6.3.2　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 6.3.3　平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 如圖，光滑斜面上一個(gè)木塊受到的重力為G，下滑力為F1，木塊對(duì)斜面的壓力為F2． 問(wèn)題：這三個(gè)力的方向分別如何？三者有何相互關(guān)系？ 知識(shí)點(diǎn)1　平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 (1)平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，a＝(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示． (3)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)作eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，設(shè)eq \o(OA,\s\up7(→))＝xi＋yj，則向量eq \o(OA,\s\up7(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)(x，y)也就是向量a的坐標(biāo)． 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系？ [提示]　點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系 1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”) (1)相等向量的坐標(biāo)相同． (　　) (2)平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)． (　　) (3)一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量． (　　) (4)平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (eq \r(2)，eq \r(2))　[由題意知 a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝eq \r(2)i＋eq \r(2)j＝(eq \r(2)，eq \r(2))．] 知識(shí)點(diǎn)2　平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則有： 3．設(shè)i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，則a＋b與a－b的坐標(biāo)分別為_(kāi)_______． (2,5)，(4,3)　[由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j， 得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j， a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j， 又i＝(1,0)，j＝(0,1)， 所以a＋b，a－b的坐標(biāo)分別是(2,5)，(4,3)．] 4．已知點(diǎn)A(1，－2)，點(diǎn)B(4,0)，則向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝________． [答案]　(3,2) 類(lèi)型1　平面向量的坐標(biāo)表示 【例1】　(對(duì)接教材P29例3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(AB,\s\up7(→))＝b．四邊形OABC為平行四邊形． (1)求向量a，b的坐標(biāo)； (2)求向量eq \o(BA,\s\up7(→))的坐標(biāo)； (3)求點(diǎn)B的坐標(biāo)． [解]　(1)作AM⊥x軸于點(diǎn)M， 則OM＝OA·cos 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)， ∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))． ∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， ∴∠COy＝30°．又OC＝AB＝3， ∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))， 即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))． (2)eq \o(BA,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))． (3)eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→)) ＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2)))． ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2)))． 求點(diǎn)、向量坐標(biāo)的常用方法 (1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：可利用已知條件，先求出該點(diǎn)相對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)，該坐標(biāo)就等于相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)． (2)求一個(gè)向量的坐標(biāo)：首先求出這個(gè)向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．如圖，取與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量i，j，{i，j}作為基底，分別用i，j表示eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(AB,\s\up7(→))，并求出它們的坐標(biāo)． [解]　由題圖可知，eq \o(OA,\s\up7(→))＝6i＋2j，eq \o(OB,\s\up7(→))＝2i＋4j，eq \o(AB,\s\up7(→))＝－4i＋2j，它們的坐標(biāo)表示為eq \o(OA,\s\up7(→))＝(6,2)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－4,2)． 類(lèi)型2　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 【例2】　(1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－4，－3)，則向量eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) (2)已知向量a，b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b的坐標(biāo)． (1)A　[法一：設(shè)C(x，y)，則eq \o(AC,\s\up7(→))＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))從而eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A． 法二：eq \o(AB,\s\up7(→))＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故選A．] (2)[解]　a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)， a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． 平面向量坐標(biāo)(線性)運(yùn)算的方法 (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行． (2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則必須先求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算． (3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．若A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))的坐標(biāo)． [解]　法一：∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－8,4)， eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－2,10)＋(－8,4)＝(－10,14)， eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－8,4)－(－10,14)＝(2，－10)． 法二：∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,10)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－8,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－10,14)，eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2，－10)． 類(lèi)型3　平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用 【例3】　已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))　　　　　　　 B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2))) C．(4,5) D．(1,3) C　[設(shè)點(diǎn)D(m，n)，則由題意得(4,3)＝(m，n－2)，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝5，)) 即點(diǎn)D(4,5)，故選C．] 在平面幾何問(wèn)題中，可以借助平行四邊形對(duì)邊平行且相等，也可利用平行四邊形法則求解. eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．已知平行四邊形OABC，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A(2,1)，B(1,3)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (－1,2)　[設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知得eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))，所以(x，y)＝(－1,2)．] 1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，則b－a等于(　　) A．(－2,1)　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) [答案]　B 2．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq \o(OA,\s\up7(→))＝4i＋2j，eq \o(OB,\s\up7(→))＝3i＋4j，則eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))的坐標(biāo)是(　　) A．(1，－2)　　　　　 B．(7,6) C．(5,0) D．(11,8) B　[因?yàn)?eq \o(OA,\s\up7(→))＝(4,2)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(3,4)， 所以eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝(4,2)＋(3,4)＝(7,6)．] 3．已知A(2，－3)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(3，－2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　) A．(－5,5) B．(5，－5) C．(－1,1) D．(1,1) B　[eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2，－3)＋(3，－2)＝(5，－5)．] 4．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且eq \o(AC,\s\up7(→))＝2eq \o(BD,\s\up7(→))，則x＋y＝________． eq \f(11,2)　[因?yàn)?eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又2eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－4＝－1，,2y－6＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝4，))所以x＋y＝eq \f(11,2)．] 5．已知點(diǎn)B(1,0)是向量a的終點(diǎn)，向量b，c均以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，且b＝(－3,4)，c＝(－1,1)與a的關(guān)系為a＝3b－2c，則向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______． (8，－10)　[a＝3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－7,10)， 設(shè)a的起點(diǎn)為A(x，y)， 則a＝eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1－x，－y)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝－7，,－y＝10，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－10，)) 所以A(8，－10)． 即a的起點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－10)．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題： (1)平面向量正交分解的概念是什么？ (2)如何表示平面向量的坐標(biāo)？ (3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別？ (4)如何求兩個(gè)向量的和或差的坐標(biāo)？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示．(難點(diǎn)) 2．理解向量坐標(biāo)的概念，掌握兩個(gè)向量和、差的坐標(biāo)運(yùn)算法則．(重點(diǎn)) 3．向量的坐標(biāo)與平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))1．通過(guò)力的分解引進(jìn)向量的正交分解，從而得出向量的坐標(biāo)表示，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．借助向量的線性運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．區(qū)別表示形式不同向量a＝(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a＝(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外，(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)聯(lián)系向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同．當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)重要結(jié)論已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)．因此，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)

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