2024八年級數(shù)學(xué)下冊第十七章勾股定理綜合素質(zhì)評價試卷（人教版附答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第十七章綜合素質(zhì)評價一、選擇題(每題3分，共30分) 1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(　D　) A.1.5，2，2.5 B.1，2，5 C.2，3，5 D.5，12，13 2.[2023·人大附中期中]如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，標(biāo)記格點A，B，C，D，且每個小正方形的邊長都是1，下列選項中的線段長度為13的是(　B　) (第2題) A.線段AB B.線段BC C.線段CD D.線段AD 3.(母題：教材P27圖17.1－10)如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是0，點B表示的數(shù)是1，BC⊥AB，垂足為B，且BC＝1.以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點D，則點D表示的數(shù)為(　B　) (第3題) A.1.4 B.2 C.3 D.2 4.[2023·廣東實驗中學(xué)期中]已知△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列條件中不能判斷△ABC是直角三角形的是(　A　) A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B.∠C＝∠A－∠B C.a2＋b2＝c2 D.a∶b∶c＝6∶8∶10 5.[2023·鐵嶺]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，分別以點E，F(xiàn)為圓心，大于12EF的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點G，作射線AG，交BC于點D，則BD的長為(　D　) (第5題) A.35 B.34 C.43 D.53 6.[2022·金華]如圖是城市某區(qū)域的示意圖，建立平面直角坐標(biāo)系后，學(xué)校和體育場的坐標(biāo)分別是(3，1)，(4，－2).下列各地點中，離原點最近的是(　A　) (第6題) A.超市 B.醫(yī)院 C.體育場 D.學(xué)校 7.若△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)2＋｜a2＋b2－c2｜＝0，則△ABC的形狀是(　C　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.無法確定 8.[2022·張家界]如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，OA＝2，OB＝1，OC＝3，則△AOB與△BOC的面積之和為(　C　) (第8題) A.34 B.32 C.334 D.3 9.“春節(jié)”是我國傳統(tǒng)節(jié)日中最重要的一個節(jié)日，在春節(jié)期間有很多習(xí)俗，貼對聯(lián)、剪窗花、掛彩燈、吃餃子、守歲、放鞭炮等等，為了增添節(jié)日的氣氛，某同學(xué)家買了一串長52 cm的彩燈，如圖方式(從A繞到B)纏繞在圓柱體的柱子上，且柱子的底面周長為10 cm，則柱子高為(　D　) (第9題) A.2651 cm B.69 cm C.12 cm D.48 cm 10.[2023·重慶一中月考]如圖，在桌面ABCD上建立平面直角坐標(biāo)系(每個小正方形邊長為一個單位長度)，小球從點P(－4，0)出發(fā)，撞擊桌面邊緣發(fā)生反彈，反射角等于入射角，若小球以每秒2個單位長度的速度沿圖中箭頭方向運動，則第2 023秒時小球所在位置的縱坐標(biāo)為(　C　) (第10題) A.2 B.1 C.－1 D.－2 二、填空題(每題3分，共24分) 11.請寫出命題“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命題：　如果b－a＜0，那么a＞b　. 12.如圖，已知正方形ABCD的面積為8，則對角線BD的長為　4　. (第12題) 13.[2023·重慶]如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊的中線，若AB＝5，BC＝6，則AD的長度為　4　. (第13題) 14.已知直角三角形的兩邊長分別為3和4，則此三角形的周長為　12或7＋7　. 15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長方形AOCD沿直線AE折疊(點E在邊DC上)，折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處.若點D的坐標(biāo)為(10，8)，則點E的坐標(biāo)為　(10，3)　. (第15題) 16.七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長為4 dm的正方形紙板制作了一副七巧板(如圖)，由5個等腰直角三角形、1個正方形和1個平行四邊形組成，則圖中陰影部分的面積為　2　dm2. (第16題) 17.如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓形，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值等于　2π　. (第17題) 18.如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點E，AE＝3，EB＝1.在AC上有一動點P，則EP＋BP的最短長度為　5　. (第18題) 三、解答題(19～22題每題10分，23題12分，24題14分，共66分) 19.[2023·長沙]如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點D，E. (1)求證：△ABE≌△ACD； (2)若AE＝6，CD＝8，求BD的長. (1)【證明】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠ADC＝90°. 在△ABE和△ACD中，∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(AAS). (2)【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6.在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝62＋82＝10. ∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4. 20.(母題：教材P39復(fù)習(xí)題T9)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列問題： (1)求△ABC的周長； (2)試判斷△ABC的形狀. 【解】(1)∵AB＝22＋12＝5，AC＝22＋42＝25，BC＝32＋42＝5， ∴AB＋AC＋BC＝5＋25＋5＝35＋5，即△ABC的周長為35＋5. (2)∵AB2＋AC2＝(5)2＋(25)2＝25，BC2＝52＝25，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形. 21.如圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向320 km的B處，以每小時40 km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距離臺風(fēng)中心200 km的范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域. (1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？ (2)若A城受到這次臺風(fēng)影響，則A城遭受這次臺風(fēng)影響有多長時間？【解】(1)由A點向BF作垂線，垂足為C，如圖. 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，則AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到這次臺風(fēng)的影響. (2)如圖，設(shè)BF上有點D，連接DA，使DA＝200 km，則還有一點G，連接GA，使AG＝200 km.∵DA＝AG，∴△ADG是等腰三角形. ∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分線，∴CD＝GC. 在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km， ∴由勾股定理得，CD＝DA2－AC2＝2002－1602＝120(km)，則DG＝2DC＝240 km， ∴A城遭受這次臺風(fēng)影響的時間是240÷40＝6(h). 22.海綿城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨時通過植被、下沉式綠地等設(shè)施吸水、蓄水、滲水、凈水，需要時將蓄存的水釋放并加以利用.某市是全國首批16個海綿城市建設(shè)試點城市之一，其中位于夢溪路與濱水路交界處的海綿主題公園，既是周邊匯水區(qū)雨洪管理的一個有機模塊，也是立體化展示海綿技術(shù)的科普公園，園區(qū)內(nèi)有一塊下沉式綠地(四邊形ABCD，如圖)，經(jīng)測量，AB∥CD，AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∠D＝45°，求該綠地邊界的周長(結(jié)果保留根號). 【解】連接AC，過點A作AE⊥CD，垂足為E，如圖. ∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形. ∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°. ∵AB∥CD，∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°. ∴CE＝12AC＝10米.∴AE＝AC2－CE2＝103米. ∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°.∴DE＝AE＝103米. 由勾股定理得AD＝AE2＋DE2＝106米. ∴該綠地邊界的周長＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋103＋106＝50＋103＋106(米). 23.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如圖①，若∠C＝90°，則有a2＋b2＝c2；若△ABC為銳角三角形，小明猜想：a2＋b2＞c2.理由如下：如圖②，過點A作AD⊥CB于點D，設(shè)CD＝x. 在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2；在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2， ∴b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2＋b2＝c2＋2ax. ∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0.∴a2＋b2＞c2. ∴當(dāng)△ABC為銳角三角形時，a2＋b2＞c2. 故小明的猜想是正確的. 請你猜想，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖③，a2＋b2與c2的大小關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論. 【解】當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，a2＋b2與c2的大小關(guān)系為a2＋b2＜c2. 證明如下：如圖③，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D. 設(shè)CD＝y(tǒng).在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋y)2. ∴b2－y2＝c2－(a＋y)2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay. ∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0.∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2.∴當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，a2＋b2＜c2. 24.[2022·北京]在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內(nèi)一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC. (1)如圖①，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF.若AF⊥EF，求證：BD⊥AF； (2)連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖②，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明. (1)【證明】在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE， ∴△BCD≌△FCE(SAS).∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF. ∵AF⊥EF，∴BD⊥AF. (2)【解】由題意補全圖形如圖②.CD＝CH. 證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF. 又∵BC＝CF，∴AB＝AF.由(1)可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，則BD＝EF， ∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2.∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF. ∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°.又∵CD＝CE，∴CH＝CD. 第十七章綜合素質(zhì)評價一、1.D 2.B 【點撥】由題意得AB＝12＋22＝5，BC＝22＋32＝13，CD＝12＋12＝2，AD＝12＋32＝10，故選B. 3.B 4.A 【點撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180度，求出三角形每個內(nèi)角的度數(shù)，即可判斷A，B；根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷C，D，進而得出答案. 5.D 【點撥】過點D作DM⊥AB于M，由勾股定理可求得AC＝4，由題意可證明△ADC≌△ADM，則可得AM＝AC＝4，從而有BM＝1，在Rt△DMB中，由勾股定理建立方程求解即可. 6.A　7.C 8.C 【點撥】如圖，將△BAO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得△BCD，連接OD， ∴OB＝OD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2. ∴△BOD是等邊三角形. ∴OD＝OB＝1. ∵OD2＋OC2＝12＋（3）2＝4，CD2＝22＝4， ∴OD2＋OC2＝CD2. ∴∠DOC＝90°. ∴△AOB與△BOC的面積之和為S△AOB＋S△BOC＝ S△BOC＋S△BCD＝S△BOD＋S△COD＝34×1＋12×1×3＝334. 9.D 【點撥】如圖為該圓柱的側(cè)面展開圖，由題意得AE＝BE＝26 cm，AD＝10 cm，∠D＝90°，DE＝CE. ∴CD＝2DE＝2AE2－AD2＝2262－102＝48（cm），即柱子高為48 cm. 10.C 【點撥】根據(jù)小球的運動方向可得小球運動一周所走的路程為162個單位長度，再由運動速度求得運動一周所用時間為16秒，再由2 023除以16，從而求出答案. 二、11.如果b－a＜0，那么a＞b　12.4 13.4 【點撥】∵AB＝AC，AD是BC邊的中線， ∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝90°. ∵BC＝6，∴BD＝CD＝3. 在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AD＝AB2－BD2＝52－32＝4. 14.12或7＋7【點撥】設(shè)直角三角形的第三邊長為x，當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r，32＋42＝x2，x＝5（負值已舍去），則三角形周長為3＋4＋5＝12；當(dāng)長度為4的邊為斜邊時，32＋x2＝42，x＝7（負值已舍去），則三角形周長為3＋4＋7＝7＋7. 15.（10，3）【點撥】由折疊可知AD＝AF＝10，∵AO＝8，∴OF＝102－82＝6，∴FC＝4.令EF＝x，則EC＝8－x，∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴EC＝3，∴E（10，3）. 16.2 【點撥】如圖所示，依題意，得OD＝22AD＝22 dm， OE＝12OD＝2 dm. ∴陰影部分的面積為OE2＝（2）2＝2（dm2）. 17.2π 【點撥】令BC＝a，AC＝b，由題知a2＋b2＝42＝16，S1＝12×π×b22＝π8b2，同理S2＝π8a2，則S1＋S2＝π8（a2＋b2）＝π8×16＝2π. 18.5 【點撥】連接PD，易知PD＝BP，則EP＋BP＝EP＋PD.當(dāng)E，P，D三點共線時，EP＋PD最短，為ED＝32＋42＝5. 三、19.（1）【證明】∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠AEB＝∠ADC＝90°. 在△ABE和△ACD中，∠AEB＝∠ADC，∠BAE＝∠CAD，AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（AAS）. （2）【解】∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝6. 在Rt△ACD中， AC＝AD2＋CD2＝62＋82＝10. ∵AB＝AC＝10，∴BD＝AB－AD＝10－6＝4. 20.【解】（1）∵AB＝22＋12＝5，AC＝22＋42＝25，BC＝32＋42＝5， ∴AB＋AC＋BC＝5＋25＋5＝35＋5，即△ABC的周長為35＋5. （2）∵AB2＋AC2＝（5）2＋（25）2＝25，BC2＝52＝25， ∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形. 21.【解】（1）由A點向BF作垂線，垂足為C，如圖. 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320 km，則AC＝160 km，∵160＜200，∴A城受到這次臺風(fēng)的影響. （2）如圖，設(shè)BF上有點D，連接DA，使DA＝200 km，則還有一點G，連接GA，使AG＝200 km. ∵DA＝AG， ∴△ADG是等腰三角形. ∵AC⊥BF， ∴AC是DG的垂直平分線，∴CD＝GC. 在Rt△ADC中，DA＝200 km，AC＝160 km， ∴由勾股定理得，CD＝DA2－AC2＝2002－1602＝120（km），則DG＝2DC＝240 km， ∴A城遭受這次臺風(fēng)影響的時間是240÷40＝6（h）. 22.【解】連接AC，過點A作AE⊥CD，垂足為E，如圖. ∵AB＝BC＝20米，∠B＝60°， ∴△ABC是等邊三角形. ∴AC＝AB＝20米，∠BAC＝60°. ∵AB∥CD， ∴∠ACE＝∠BAC＝60°.∴∠CAE＝30°. ∴CE＝12AC＝10米.∴AE＝AC2－CE2＝103米. ∵∠AED＝90°，∠D＝45°，∴∠EAD＝45°. ∴DE＝AE＝103米. 由勾股定理得AD＝AE2＋DE2＝106米. ∴該綠地邊界的周長＝AB＋BC＋CD＋DA＝20＋20＋10＋103＋106＝50＋103＋106（米）. 23.【解】當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，a2＋b2與c2的大小關(guān)系為a2＋b2＜c2. 證明如下：如圖，過點A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D. 設(shè)CD＝y(tǒng). 在Rt△ADC中，由勾股定理得AD2＝AC2－DC2＝b2－y2；在Rt△ADB中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝c2－（a＋y）2. ∴b2－y2＝c2－（a＋y）2，整理，得a2＋b2＝c2－2ay. ∵a＞0，y＞0，∴2ay＞0. ∴a2＋b2＝c2－2ay＜c2. ∴當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，a2＋b2＜c2. 24.（1）【證明】在△BCD和△FCE中，BC＝FC，∠BCD＝∠FCE，CD＝CE， ∴△BCD≌△FCE（SAS）. ∴∠DBC＝∠EFC.∴BD∥EF. ∵AF⊥EF，∴BD⊥AF. （2）【解】由題意補全圖形如圖： CD＝CH. 證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF， ∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BF. 又∵BC＝CF，∴AB＝AF. 由（1）可知BD∥EF，△BCD≌△FCE，則BD＝EF， ∵AB2＝AE2＋BD2，∴AF2＝AE2＋EF2. ∴∠AEF＝90°.∴AE⊥EF. ∴BD⊥AE.∴∠DHE＝90°. 又∵CD＝CE，∴CH＝CD.