人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第二冊)同步教學(xué)設(shè)計第6章平面向量及其應(yīng)用綜合-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

《第六章平面向量及其應(yīng)用》章末總結(jié) 教學(xué)設(shè)計知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二、核心知識歸納 1.五種常見的向量 (1)單位向量：模為1的向量. (2)零向量：模為0的向量. (3)平行(共線)向量：方向相同或相反的非零向量. (4)相等向量：模相等，方向相同的向量. (5)相反向量：模相等，方向相反的向量. 2.兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底. 3.兩個非零向量平行、垂直的等價條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0， (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4.平面向量的三個性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2). (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2). (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))). 5.投影向量向量a在b方向上的投影向量為|a|cos θ，其中θ為a與b的夾角. 6.向量的運算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a. (2)結(jié)合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 7.正弦定理與余弦定理三、典型例題　1.平面向量的線性運算及應(yīng)用【例1】若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq \o(CD,\s\up6(→))＝4eq \o(DB,\s\up6(→))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，則3r＋s的值為(　　) A.eq \f(16,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(8,5) D.eq \f(4,5) 解析　因為eq \o(CD,\s\up6(→))＝4eq \o(DB,\s\up6(→))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，所以eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)eq \o(CB,\s\up6(→))＝eq \f(4,5)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＝req \o(AB,\s\up6(→))＋seq \o(AC,\s\up6(→))，所以r＝eq \f(4,5)，s＝－eq \f(4,5)，所以3r＋s＝eq \f(12,5)－eq \f(4,5)＝eq \f(8,5). 答案　C 【類題通法】向量線性運算的基本原則和求解策略 (1)基本原則：向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量的線性運算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面. (2)求解策略： ①向量是一個有“形”的幾何量，因此在進(jìn)行向量線性運算時，一定要結(jié)合圖形，這是研究平面向量的重要方法與技巧. ②字符表示下線性運算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法則，如eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))；共起點兩個向量作差用減法的幾何意義，如eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→)). 【鞏固訓(xùn)練1】如圖所示，正方形ABCD中，M是BC的中點，若eq \o(AC,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(BD,\s\up6(→))，則λ＋μ等于(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(15,8) D.2 解析　因為eq \o(AC,\s\up6(→))＝λeq \o(AM,\s\up6(→))＋μeq \o(BD,\s\up6(→))，＝λ(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BM,\s\up6(→)))＋μ(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))) ＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＋μ(－eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋μ))eq \o(AD,\s\up6(→))，且eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,\f(1,2)λ＋μ＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,3)，,μ＝\f(1,3)，))所以λ＋μ＝eq \f(5,3)，故選B. 答案　B 2.向量的數(shù)量積【例2】　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|(k>0). (1)用k表示數(shù)量積a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此時a與b的夾角θ的大小. 解　(1)由|ka＋b|＝eq \r(3)|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝eq \r(cos2α＋sin2α)＝1，|b|＝eq \r(cos2β＋sin2β)＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝eq \f(2k2＋2,8k)＝eq \f(k2＋1,4k)(k>0). (2)a·b＝eq \f(k2＋1,4k)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k))).由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，f(k)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,k)))在(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)k＝1時，f(k)min＝f(1)＝eq \f(1,4)×(1＋1)＝eq \f(1,2)，此時a與b的夾角θ的余弦值cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 【類題通法】數(shù)量積運算是向量運算的核心，利用向量數(shù)量積可以解決以下問題： (1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的夾角和模的問題 ①設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝eq \r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)). ②兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π)，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1))\r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))). 【鞏固訓(xùn)練2】　已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))的值為(　　) A.－eq \f(5,8) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8) 解析　∵eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))，eq \o(AF,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))＋eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \o(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))， ∴eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))＝(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq \f(3,4)eq \o(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝eq \f(3,4)×1×1－eq \f(1,2)×1×1－eq \f(1,4)×1×1×cos 60°＝eq \f(1,8). 答案　B 3.　平面向量在幾何中的應(yīng)用【例3】　如圖，半徑為eq \r(3)的扇形AOB的圓心角為120°，點C在eq \o(AB,\s\up8(︵))上，且∠COB＝30°，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，則λ＋μ等于(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),3) D.2eq \r(3) 解析　由題意，得∠AOC＝90°，故以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則O(0，0)，A(0，eq \r(3))，C(eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)cos 30°，－eq \r(3)sin 30°)，因為eq \o(OC,\s\up6(→))＝λeq \o(OA,\s\up6(→))＋μeq \o(OB,\s\up6(→))，所以(eq \r(3)，0)＝λ(0，eq \r(3))＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)×\f(\r(3),2)，－\r(3)×\f(1,2)))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)＝μ×\r(3)×\f(\r(3),2)，,0＝\r(3)λ－\r(3)×\f(1,2)μ，))則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝\f(2\r(3),3)，,λ＝\f(\r(3),3)，))所以λ＋μ＝eq \r(3). 答案　A 【類題通法】把幾何圖形放到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而解決問題.這樣的解題方法具有普遍性. 【鞏固訓(xùn)練3】　在△ABC中，AB＝AC，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)為△ABC的外心，證明：EF⊥CD. 證明　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)A(0，b)，B(－a，0)，C(a，0)，則Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(b,2)))，eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a，\f(b,2))). 易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為(0，y). 由|eq \o(AF,\s\up6(→))|＝|eq \o(CF,\s\up6(→))|，得(y－b)2＝(－a)2＋y2，所以y＝eq \f(b2－a2,2b)，即Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b2－a2,2b))). 由重心坐標(biāo)公式，得Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,6)，\f(b,2)))，所以eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)，－\f(a2,2b))). 所以eq \o(CD,\s\up6(→))·eq \o(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)a))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,6)))＋eq \f(b,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a2,2b)))＝0，所以eq \o(CD,\s\up6(→))⊥eq \o(EF,\s\up6(→))，即EF⊥CD. 利用余弦、正弦定理解三角形【例4】　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值. 解　(1)由bsin A＝eq \r(3)acos B及正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得sin B＝eq \r(3)cos B，所以tan B＝eq \r(3)，又0