午練16　直線與直線垂直、直線與平面垂直 1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,與棱AB垂直的棱有(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.2條 B.4條 C.6條 D.8條 2.設(shè)a,b,c是三條不同直線,且c⊥a,c⊥b,則a和b(　　) A.平行 B.相交 C.異面 D.以上都有可能 3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線AC和BC1所成角的大小為(　　) A. B. C. D. 4.若直線a⊥平面α,直線b⊥平面α,直線c⊥直線a,則直線c與直線b的位置關(guān)系為(　　) A.異面 B.相交 C.垂直 D.平行或異面 5.已知直線a⊥平面α,直線b∥平面α,則a與b的關(guān)系為(　　) A.a∥b B.a⊥b C.a,b相交不垂直 D.a,b異面不垂直 6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線B1D1與CD所成角的大小是　　　　.? 7.將一塊邊長(zhǎng)為2的正三角形鐵皮沿各邊的中位線折疊成一個(gè)正四面體,則這個(gè)正四面體某頂點(diǎn)到其相對(duì)面的距離是　　　　　.? 8.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=,BC=AA1=1,則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為　　　　　.? 9.如圖,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥BE. 10.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2. (1)求直線A1B和平面ABCD所成角的大小; (2)求直線BD1和平面ABCD所成角的正切值. 午練16　直線與直線垂直、直線與平面垂直 1.D　在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8條.故選D. 2. D　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,則a和b相交;若DD1=c,D1C1=a,AD=b,則a和b異面;若DD1=c,D1C1=a,DC=b,則a和b平行.故選D. 3. A　如圖,連接AD1,CD1,∵BC1∥AD1, ∴∠D1AC即為異面直線AC與BC1所成的角. 又AD1=AC=CD1, ∴∠D1AC=,即異面直線AC與BC1所成角為. 4.C 5.B　由b∥α,過(guò)b作平面β,使α∩β=c,則b∥c,且c?α. ∵a⊥α,∴a⊥c.∴a⊥b. 6. 45°　如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中, ∵C1D1∥CD, ∴∠B1D1C1即異面直線B1D1與CD所成的角. ∵△B1D1C1為等腰直角三角形, ∴∠B1D1C1=45°. 7. 　依題意可得如圖所示的正三棱錐S-ABC,且棱錐的所有棱長(zhǎng)為1.取AB的中點(diǎn)D,連接CD,過(guò)S作底面ABC的射影O.根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)可知點(diǎn)O為△ABC的重心,所以CD=,CO=CD=,所以SO=. 8.30°　如圖所示,連接B1D1,則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影, 則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角. 在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1=, 則∠BD1B1=30°. 9.證明 ∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE. 又AE?平面ABE,∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,∴AE⊥BF. ∵BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B, ∴AE⊥平面BCE. 又BE?平面BCE,∴AE⊥BE. 10.解 (1)因?yàn)锳1A⊥平面ABCD, ∴A1B在平面ABCD上的射影為AB, ∴∠A1BA就是直線A1B和平面ABCD所成的角. 在Rt△A1BA中,AA1=AB,則∠A1BA=, ∴直線A1B和平面ABCD所成角的大小為. (2)因?yàn)镈1D⊥平面ABCD, ∴D1B在平面ABCD上的射影為DB, ∴∠D1BD就是直線D1B和平面ABCD所成的角. ∵在Rt△D1BD中,DD1=2,BD=2, 則tan∠D1BD=, ∴直線BD1和平面ABCD所成角的正切值為.

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