6.3　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 6.3.1　平面向量基本定理 一天，2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏東30°方向的小猴子同時(shí)發(fā)現(xiàn)一筐桃子，他們分別朝著自己住的方向拉，已知每只大猴子的拉力是100牛頓，每只小猴子的拉力是50牛頓． 問題：你認(rèn)為這筐桃子往哪邊運(yùn)動(dòng)？ 知識(shí)點(diǎn)　平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 2．基底 若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底． 0能與另外一個(gè)向量a構(gòu)成基底嗎？ [提示]　不能．基向量是不共線的，而0與任意向量都共線． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底． (　　) (2)基底中的向量可以是零向量． (　　) (3)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(　　) A．{e1，e2}　　　　　 B．{e1＋e2,3e1＋3e2} C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2} [答案]　B 3．若a，b不共線，且la＋mb＝0(l，m∈R)，則l＝________，m＝________． [答案]　0　0 4．若AD是△ABC的中線，已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AC,\s\up7(→))＝b，若{a，b}為基底，則eq \o(AD,\s\up7(→))＝________． [答案]　eq \f(1,2)(a＋b) 類型1　對(duì)基底的理解 【例1】　(多選題)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列向量組可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是(　　) A．eq \o(AD,\s\up7(→))與eq \o(AB,\s\up7(→))　　　　　　 B．eq \o(DA,\s\up7(→))與eq \o(BC,\s\up7(→)) C．eq \o(CA,\s\up7(→))與eq \o(DC,\s\up7(→)) D．eq \o(OD,\s\up7(→))與eq \o(OB,\s\up7(→)) AC　[選項(xiàng)A，eq \o(AD,\s\up7(→))與eq \o(AB,\s\up7(→))不共線；選項(xiàng)B，eq \o(DA,\s\up7(→))＝－eq \o(BC,\s\up7(→))，則eq \o(DA,\s\up7(→))與eq \o(BC,\s\up7(→))共線；選項(xiàng)C，eq \o(CA,\s\up7(→))與eq \o(DC,\s\up7(→))不共線；選項(xiàng)D，eq \o(OD,\s\up7(→))＝－eq \o(OB,\s\up7(→))，則eq \o(OD,\s\up7(→))與eq \o(OB,\s\up7(→))共線．由平面向量基底的概念知，只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一組基底，故選項(xiàng)A、C滿足題意．] 如何判斷兩個(gè)向量是否能構(gòu)成基底？ [提示]　兩個(gè)向量能否作為一組基底，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．若向量a，b不共線，則c＝2a－b，d＝3a－2b，試判斷{c，d}能否作為基底． [解]　設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使c＝λd，則2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0，由于向量a，b不共線， 所以2－3λ＝2λ－1＝0，這樣的λ是不存在的， 從而c，d不共線，故{c，d}能作為基底． 類型2　用基底表示向量 【例2】　(1)(多選題)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB上的中點(diǎn)，且eq \o(BC,\s\up7(→))＝a，eq \o(CA,\s\up7(→))＝b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)a－b B．eq \o(BE,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,2)b C．eq \o(CF,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b D．eq \o(EF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a (2)如圖所示，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的中點(diǎn)，DE與BF交于點(diǎn)G，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，試用a，b表示向量eq \o(DE,\s\up7(→))，eq \o(BF,\s\up7(→))． (1)ABC　[如圖，eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝ －b＋eq \f(1,2)eq \o(CB,\s\up7(→))＝－b－eq \f(1,2)a，A正確； eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,2)b，B正確； eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(CB,\s\up7(→))＝－b－a，eq \o(CF,\s\up7(→))＝eq \o(CA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)(－b－a)＝eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a，C正確； eq \o(EF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(CB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)a，D不正確．] (2)[解]　eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BE,\s\up7(→))＝－eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→)) ＝－eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＝a－eq \f(1,2)b． eq \o(BF,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DF,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＝b－eq \f(1,2)a． 1．若本例(2)中條件不變，試用a，b表示eq \o(AG,\s\up7(→))． [解]　由平面幾何的知識(shí)可知eq \o(BG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(BF,\s\up7(→))， 故eq \o(AG,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BG,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(BF,\s\up7(→)) ＝a＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a)) ＝a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)a ＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b． 2．若本例(2)中的基向量“eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AD,\s\up7(→))”換為“eq \o(CE,\s\up7(→))，eq \o(CF,\s\up7(→))”，即若eq \o(CE,\s\up7(→))＝a，eq \o(CF,\s\up7(→))＝b，試用a，b表示向量eq \o(DE,\s\up7(→))，eq \o(BF,\s\up7(→))． [解]　eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝2eq \o(FC,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝－2eq \o(CF,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝－2b＋a． eq \o(BF,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))＝2eq \o(EC,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))＝－2eq \o(CE,\s\up7(→))＋eq \o(CF,\s\up7(→))＝－2a＋b． 用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型” (1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則； ②向量減法的幾何意義； ③數(shù)乘向量的幾何意義． (2)模型： eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．已知M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，且eq \o(BM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(CN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(CA,\s\up7(→))，eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AC,\s\up7(→))＝b，試用a，b將eq \o(MN,\s\up7(→))，eq \o(NP,\s\up7(→))，eq \o(PM,\s\up7(→))表示出來． [解]　eq \o(NP,\s\up7(→))＝eq \o(AP,\s\up7(→))－eq \o(AN,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b， eq \o(MN,\s\up7(→))＝eq \o(CN,\s\up7(→))－eq \o(CM,\s\up7(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \o(CB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)(a－b)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b， eq \o(PM,\s\up7(→))＝－eq \o(MP,\s\up7(→))＝－(eq \o(MN,\s\up7(→))＋eq \o(NP,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)． 類型3　平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用 【例3】　如圖所示，在△OAB中，eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)．若OM與BN相交于點(diǎn)P，求eq \o(OP,\s\up7(→))． 若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關(guān)系？ [提示]　由題意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即?λ1－μ1?e1＝?μ2－λ2?e2，由于e1，e2不共線，故λ1＝μ1，λ2＝μ2. [解]　eq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋Aeq \o(M,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up7(→)) ＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b． 因?yàn)?eq \o(OP,\s\up7(→))與eq \o(OM,\s\up7(→))共線，故可設(shè)eq \o(OP,\s\up7(→))＝teq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \f(t,3)a＋eq \f(2t,3)b． 又eq \o(NP,\s\up7(→))與eq \o(NB,\s\up7(→))共線，可設(shè)eq \o(NP,\s\up7(→))＝seq \o(NB,\s\up7(→))，eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(ON,\s\up7(→))＋seq \o(NB,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \o(OA,\s\up7(→))＋s(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(ON,\s\up7(→)))＝eq \f(3,4)(1－s)a＋sb， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,4)?1－s?＝\f(t,3)，,s＝\f(2,3)t，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(t＝\f(9,10)，,s＝\f(3,5)，))所以eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(3,10)a＋eq \f(3,5)b． 1．將本例中“點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)”改為“點(diǎn)M是AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)”，“點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四分點(diǎn)”改為“點(diǎn)N為OA的中點(diǎn)”，求BP∶PN的值． [解]　eq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \o(ON,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a－b， eq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AM,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b． 因?yàn)锽，P，N和O，P，M分別共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，μ使eq \o(BP,\s\up7(→))＝λeq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \f(λ,2)a－λb， eq \o(OP,\s\up7(→))＝μeq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \f(2μ,3)a＋eq \f(μ,3)b， 所以eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OP,\s\up7(→))＋eq \o(PB,\s\up7(→))＝eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(BP,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(μ,3)＋λ))b， 又eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2μ,3)－\f(λ,2)＝0，,\f(μ,3)＋λ＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5)，)) 所以eq \o(BP,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)eq \o(BN,\s\up7(→))，即BP∶PN＝4∶1． 2．將本例中點(diǎn)M，N的位置改為“eq \o(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(MB,\s\up7(→))，N為OA的中點(diǎn)”，其他條件不變，試用a，b表示eq \o(OP,\s\up7(→))． [解]　eq \o(AM,\s\up7(→))＝eq \o(OM,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)b－a， eq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \o(ON,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a－b． 因?yàn)锳，P，M三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ使得eq \o(AP,\s\up7(→))＝λeq \o(AM,\s\up7(→))＝eq \f(λ,3)b－λa， 所以eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AP,\s\up7(→))＝(1－λ)a＋eq \f(λ,3)b． 因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)μ使得eq \o(BP,\s\up7(→))＝μeq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \f(μ,2)a－μb， 所以eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(BP,\s\up7(→))＝eq \f(μ,2)a＋(1－μ)b． 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(μ,2)，,\f(λ,3)＝1－μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5)，))所以eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b． 1．任意一向量基底表示的唯一性的理解 2．任意一向量基底表示的唯一性的應(yīng)用 平面向量基本定理指出了平面內(nèi)任一向量都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2的線性組合λ1e1＋λ2e2．在具體求λ1，λ2時(shí)有兩種方法： (1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理． (2)利用待定系數(shù)法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程組求解． 1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A．{eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(DC,\s\up7(→))}　　　　　　 B．{eq \o(AD,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))} C．{eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(CB,\s\up7(→))} D．{eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(DA,\s\up7(→))} D　[由于eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(DA,\s\up7(→))不共線，所以是一組基底．] 2．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝3eq \o(CD,\s\up7(→))，則(　　) A．eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)eq \o(AC,\s\up7(→)) B．eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(4,3)eq \o(AC,\s\up7(→)) C．eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(4,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up7(→)) D．eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(4,3)eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \o(AC,\s\up7(→)) A　[eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(4,3)eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)eq \o(AC,\s\up7(→))．故選A．] 3．如圖，在矩形ABCD中，若eq \o(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq \o(DC,\s\up7(→))＝3e2，則eq \o(OC,\s\up7(→))＝(　　) A．eq \f(1,2)(5e1＋3e2) B．eq \f(1,2)(5e1－3e2) C．eq \f(1,2)(3e2－5e1) D．eq \f(1,2)(5e2－3e1) A　[eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(AB,\s\up7(→))) ＝eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．] 4．已知非零向量eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))不共線，且2eq \o(OP,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，若eq \o(PA,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))(λ∈R)，則x，y滿足的關(guān)系是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 A　[由eq \o(PA,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))，得eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))，即eq \o(OP,\s\up7(→))＝(1＋λ)eq \o(OA,\s\up7(→))－λeq \o(OB,\s\up7(→))．又2eq \o(OP,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2．] 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)eq \o(AC,\s\up7(→))＝a，eq \o(BD,\s\up7(→))＝b，用基底{a，b}表示eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))，則eq \o(AB,\s\up7(→))＝________，eq \o(BC,\s\up7(→))＝________． eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b　eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b　[法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O(圖略)，則有eq \o(AO,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a，eq \o(BO,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)b． 所以eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(AO,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(AO,\s\up7(→))－eq \o(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b， eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(BO,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b． 法二：設(shè)eq \o(AB,\s\up7(→))＝x，eq \o(BC,\s\up7(→))＝y(tǒng)，則eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＝y(tǒng)， 又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＋\o(BC,\s\up7(→))＝\o(AC,\s\up7(→))，,\o(AD,\s\up7(→))－\o(AB,\s\up7(→))＝\o(BD,\s\up7(→))，)) 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝a，,y－x＝b，))解得x＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，y＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b， 即eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)基底的概念是什么？滿足什么條件的兩個(gè)向量可以構(gòu)成基底？ (2)平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．了解平面向量基本定理及其意義．(重點(diǎn)) 2．了解向量基底的含義．在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底確定后，會(huì)用這組基底來表示其他向量．(難點(diǎn))1．通過作圖得出平面向量基本定理，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)． 2．通過基底的學(xué)習(xí)，提升直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2條件一平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1，e2條件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2結(jié)論eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ1＝λ2，,μ1＝μ2))

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