人教版數(shù)學(xué)八下同步講練課件18.2 特殊的平行四邊形第四課時-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

18.2 特殊的平行四邊形第4課時目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入菱形的性質(zhì)：(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；(2)菱形的四條邊都相等；(3)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；新課精講探索新知1知識點由對角線的位置關(guān)系判定菱形同學(xué)們想一想，我們在學(xué)習(xí)平行四邊形的判定和矩形的判定時，我們首先想到的第一種方法是什么？那么類比著它們，菱形的第一種判定方法是什么？根據(jù)定義得：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.探索新知一組鄰邊相等還有其它的方法嗎？探索新知用一長一短兩根細(xì)木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，做成一個四邊形. 轉(zhuǎn)動木條，這個四邊形什么時候變成菱形?猜想一：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。探索新知證明：判定一：對角線互相垂直的平行四形是菱形.DCBA已知：在 ABCD 中有對角線AC⊥BD，且相交于點O求證： ABCD 是菱形∵四邊形ABCD 是平行四邊形. ∴BO=DO又∵AO=AO，∠AOD=∠AOB∴△AOD ≌ △AOB. ∴AD=AB∴ ABCD 是菱形O探索新知對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.提示：此方法包括兩個條件 ——(1)是一個平行四邊形；(2)兩條對角線互相垂直.對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形.探索新知例1 如圖，□ ABCD 的對角線AC，BD 相交于點O，且 AB=5，AO=4，BO=3.求證： □ ABCD 是菱形.∵AB =5，AO =4，BO =3，∴AB 2=AO 2+BO 2.∴△OAB 是直角三角形， AC⊥BD. ∴□ABCD 是菱形.證明：探索新知證明一個四邊形是菱形的方法：若已知要證的四邊形的對角線互相垂直，則要考慮證明這個四邊形是平行四邊形．典題精講1如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD 是一個菱形嗎？為什么？四邊形ABCD 是一個菱形．理由：由題意易得AB＝BC＝CD＝AD，所以四邊形ABCD 是菱形．解：典題精講2 如圖，四邊形 ABCD 是軸對稱圖形，且直線 AC 是對稱軸，BD與AC 交于點O，AB∥CD，則下列結(jié)論：①AC⊥BD；②AD∥ BC；③四邊形 ABCD 是菱形；④△ABD ≌ △CDB.其中正確的是____________(只填寫序號). ①②③④探索新知2知識點由邊的數(shù)量關(guān)系判定菱形我們知道，菱形的四條邊相等. 反過來，四條邊相等的四邊形是菱形嗎?思考探索新知例2 如圖，在四邊形ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，點E，F(xiàn)，G，H 分別是AD，BD，BC，AC 的中點．試說明：四邊形EFGH 是菱形．由于點E，F(xiàn)，G，H 分別是AD，BD，BC，AC 的中點，可知EH，HG，GF，F(xiàn)E 分別是△ACD，△ABC，△BCD，△ABD 的中位線，又∵AB＝CD，∴EH＝HG＝GF＝FE，根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”可得四邊形EFGH 是菱形．導(dǎo)引：探索新知∵點E，H 分別為AD，AC 的中點，∴EH 為△ACD 的中位線，∴EH＝ CD.同理可證：EF＝ AB，F(xiàn)G＝ CD，HG＝ AB.∵AB＝CD，∴EH＝EF＝FG＝HG，∴四邊形EFGH 是菱形．解：探索新知有較多線段相等的條件時，我們可考慮通過證明四條邊相等來證明這個四邊形是菱形．注意：本例也可以通過先證四邊形EFGH 是平行四邊形，再證一組鄰邊相等，只不過步驟復(fù)雜一點，讀者不妨試一試．探索新知要證明一個四邊形是菱形，一般先證明它是平行四邊形，再證明它的一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直．例3 如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于點D，CH⊥AB 于點H，交AD 于點F，DE⊥AB 于點E，那么四邊形CDEF 是菱形嗎？說說你的理由．導(dǎo)引：探索新知四邊形CDEF 是菱形．理由如下：∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE，∠4＋∠5＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，DC⊥AC.又∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠3＝∠4，DC＝DE，∴∠2＝∠5.又∵∠1＝∠5，∴∠1＝∠2.∴CF＝CD，∴CF＝DE，即CF DE.∴四邊形CDEF 是平行四邊形．又∵DC＝DE，∴四邊形CDEF 是菱形．解：探索新知判定菱形的方法：①若用對角線進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明對角線互相垂直，或直接證明四邊形的對角線互相垂直平分；②若用邊進行判定：先證明四邊形是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等，或直接證明四邊形的四條邊都相等．典題精講一個平行四邊形的一條邊長是9，兩條對角線的長分別是12和，這是一個特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.1這是一個特殊的平行四邊形，是菱形．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝9，BD＝12，AC＝所以O(shè)B＝OD＝6，OA＝OC＝解：典題精講因為62＋( )2＝92，即OB 2＋OA 2＝AB 2，所以△AOB 是直角三角形，所以AO⊥BO，即AC⊥BD，所以平行四邊形ABCD 是菱形．S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ×6 ×12＝36 .典題精講2 如圖，四邊形ABCD 的對角線AC，BD 互相垂直，則下列條件能判定四邊形ABCD 為菱形的是(　　)A．BA＝BC B．AC，BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CDB典題精講3 如圖，在?ABCD 中，對角線AC，BD 相交于點O，添加下列條件不能判定?ABCD 是菱形的只有(　　)A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2C典題精講4如圖，將?ABCD 沿AE 翻折，使點B 恰好落在AD上的點F 處，則下列結(jié)論不一定成立的是(　　)A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BEC典題精講5如圖，在△ABC 中，點D 是邊BC 上的點(與B，C 兩點不重合)，過點D 作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC 于E，F(xiàn) 兩點，下列說法正確的是(　　)A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF 是矩形B．若AD 垂直平分BC，則四邊形AEDF 是矩形C．若BD＝CD，則四邊形AEDF 是菱形D．若AD 平分∠BAC，則四邊形AEDF 是菱形D典題精講6如圖，四邊形ABCD 的四邊相等，且面積為120 cm2，對角線AC ＝24 cm，則四邊形ABCD 的周長為 (　　)A．52 cm　 B．40 cm C．39 cm D．26 cm A易錯提醒下列命題：①四邊都相等的四邊形是菱形；②兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；④對角線相等的四邊形是菱形；⑤一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形．其中正確的是__________(填序號)．①③⑤易錯提醒易錯點：臆造菱形的判定方法導(dǎo)致出錯.①②③⑤錯解：②是最容易出錯的，兩組鄰邊分別相等的四邊形不一定是菱形，如圖，AB＝AD，BC＝CD，但四邊形ABCD 不是菱形．判定菱形時，要區(qū)分是在四邊形還是平行四邊形的基礎(chǔ)上進行判定的，要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系．診斷：學(xué)以致用小試牛刀1如圖，在△ABC 中，AD 是角平分線，DE ∥AC 交AB 于點E，DF ∥AB交AC 于點F. 如果AE＝4 cm，那么四邊形AEDF 的周長為(　　)A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cmB小試牛刀2如圖，分別以Rt△ABC 的斜邊AB 和直角邊AC 為邊向△ABC 外作等邊三角形ABD 和等邊三角形ACE，F(xiàn) 為AB 的中點，DE 與AB 交于點G，EF 與AC 交于點H，∠BAC＝30°.給出以下結(jié)論：①EF⊥AC；　　　②四邊形ADFE 為菱形；③AD＝4AG； ④FH＝ BD.其中正確的結(jié)論是(　　)A．①②③　 B．①②④　 C．①③④　 D．②③④C小試牛刀3 如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形，點E 是邊CD 上一點，且BC＝EC，CF⊥BE 交AB 于點F，P 是EB 延長線上一點，下列結(jié)論：①BE 平分∠CBF；②CF 平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC，其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)A．1 B．2 C．3 D．4D小試牛刀如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，點D，E 分別是邊 BC，AB 上的中點，連接DE 并延長至點F，使EF＝2DE，連接CE，AF. (1)求證：AF＝CE； (2)當(dāng)∠B＝30°時，試判斷四邊形ACEF 的形狀并說明理由．小試牛刀(1)證明：∵點D，E 分別是邊BC，AB上的中點， ∴DE∥AC，且DE＝ AC. ∴AC＝2DE. ∵EF＝2DE， ∴EF＝AC，又∵EF∥AC， ∴四邊形ACEF 是平行四邊形． ∴AF＝CE.(2)解：四邊形ACEF 是菱形．理由如下： ∵在Rt△ABC 中，E 為AB 的中點，∴EC＝ AB. ∵∠B＝30°，∴AC＝ AB. ∴AC＝EC. ∵四邊形ACEF 是平行四邊形， ∴四邊形ACEF 是菱形．小試牛刀如圖，在矩形ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分線 BE、DF 分別交邊AD、BC 于點E、F. (1)求證：四邊形BEDF 是平行四邊形； (2)當(dāng)∠ABE 為多少度時，四邊形BEDF 是菱形？請說明理由．小試牛刀(1)∵四邊形ABCD 是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE 平分∠ABD、DF 平分∠BDC， ∴∠EBD＝ ∠ABD，∠FDB＝ ∠BDC. ∴∠EBD＝∠FDB. ∴BE∥DF. 又∵AD∥BC， ∴四邊形BEDF 是平行四邊形．證明：小試牛刀(2)當(dāng)∠ABE＝30°時，四邊形BEDF 是菱形．理由：∵BE 平分∠ABD， ∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°. ∵四邊形ABCD 是矩形， ∴∠A＝90°. ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°. ∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED. 又∵四邊形BEDF 是平行四邊形， ∴四邊形BEDF 是菱形．解：小試牛刀如圖，在平行四邊形ABCD 中，邊AB 的垂直平分線交AD 于點E，交CB 的延長線于點F，連接AF，BE. (1)求證：△AGE ≌ △BGF； (2)試判斷四邊形AFBE 的形狀，并說明理由．小試牛刀(1)證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC. ∴∠AEG＝∠BFG. ∵EF 垂直平分AB， ∴AG＝BG. 在△AGE 和△BGF 中， ∴△AGE ≌ △BGF (AAS)．(2)解：四邊形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌ △BGF，∴AE＝BF. ∵AD∥BC，∴四邊形AFBE 是平行四邊形．又∵EF⊥AB，∴四邊形AFBE 是菱形．小試牛刀如圖①，將一張矩形紙片ABCD 沿著對角線BD 向上折疊，頂點C 落到點E 處，BE 交AD 于點F. (1)求證：△BDF 是等腰三角形； (2)如圖②，過點D 作DG∥BE，交BC 于點G，連接FG 交BD 于點O. ①判斷四邊形BFDG 的形狀，并說明理由； ②若AB＝6，AD＝8，求FG 的長．小試牛刀(1)由折疊得，△BDC ≌ △BDE， ∴∠DBC＝∠DBE. 又∵四邊形ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠DBC＝∠FDB， ∴∠DBE＝∠FDB，∴DF＝BF， ∴△BDF 是等腰三角形．證明：小試牛刀(2)①四邊形BFDG 是菱形．理由如下： ∵四邊形ABCD 是矩形， ∴FD∥BG. ∵DG∥BE， ∴四邊形BFDG 是平行四邊形． ∵DF＝BF， ∴四邊形BFDG 是菱形．解：小試牛刀②∵四邊形ABCD 是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝＝10.∵四邊形BFDG 是菱形，∴GF⊥BD，F(xiàn)G＝2OF，OB＝ BD＝5.設(shè)DF＝BF＝x，則AF＝AD－DF＝8－x，在Rt△ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x )2＝x 2，解得：x＝ . ∴FB＝ .在Rt△FOB 中，F(xiàn)O＝，∴FG＝2FO＝ .課堂小結(jié)課堂小結(jié)一組鄰邊相等對角線互相垂直四條邊相等五種判定方法四邊形菱形的判定方法：同學(xué)們，下節(jié)課見！