一．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1.復(fù)數(shù)
(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.
(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.（b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.）
2.復(fù)數(shù)集
(1)定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
(2)表示：通常用大寫字母C表示.
二．復(fù)數(shù)的分類
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實(shí)數(shù)?b＝0?，,虛數(shù)?b≠0?\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))
2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
三．復(fù)數(shù)相等的充要條件
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.
四．復(fù)平面
五．復(fù)數(shù)的幾何意義
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b).
2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
六．復(fù)數(shù)的模
1.定義：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值.
2.記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
七．共軛復(fù)數(shù)
1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
2.表示：z的共軛復(fù)數(shù)用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \x\t(z)＝a－bi.
知識(shí)簡(jiǎn)用
題型一 實(shí)部虛部辨析
【例1-1】（2022春·新疆喀什·高一統(tǒng)考期中）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A．B．6C．3D．
【例1-2】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4， 則實(shí)數(shù) 和 的值分別是 （ ）
A．B．C．D．
【例1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（ ）
A．2B．C．D．
題型二 復(fù)數(shù)的分類
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在，，，，0.618這五個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【例2-2】（2023·高一單元測(cè)試）實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是
(1)實(shí)數(shù)；
(2)虛數(shù)；
(3)純虛數(shù)？
題型三 復(fù)數(shù)相等
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則復(fù)數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，則a＋b＝（ ）
A．B．－C．－D．5
題型四 復(fù)平面及其應(yīng)用
【例4-1】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例4-3】（2022春·河南·高一校聯(lián)考期中）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)M（1，2）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【例4-4】（2022廣東珠?！じ咭唤y(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．1B．C．D．
【例4-5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則______．
7.1 復(fù)數(shù)的概念（學(xué)案）
知識(shí)自測(cè)
一．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1.復(fù)數(shù)
(1)定義：我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝－1.
(2)表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.（b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號(hào)叫做復(fù)數(shù)的虛部.）
2.復(fù)數(shù)集
(1)定義：全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.
(2)表示：通常用大寫字母C表示.
二．復(fù)數(shù)的分類
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(實(shí)數(shù)?b＝0?，,虛數(shù)?b≠0?\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(純虛數(shù)a＝0，,非純虛數(shù)a≠0.))))
2.復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
三．復(fù)數(shù)相等的充要條件
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d，a＋bi＝0?a＝b＝0.
四．復(fù)平面
五．復(fù)數(shù)的幾何意義
1.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b).
2.復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
六．復(fù)數(shù)的模
1.定義：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對(duì)值.
2.記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
3.公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
七．共軛復(fù)數(shù)
1.定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù).
2.表示：z的共軛復(fù)數(shù)用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \x\t(z)＝a－bi.
知識(shí)簡(jiǎn)用
題型一 實(shí)部虛部辨析
【例1-1】（2022春·新疆喀什·高一統(tǒng)考期中）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部為（ ）
A．B．6C．3D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）所以其虛部為6.故選：B.
【例1-2】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4， 則實(shí)數(shù) 和 的值分別是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，復(fù)數(shù) 的實(shí)部和虛部分別為 和 4，
因此，解得，所以實(shí)數(shù) 和 的值分別是.故選：D
【例1-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，得，即．故選：A
題型二 復(fù)數(shù)的分類
【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在，，，，0.618這五個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】，是純虛數(shù)，，0.618是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)．故純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為2．故選：C．
【例2-2】（2023·高一單元測(cè)試）實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)是
(1)實(shí)數(shù)；
(2)虛數(shù)；
(3)純虛數(shù)？
【答案】(1)
(2)且
(3)或
【解析】（1）由題意知，
∴當(dāng)a=5時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).
（2）由題意知，且
∴當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).
（3）由題意知，或
∴當(dāng)或時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).
題型三 復(fù)數(shù)相等
【例3-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則復(fù)數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，則，
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得，故．故選：B．
【例3-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，則a＋b＝（ ）
A．B．－C．－D．5
【答案】B
【解析】(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以
解得a＝，b＝－， 故有a＋b＝－.故選：B
題型四 復(fù)平面及其應(yīng)用
【例4-1】（2022春·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】C
【解析】依題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限.
故選：C
【例4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】,若，則，，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B
【例4-3】（2022春·河南·高一校聯(lián)考期中）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)M（1，2）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】點(diǎn)M（1，2）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．故選：B
【例4-4】（2022廣東珠?！じ咭唤y(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知．故選：D．
【例4-5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則______．
【答案】
【解析】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則且，所以，
所以.故答案為：.

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