第七章綜合測試 考試時間120分鐘，滿分150分． 一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題正確的是( D ) A．復(fù)數(shù)的模是正實數(shù) B．虛軸上的點與純虛數(shù)一一對應(yīng) C．實部與虛部分別互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù) D．相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù) [解析]　復(fù)數(shù)的?？赡苁?，故A錯誤；虛軸上原點對應(yīng)的復(fù)數(shù)不是純虛數(shù)，故B錯誤；實部相等、虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，故C錯誤；D正確，故選D． 2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝eq \f(1－i,2＋2i)，則z－eq \x\to(z)＝( A ) A．－i B．i C．0 D．1 [解析]　z＝eq \f(1－i,2＋2i)＝－eq \f(1,2)i，z－eq \x\to(z)＝－i，故選A． 3．(2022·全國甲卷)若z＝1＋i，則|iz＋3eq \x\to(z)|＝( D ) A．4eq \r(5) B．4eq \r(2) C．2eq \r(5) D．2eq \r(2) [解析]　由z＝1＋i，故iz＋3eq \x\to(z)＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，|iz＋3eq \x\to(z)|＝|2－2i|＝2eq \r(2). 4．若復(fù)數(shù)z滿足2z＋z·eq \x\to(z)＝(2－i)2(i為虛數(shù)單位)，則z＝( A ) A．－1－2i B．－1－i C．－1＋2i D．1－2i [解析]　令z＝x＋yi(x，y∈R)， 則2z＋z·eq \x\to(z)＝x2＋y2＋2x＋2yi＝3－4i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x＝3，,2y＝－4.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2.)) 則z＝－1－2i. 故選A． 5．已知復(fù)數(shù)z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數(shù)單位)，eq \f(\x\to(z),z)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，則a＝( B ) A．2 B．－2 C．±2 D．－eq \f(1,2) [解析]　∵eq \f(\x\to(z),z)＝eq \f(1－ai,1＋ai)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i， 即eq \f(?1－ai?2,1＋a2)＝eq \f(1－a2－2ai,1＋a2)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i， ∴eq \f(1－a2,1＋a2)＝－eq \f(3,5)，eq \f(－2a,1＋a2)＝eq \f(4,5)，∴a＝－2.故選B． 6．定義運算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　b,c　d))＝ad－bc則符合條件eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z　1＋i,－i　2i))＝0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq \x\to(z)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　由題意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0. 則z＝eq \f(－i?1＋i?,2i)＝－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，∴eq \x\to(z)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，故選B． 7．在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))分別對應(yīng)非零復(fù)數(shù)z1 ，z2，若eq \o(OZ1,\s\up6(→))⊥eq \o(OZ2,\s\up6(→))則eq \f(z2,z1)是( B ) A．非負(fù)數(shù) B．純虛數(shù) C．正實數(shù) D．不確定 [解析]　已知eq \o(OZ1,\s\up6(→))⊥eq \o(OZ2,\s\up6(→))， 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則有ac＋bd＝0. ∴eq \f(z2,z1)＝eq \f(c＋di,a＋bi)＝eq \f(?ac＋bd?＋?ad－bc?i,a2＋b2)＝eq \f(?ad－bc?,a2＋b2)i.故選B． 8．設(shè)f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為( C ) A．1 B．2 C．3 D．無數(shù) [解析]　f(n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，f(1)＝0, f(2)＝－2, f(3)＝0, f(4)＝2, f(5)＝0，… ∴集合中共有3個元素． 二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分) 9．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，則復(fù)數(shù)cos θ＋isin θ在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在( ABC ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴cos θ＞0，sin θ0，,－a＋11. 所以a的取值范圍為(1，＋∞)． 18．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝eq \f(m2－2m－3,m)＋(m2－3m)i(m∈R)． (1)當(dāng)m取什么值時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)？ (2)當(dāng)m＝1時，求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z\x\to(z),z＋4＋i))). [解析]　(1)若z為純虛數(shù)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(m2－2m－3,m)＝0，,m2－3m≠0，))解得m＝－1. 故當(dāng)m＝－1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)． (2)當(dāng)m＝1時，z＝－4－2i， ∵z·eq \x\to(z)＝(－4－2i)(－4＋2i)＝20. ∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z\x\to(z),z＋4＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(20,－4－2i＋4＋i)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(20,－i)))＝20. 19．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝eq \r(2)，z2的虛部為2. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A，B，C，求△ABC的面積． [解析]　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， 由已知條件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi， 所以2ab＝2. 所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i. (2)當(dāng)z＝1＋i時，z2＝(1＋i)2＝2i， z－z2＝1－i. 所以點A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1. 當(dāng)z＝－1－i時，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以點A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)|AC|×1＝eq \f(1,2)×2×1＝1. 20．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i. (1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)eq \x\to(z)及|z|； (2)若復(fù)數(shù)z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是純虛數(shù)，求實數(shù)a的值． [解析]　(1)復(fù)數(shù)z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i. ∴z＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i， ∴eq \x\to(z)＝－3＋3i， ∴|z|＝eq \r(?－3?2＋?－3?2)＝3eq \r(2). (2)因為復(fù)數(shù)z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是純虛數(shù)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a－3≠0，)) 解得a＝－1.所以實數(shù)a＝－1. 21．(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)w滿足w－4＝(3－2w)i(i為虛數(shù)單位)，z＝eq \f(5,w)＋|eq \o(w,\s\up6(－))－2|. (1)求z； (2)若(1)中的z是關(guān)于x的方程x2－px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值及方程的另一個根． [解析]　(1)因為w－4＝(3－2w)i，所以w(1＋2i)＝4＋3i， 所以w＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(?4＋3i??1－2i?,?1＋2i??1－2i?)＝2－i， 所以z＝eq \f(5,2－i)＋|i|＝eq \f(5?2＋i?,?2－i??2＋i?)＋1＝3＋i. (2)因為z＝3＋i是關(guān)于x的方程x2－px＋q＝0的一個根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0， (8－3p＋q)＋(6－p)i＝0， 因為p，q為實數(shù)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8－3p＋q＝0，,6－p＝0，)) 解得p＝6，q＝10. 解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i. 所以實數(shù)p＝6，q＝10，方程的另一個根為x＝3－i. 22．(本小題滿分12分)已知z為虛數(shù)，z＋eq \f(9,z－2)為實數(shù)． (1)若z－2為純虛數(shù)，求虛數(shù)z； (2)求|z－4|的取值范圍． [解析]　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)． (1)z－2＝x－2＋yi， 由z－2為純虛數(shù)，得x＝2，所以z＝2＋yi， 所以z＋eq \f(9,z－2)＝2＋yi＋eq \f(9,yi)＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,y)))i， 由z＋eq \f(9,z－2)為實數(shù)，得y－eq \f(9,y)＝0，解得y＝±3， 所以z＝2＋3i或z＝2－3i. (2)因為z＋eq \f(9,z－2)＝x＋yi＋eq \f(9,x＋yi－2) ＝x＋eq \f(9?x－2?,?x－2?2＋y2)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(y－\f(9y,?x－2?2＋y2)))i∈R， 所以y－eq \f(9y,?x－2?2＋y2)＝0， 因為y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9， 由(x－2)2

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