典例精講
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（ ）
A．2B．C．D．
【例1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022春·福建龍巖·高一上杭縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．1B．2iC．2D．i
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．C．3D．
3（2022·云南）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部大于虛部，則的取值范圍為________．
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的分類
【例2】（2022天津）已知復(fù)數(shù)，．
(1)若z是實(shí)數(shù)，求m的值．
(2)若z是純虛數(shù)，求m的值．
【一隅三反】
1．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2022·高一單元測(cè)試）“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（ ）
A．必要非充分條件B．充分非必要條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)
B．若，則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)
C．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)
D．若復(fù)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，z為虛數(shù)
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)相等
【例3】（2022·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)（i是虛數(shù)單位，，），若復(fù)數(shù)，則z為（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若，是虛數(shù)單位，，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，，是虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．B．2C．1D．0
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，且，則等于（ ）
A．4B．C．2D．0
考點(diǎn)四 復(fù)平面及應(yīng)用
【例4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．C．2D．
【例4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【例4-3】（2022春·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【例4-4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)，則（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．
D．
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)向量的模為3，且實(shí)部為，則復(fù)數(shù)z等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┮阎獮樘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的是（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)為B．的虛部為
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，若，則（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)幾何軌跡
【例5-1】（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎翘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)，且，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【例5-2】（2022春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為_____．
【一隅三反】
1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ）．
A．拋物線B．直線C．線段D．圓
2．（2022春·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
3（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．4B．8C．D．
7.1 復(fù)數(shù)的概念（精講）
思維導(dǎo)圖
典例精講
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部
【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，則b的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之和為0，得，即．故選：A
【例1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）以的虛部為實(shí)部，以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)所求復(fù)數(shù)為，由題意知復(fù)數(shù)的虛部為7，所以，
復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以，故．故選：A.
【一隅三反】
1．（2022春·福建龍巖·高一上杭縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．1B．2iC．2D．i
【答案】C
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C
2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【解析】由題可知，解得.故選：D．
3（2022·云南）已知復(fù)數(shù)的實(shí)部大于虛部，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】由已知可得，即，解得或．
因此，的取值范圍是．故答案為：．
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的分類
【例2】（2022天津）已知復(fù)數(shù)，．
(1)若z是實(shí)數(shù)，求m的值．
(2)若z是純虛數(shù)，求m的值．
【答案】(1)或；(2)；
【解析】（1）因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得或.
（2）因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以有，解得.
【一隅三反】
1．（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【解析】，因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以，且，解得.
故選：B
2．（2022·高一單元測(cè)試）“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的（ ）
A．必要非充分條件B．充分非必要條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】B
【解析】由純虛數(shù)的概念可知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則且，故“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.
故選：B
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)
B．若，則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)
C．若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)
D．若復(fù)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，z為虛數(shù)
【答案】ACD
【解析】時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，B正確；
是純虛數(shù)，則即，C錯(cuò)誤；
復(fù)數(shù)未注明為實(shí)數(shù)，D錯(cuò)誤．
故選：ACD．
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)相等
【例3】（2022·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)（i是虛數(shù)單位，，），若復(fù)數(shù)，則z為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋╥是虛數(shù)單位，，），所以，所以.故選：A
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）若，是虛數(shù)單位，，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，，即，?br>所以．故選：D．
2．（2022春·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知，，是虛數(shù)單位，若，則（ ）
A．B．2C．1D．0
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：D.
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，且，則等于（ ）
A．4B．C．2D．0
【答案】AD
【解析】因?yàn)椋遥?br>所以，解得或，所以或0．故選：AD
考點(diǎn)四 復(fù)平面及應(yīng)用
【例4-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解析】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為由題干得到 故選：D.
【例4-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】由，可得，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限
故選：B
【例4-3】（2022春·湖北·高一宜昌市夷陵中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.
【例4-4】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)，則（ ）
A．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為
C．
D．
【答案】AD
【解析】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故選：AD.
【一隅三反】
1．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，對(duì)應(yīng)向量的模為3，且實(shí)部為，則復(fù)數(shù)z等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，解得，所以．故選：D.
2．（2022春·黑龍江·高一哈九中?？计谥校┮阎獮樘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題不正確的是（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)為B．的虛部為
C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限D(zhuǎn)．
【答案】B
【解析】由題知，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，虛部為1，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限，，故B錯(cuò)誤故選：B
3．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【解析】∵，∴，，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D.
4．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，得，則，解得（2舍去），所以.
故選：D.
考點(diǎn)五 復(fù)數(shù)幾何軌跡
【例5-1】（2022春·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎翘摂?shù)單位，復(fù)數(shù)，且，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】若,即,點(diǎn)為圓上的點(diǎn),
，則其幾何意義為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離,
則的最大值為故選：C.
【例5-2】（2022春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┮阎獜?fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域的面積為_____．
【答案】
【解析】設(shè)，，
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在區(qū)域是圓和圓圍成的圓環(huán)，
故所求區(qū)域面積.
故答案為：.
【一隅三反】
1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）復(fù)平面上復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（ ）．
A．拋物線B．直線C．線段D．圓
【答案】C
【解析】設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>該式表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之和為（與兩定點(diǎn)間的距離相等），
所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為端點(diǎn)的線段.
故選：C.
2．（2022春·廣東東莞·高一統(tǒng)考期末）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若，則點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的圖形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，且，
所以點(diǎn)的集合對(duì)應(yīng)的圖形是一個(gè)內(nèi)半徑為1，外半徑為2的圓環(huán)，
所以所求面積為，
故選：C
3（2022春·湖北武漢·高一華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)（是虛數(shù)單位）.則.
因?yàn)?，所以表示點(diǎn)(x,y)在以（-4，-2）為圓心，1為半徑的圓上.
而表示圓上任意一點(diǎn)到（0，1）的距離.
由幾何法可知：的最小值為（0，1）到圓心（-4，-2）減去圓的半徑，即為.
故選：A

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

7.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

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