?6.5 平面向量復(fù)習(xí)課
(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊第六章)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.理清本章知識網(wǎng)絡(luò),使學(xué)生能夠綱舉目張;
2.對本章核心內(nèi)容重點(diǎn)復(fù)習(xí)并達(dá)到綜合運(yùn)用的能力.
二、教學(xué)重難點(diǎn)：通過一題多解讓學(xué)生達(dá)到核心內(nèi)容的融會貫通.
三、教學(xué)過程
1.理清脈絡(luò),綱舉目張
【活動預(yù)設(shè)】布置學(xué)生課前編制本章網(wǎng)絡(luò)知識圖，教師收集批閱并課中展示學(xué)生成果.



【設(shè)計意圖】讓學(xué)生弄清本章的知識體系，公式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生對本章有個宏觀把握。
2.抓住核心,突破重點(diǎn)
典例1 【平面向量的最值問題】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為( )
A．3 B．2 C． D．2
【活動預(yù)設(shè)】先由學(xué)生獨(dú)立思考，再由老師引導(dǎo)學(xué)生從特值法、坐標(biāo)法、等和線法，找到解決問題的突破口，最后由老師展示解答過程，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵點(diǎn)。
【解法1】特值法
，,故選A
【小結(jié)】特值法，特立獨(dú)行！
【答案】A
【解析】由題意，畫出右圖．
設(shè)與切于點(diǎn)，連接．
以為原點(diǎn)，為軸正半軸，
為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵，．
∴．
∵切于點(diǎn)．
∴⊥．
∴是中斜邊上的高．

即的半徑為．
∵在上．
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，可以設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)滿足的參數(shù)方程如下：

而，，．
∵
∴，．
兩式相加得：

(其中，)
當(dāng)且僅當(dāng)，時，取得最大值3．
，若滿足，
則，，所以，
設(shè)，即，點(diǎn)在圓上，
所以圓心到直線的距離，即，解得，
所以的最大值是 ，即的最大值是，故選A.
【小結(jié)】解析法，用數(shù)據(jù)說話！

【小結(jié)】等和線法，等你來和一把！
【知識拓廣1】等和線的概念及其性質(zhì)
1.等和線：平面內(nèi)一組基底OA, OB 及任一向量OP,OP = lOA + mOB (l, m? R ) ，若點(diǎn) P在直線 AB 上或在平行于 AB 的直線上，則l+ m= k (定值) ,反之也成立，我們把直線 AB 以及與直線 AB 平行的直線稱為等和線.
2.等和線性質(zhì)
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線 AB 時， k = 1 ；
②當(dāng)?shù)群途€在O 點(diǎn)和直線 AB 之間時， k ? (0,1) ；
③當(dāng)直線 AB 在O 點(diǎn)和等和線之間時， k ? (1, +￥) ；
④當(dāng)?shù)群途€過O 點(diǎn)時， k = 0 ；
⑤若兩等和線關(guān)于O 點(diǎn)對稱，則它們定值 k1,k2 互為相反數(shù)；
⑥定值 k 的變化與等和線到O 點(diǎn)的距離成正比；
3.等和線性質(zhì)應(yīng)用背景:在平面向量基本定理的表達(dá)式中，若需研究兩系數(shù)的和時，可以用等值線法.
4.跟蹤練習(xí)：　給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的上運(yùn)動．若，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．
＝x＋y
常規(guī)解法：　以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則A(1,0)，B.設(shè)∠AOC＝α，則C(cos α，sin α)
由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以當(dāng)α＝時，x＋y取最大值2
等和線法：連AB,平移AB并使此線與圓弧相切,此時切點(diǎn)為圓弧中點(diǎn)E,連AE、BE,易知OAEB為平行四邊形,此時＝＋,x＋y有最大值2.
【設(shè)計意圖】解法1：特值法，四兩撥千斤，化難為易！解法2：解析法，用數(shù)據(jù)說話，降低思維量！解法3：等和線法，在移動中聯(lián)通彼岸！通過一題多解,融會貫通平面向量最值問題的解題技巧,并拓寬學(xué)生的知識面。
典例2【平面向量的數(shù)量積問題】已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【活動預(yù)設(shè)】先由學(xué)生獨(dú)立思考完成該題，小組之間可以互相討論，再由老師引導(dǎo)學(xué)生從坐標(biāo)法、基底法、定義法、極化恒等式法，找到解決問題的突破口，最后由老師展示解答過程，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵點(diǎn)。
【解法1】（坐標(biāo)法） 如圖建系：

設(shè)點(diǎn) 點(diǎn)為中，可以有兩種思路：

【小結(jié)】本題由于是在等邊三角形中的問題，可以考慮用坐標(biāo)法解決.把所求的向量內(nèi)積轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)形式，進(jìn)一步求出最小值.

【解法2】(基底轉(zhuǎn)換法)

,當(dāng)點(diǎn)與重合時=,等號成立.

【小結(jié)】基底表示法是解決向量問題的一利器！
【解法3】 定義法

【小結(jié)】利用定義結(jié)合余弦定理.
【解法4】 極化恒等式法（1）

由解法一可知：，由利用極化恒等式得：，當(dāng)點(diǎn)與重合時=,.

【解法5】極化恒等式法（2）
設(shè)分別為中點(diǎn)，
,
利用性質(zhì)：“在平行四邊形中對角線的平方和等于各邊的平方和”得：
當(dāng)點(diǎn)與重合時取最小值.
【小結(jié)】利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
【知識拓廣2】極化恒等式及其幾何意義
1.極化恒等式：
2.幾何意義（極化恒等式的三角形模式）：在中，若M是BC的中點(diǎn)，則有
3.跟蹤練習(xí) (2021·深外三模)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N為AC邊上的兩個動點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足||＝，則·的取值范圍為________．

常規(guī)解法 不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
線段AC的方程為x＋y－2＝0(0≤x≤2)．設(shè)M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由題意可知0

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

本章綜合與測試

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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