6.3.4　平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示 貝貝和晶晶同做一道數(shù)學(xué)題：“一人從A地到E地，依次經(jīng)過B地、C地、D地，且相鄰兩地之間的距離均為505 km．問從A地到E地的行程有多少？”其解答方法是： 貝貝：505＋505＋505＋505＝1 010＋505＋505＝1 515＋505＝2 020(km)． 晶晶：505×4＝2 020(km)． 可以看出，晶晶的計算較簡捷，乘法是加法的簡便運算，構(gòu)建了乘法運算體系后，給這類問題的解決帶來了很大的方便． 問題：(1)當(dāng)a∥b時，a，b的坐標(biāo)成比例嗎？ (2)λa與a的坐標(biāo)有什么關(guān)系？ 知識點　平面向量數(shù)乘運算的坐標(biāo)表示 1．?dāng)?shù)乘運算的坐標(biāo)表示 (1)符號表示：已知a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)． (2)文字描述：實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)． 2．平面向量共線的坐標(biāo)表示 (1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb． (2)如果用坐標(biāo)表示，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0． 兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的坐標(biāo)條件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)嗎？ [提示]　不一定，x2，y2有一者為零時，比例式?jīng)]有意義，只有x2y2≠0時，才能使用． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a與b共線，則eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)． (　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，則a與b不共線． (　　) (3)若A，B，C三點共線，則向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(CA,\s\up7(→))都是共線向量． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2 ．已知P(2,6)，Q(－4,0)，則PQ的中點坐標(biāo)為________． (－1,3)　[根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，PQ的中點坐標(biāo)為(－1,3)．] 3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，則y＝________． －4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．] 4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三點共線，則y＝________． －9　[eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－8,8)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(3，y＋6)，∵A，B，C三點共線，即eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．] 類型1　向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算 【例1】　(對接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，則eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(　　) A．(2，－3)　　　　　　 B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2,3) (2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)則a＋2b－3c的坐標(biāo)是________． (1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因為A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1，－6)，eq \o(BA,\s\up7(→))＝(3,9)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(2，－3)． (2)因為a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)．] 向量數(shù)乘坐標(biāo)運算的三個關(guān)注點 (1)準(zhǔn)確記憶數(shù)乘向量的坐標(biāo)表示，并能正確應(yīng)用． (2)注意向量加、減、數(shù)乘運算的綜合應(yīng)用，并能與線性運算的幾何意義結(jié)合解題． (3)解含參數(shù)的問題，要注意利用相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相同解題． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 1．如圖，已知|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，eq \o(OC,\s\up7(→))⊥eq \o(OB,\s\up7(→))，∠AOC＝30°，若eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，則x＋y＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 C　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 根據(jù)條件不妨設(shè)A(1,0)， 則Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))， 則由eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝x(1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)y＝\f(\r(3),2)，))解得x＝2，y＝1， 所以x＋y＝3．] 類型2　向量共線的坐標(biāo)表示及應(yīng)用 　向量共線的判定與證明 【例2】　(1)下列各組向量中，共線的是(　　) A．a(chǎn)＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a(chǎn)＝(2,3)，b＝(3,2) C．a(chǎn)＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a(chǎn)＝(－3,2)，b＝(6，－4) (2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \o(AB,\s\up7(→))與eq \o(CD,\s\up7(→))平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？ (1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故選D．] (2)[解]　∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， eq \o(CD,\s\up7(→))＝(2－1,7－5)＝(1,2)． 又2×2－4×1＝0， ∴eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))． 又eq \o(AC,\s\up7(→))＝(2,6)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A，B，C不共線， ∴AB與CD不重合， ∴AB∥CD． 向量共線的判定方法 提醒：向量共線的坐標(biāo)表達式極易寫錯，如寫成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不對的，因此要理解并記熟這一公式，可簡記為：縱橫交錯積相減． 　已知平面向量共線求參數(shù) 【例3】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？ [解]　法一：(共線向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 當(dāng)ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，)) 解得k＝λ＝－eq \f(1,3)． 當(dāng)k＝－eq \f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，這時ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)， 因為λ＝－eq \f(1,3)

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