第六章 平面向量及其應(yīng)用單元測(cè)試（強(qiáng)化卷） 一、單選題1．已知向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，.故選：C.2．已知正方形的邊長(zhǎng)為，則＝（    ）A．2 B．6 C．4 D．【答案】B【詳解】由正方形的邊長(zhǎng)為，可得正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，利用向量的平行四邊形法則可得：，則.故選：B.3．銳角中，已知，則取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，，，又由得：，，，.故選：D4．已知向量，，若，則的值為（    ）A．2 B．-2 C．6 D．-6【答案】C【詳解】由題意，向量，，可得，因?yàn)?/span>，則，解得.故選：C.5．在中，若，則的形狀為（    ）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【詳解】，，即，又，同理得：，，，代入得：，設(shè)，，，且由余弦定理得：，，.綜上所述，的形狀為等邊三角形故選：C6．在中，角所對(duì)的邊分別為．若，則為（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【詳解】，利用正弦定理，可得，，，，，，①時(shí)，有等式成立，此時(shí)；②時(shí)，有，因?yàn)?/span>，所以，.故為等腰或直角三角形.故選：D7．若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（    ）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【詳解】，,所以四邊形ABCD為平行四邊形，, ，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B8．在中，已知，則（    ）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】D【詳解】解：由得所以，故，即，即，故.故選：D. 二、多選題9．下列向量中與共線的是（    ）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】向量，因，則與不共線，A不是；因，則與不共線，B不是；而，，則與都共線，即C，D是.故選：CD10．關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（    ）A．若，則B．，若與平行，則C．非零向量和滿足，則與的夾角為D．點(diǎn)，與向量同方向的單位向量為【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，若且，可滿足條件，但，故A不正確；對(duì)于B，由條件，若這兩向量平行，有，解得，故B正確；對(duì)于C，由條件可知，以向量和為邊對(duì)應(yīng)的四邊形為一個(gè)角是的菱形，則與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，可得，因此與同方向的單位向量為，故D正確.故選：BCD.11．已知向量，，則（    ）A． B．若，則C．與的夾角的正弦值為 D．若，則實(shí)數(shù)【答案】BD【詳解】A. 由題得因?yàn)?/span>,所以不成立；B. ,所以，所以，所以，所以該選項(xiàng)正確；C. 由題得，所以與的夾角的余弦，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D. 所以，所以所以.所以該選項(xiàng)正確.故選：BD12．已知a，b，c分別為的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，，若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則x的值可能為（    ）A．1 B．1.5 C．1.8 D．2【答案】BC【詳解】在中，由正弦定理得，，因滿足條件的三角形有兩個(gè)，則必有，且，即，于是得，解得，顯然x可取1.5，1.8.故選：BC 三、填空題13．點(diǎn)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【詳解】由已知得，設(shè),由已知得,,故答案為：(.14．已知，若向量與共線，則____________．【答案】##【詳解】解：因?yàn)?/span>且，所以，解得，所以，所以;故答案為：15．已知向量，且，則的取值范圍是___________．【答案】【詳解】因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，所以，設(shè)，則，則，化簡(jiǎn)得：，方程有解，則，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)，，所以，所以不等式的解集為：.故答案為：. 16．如圖，四邊形中，，，，，．若是線段的動(dòng)點(diǎn)，則________，則的最大值為________．【答案】     ##     【詳解】因?yàn)樗倪呅?/span>中，，，，則，，，因?yàn)?/span>，即，可得，因此，，，所以，，設(shè)，則，所以，的最大值為.故答案為：；. 四、解答題17．已知點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)和的坐標(biāo)；（2）若是軸上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1），；（2）.【詳解】解：（1）是線段的中點(diǎn)，（2）設(shè)，則，∵∥，∴，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.18．已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系可用表示.（1）設(shè)，，求及的坐標(biāo)；（2）證明：對(duì)于任意向量、及常數(shù)m、n，恒有成立；（3）求使成立的向量.【答案】（1），；（2）證明見解析；（3）.【詳解】（1），（2）設(shè)，，∴，∴∴，故對(duì)于任意向量、及常數(shù)m、n，恒有成立.（3）設(shè)，因?yàn)?/span>，則有，解得，所以.19．某海域的東西方向上分別有，兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)（如圖），它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào)，經(jīng)探測(cè)得知點(diǎn)位于點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)北偏西，這時(shí)位于點(diǎn)南偏西且與相距海里的點(diǎn)有一救援船，其航行速度為海里/小時(shí).（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（2）若命令處的救援船立即前往點(diǎn)營(yíng)救，求該救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間.【答案】（1）海里；（2）小時(shí)【分析】（1）根據(jù)已知條件求出，在中利用正弦定理即可求解； 【詳解】（1）由題意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：即，所以海里，（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的時(shí)間為小時(shí)，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離海里，救援船到達(dá)點(diǎn)需要的時(shí)間為小時(shí).20．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下面兩個(gè)問題．(1)求角A；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，，若已知，，求的值．【答案】(1)(2)， 【詳解】（1）若選①：由已知得：由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得， 因?yàn)?/span>， 所以．若選②：因?yàn)?/span>由正弦定理可得，所以因?yàn)?， 所以， 所以，因?yàn)?/span>， 所以若選③：因?yàn)?，由正弦定理得因?yàn)?，所以，故可得，即, 所以，因?yàn)?，所以；（2）由（1）可得，，所以，由余弦定理得：，所以，又因?yàn)?/span>，解得，．21．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求；(2)再從條件①、條件②這兩組條件中選擇一組作為已知，使存在且唯一確定，求．條件①：，；條件②：；【答案】(1)(2) 解析 （1）因?yàn)?/span>，所以，所以，則，又，；（2）若選條件①：因?yàn)?/span>，所以，所以，則，故無解；若選條件②：因?yàn)?/span>，又，所以，由正弦定理得：，所以，所以，又，所以，，因?yàn)?/span>，所以.22．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn).(1)求；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)的余弦值為 【解析】(1)又已知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，(2)因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.

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本章綜合與測(cè)試

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