12 B．20 C．24 D．483（??）（2022春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它們的面積分別為9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面積為4cm2，則△BDH的面積是（    ）A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 24．（?）（2022春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級?？计谀┤袅庑蔚闹荛L為，一個(gè)內(nèi)角為，則菱形的面積為________．5（?）（2022春·貴州遵義·八年級?？计谀┰?/span>Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)．過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：△AEF≌△DEB；(2)證明四邊形ADCF是菱形；(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面積．6（?）（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)O是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，CEBD，EBAC，連接OE，交BC于F．(1)求證：OE＝CB；(2)如果OC：OB＝1：2，OE＝2，則菱形ABCD的面積為______．【題型四】利用菱形的性質(zhì)證明【典題】（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線方向移動，移動到點(diǎn)D停止．在形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（   ）A．直角三角形→等邊三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等邊三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰三角形 鞏固練習(xí)1（??）（2022春·湖北·八年級?？计谥校┤鐖D，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上的一點(diǎn)，且CD＝DE，連接BE分別交AC、AD于點(diǎn)F、G，連接OG，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）①OG＝AB；②與△DEG全等的三角形共有5個(gè)；③四邊形ODEG與四邊形OBAG面積相等；④由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形．A．①③④B．①④C．①②③D．②③④2（??）（2022春·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=4，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=8；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（    ）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3（??）（2022春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，DE、BF相交于點(diǎn)G，連接BD、CG．給出以下結(jié)論：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE＝AB2．其中正確的有（　　）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型五】添加一個(gè)添加證明四邊形是菱形【典題】（2022春·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連接AD，下列條件能夠判定四邊形ABCD為菱形的是（    ）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60° 鞏固練習(xí)1（?）（2022秋·福建福州·八年級福建省福州第十六中學(xué)?？计谀┮阎倪呅?/span>ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（    ）A．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，它是矩形 B．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形 D．當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形2（?）（2022春·湖南常德·八年級校考期中）在四邊形中，對角線，相交于點(diǎn)，，，添加下列條件，不能判定四邊形是菱形的是（    ）．A． B． C． D．3（?）（2022春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，，要判定四邊形是菱形，還需要添加的條件是（    ）A．平分 B． C． D．【題型六】證明四邊形是菱形【典題】（2022春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，，，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若，，求CE的長． 鞏固練習(xí)1（?）（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，分別交AB，DC于點(diǎn)E、F，連接AF、CE．（1）若，求EF的長；（2）判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．2（?）（2022春·河南安陽·八年級統(tǒng)考期中）在中，、分別是、的中點(diǎn)，，延長到點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：四邊形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面積．3（?）（2022春·山東德州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F，且BE=DF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接EF并延長，交AD的延長線于點(diǎn)G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的長．【題型七】利用菱形的性質(zhì)與判定求解【典題】（2022春·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)F在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，四邊形ABFE是平行四邊形，則∠DAF等于（　?。?/span>A．18° B．24° C．30° D．36° 鞏固練習(xí)1（?）（2022春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知O是矩形的對角線的交點(diǎn)，，作//，//，與相交于點(diǎn)E．若四邊形的周長是24，則的長為（    ）A．12 B． C． D．62（??）（2022春·福建廈門·八年級廈門市蓮花中學(xué)校考期中）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點(diǎn)P是直線BD上一動點(diǎn)，連接PC，當(dāng)PC+的值最小時(shí)，線段PD的長是（　?。?/span>A． B． C． D．3（?）（2022春·安徽安慶·八年級安慶市石化第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長為（　?。?/span>A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm4（?）（2022春·廣東惠州·八年級惠州市第八中學(xué)校考期末）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（   ）A． B．2 C． D．45（?）（2022春·四川成都·八年級四川師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，CB＝CD，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接DF(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)試探究BE滿足什么條件時(shí)，∠EFD＝∠BCD，并說明理由．6（?）（2022春·福建龍巖·八年級校考期中）將矩形ABCD折疊使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，①求菱形的邊長；②求折痕EF的長．7（?）（2022春·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是矩形，E、F分別是線段、上的點(diǎn)，點(diǎn)O是與的交點(diǎn)．若將沿直線折疊，則點(diǎn)E與點(diǎn)F重合．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求的值．

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18.2.2 菱形

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