統(tǒng)計初步 一、 課堂目標(biāo) 1．理解統(tǒng)計中的相關(guān)概念． 2．掌握兩種抽樣方法及其應(yīng)用． 3．掌握頻率分布直方表和頻率分布直方圖及其應(yīng)用． 4．掌握數(shù)據(jù)的數(shù)字特征和直觀表示并能求解相關(guān)量． 【備注】1.本講的重點是掌握統(tǒng)計中的兩種抽樣方法及數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與直觀表示并會求解相應(yīng)題型；難點是在頻率分布直方表和頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，利用數(shù)字特征進行分析；重點題型是隨機數(shù)法和分層抽樣的應(yīng)用，求相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征并利用數(shù)字特征進行分析. 2.本講的后置知識是概率. 二、 知識講解 1. 全面調(diào)查（普查）與抽樣調(diào)查 知識精講 （1）全面調(diào)查 對每一個調(diào)查對象都進行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查． 在一個調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體稱為總體，組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體． 為了強調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對象的某些指標(biāo)的全體作為總體，每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標(biāo)作為個 體． （2）抽樣調(diào)查 根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查 方法，稱為抽樣調(diào)查． 我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本，樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量（樣本容量）． 調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù)． （3）抽樣的必要性 在實際中要全面了解總體的情況，往往難以做到，一般也不可能或沒有必要對每個個體逐一進行研究． 這是因為： ①一些總體中包含的個體數(shù)通常是大量的甚至是無限的．如不可能對所有的產(chǎn)品進行檢驗，記錄每一件 產(chǎn)品的合格情況； ②一些個體具有破壞性．如不可能對所有的炮彈都進行試射，檢驗是否合格； ③一些調(diào)查具有破壞性．如不可能把地里所有的種子都挖出來，檢驗是否發(fā)芽； ④全面調(diào)查（普查）往往要浪費大量的人力、物力和財力．所以常通過從總體中抽取一部分個體，根據(jù)對這一部分個體的觀察研究結(jié)果去推斷和估計總體的情況，即用樣本估計總體——這是統(tǒng)計學(xué)的一個基本思想． 經(jīng)典例題 1. 為了了解 名學(xué)生的身高情況，從中抽取 名學(xué)生進行測量，下列說法正確的是（ ）． A. 總體是 B. 個體是每一名學(xué)生 C. 樣本是 名學(xué)生 D. 樣本容量是 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查總體、個體、樣本和樣本容量，進一步加深對這四個概念的理解. 【答案】D 【解析】總體是 名學(xué)生的身高，故 錯誤；個體是每一名學(xué)生的身高，故 錯誤；樣本是 名學(xué)生的身高，故 錯誤；很明顯樣本容量是 ，故 正確． 【標(biāo)注】【知識點】總體、樣本、樣本容量 鞏固練習(xí) 2. 下列調(diào)查方式合適的是（ ）． A. B. C. D. 為了了解炮彈的射程，采用普查的方式 為了了解人們保護水資源的意識，采用抽樣調(diào)查的方式為了了解全國中學(xué)生的課外閱讀時間，采用普查的方式對“神舟十號”零部件的檢查，采用抽樣調(diào)查的方式 【答案】B 【解析】A 選項：要了解炮彈的射程，調(diào)查具有破壞性，不適合采用普查，故 錯誤； B 選項：要了解人們保護水資源的意識，需要調(diào)查的人很多，宜采用抽樣調(diào)查的方式， 故 正確； C 選項：全國中學(xué)生的數(shù)量龐大，要了解其某項內(nèi)容宜采用抽樣調(diào)查的方式，故 錯誤；D 選項：關(guān)系到衛(wèi)星或飛船的發(fā)射，對每一個零部件都要進行仔細的檢查，必須采用普查的方式，故 錯誤． 故選 B . 【標(biāo)注】【知識點】獲取數(shù)據(jù)的基本途徑 2. 簡單隨機抽樣 知識精講 （1）簡單隨機抽樣的概念 一般地，設(shè)一個總體含有 （ 為正整數(shù)）個個體，從中逐個抽取 （ ）個個體作為樣本， 如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫作放回簡單隨機抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫作不放回簡單隨機抽樣． 放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣．通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單 隨機樣本． 注意： 從總體中，逐個不放回地隨機抽取 個個體作為樣本，一次性批量隨機抽取 個個體作為樣本，兩種方法是等價的． 【備注】【教師指導(dǎo)】 與放回簡單隨機抽樣比較，不放回簡單隨機抽樣的效率更高，因此實踐中人們更多采用不 放回簡單隨機抽樣．除非特殊聲明，本章所稱的簡單隨機抽樣指不放回簡單隨機抽樣． （2）簡單隨機抽樣的特點①總體的個體數(shù)有限． ②從總體中逐個地進行抽取，這樣便于在抽樣實踐中進行操作． ③是一種不放回抽樣．由于抽樣實踐中多采用不放回抽樣，故其具有更廣泛的實用性，而且由于所抽取 的樣本中沒有被重復(fù)抽取的個體，故不放回抽樣便于進行有關(guān)的分析和計算． ④是一種等可能抽樣．在整個抽樣過程中，每個個體被抽取到的可能性相等，從而保證了這種抽樣方法 的公平性． 注意： 判斷抽取樣本的方式是否為簡單隨機抽樣關(guān)鍵是看它是否滿足以上四個特點． （3）常見的簡單隨機抽樣方法 抽簽法 ①概念：先把總體中的 個個體編號，并把編號寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可以是紙條、卡片或小球等）．將這些號簽放在同一個箱子里均勻攪拌，每次隨機地從中抽取一個，如此下去，直至抽到預(yù)先設(shè)定的樣本數(shù)． 根據(jù)實際需要，如果每次抽取后再放回，就稱為有放回抽??；如果每次抽取后不放回，就稱為不放回抽 ?。? ②步驟：先給調(diào)查對象群體中的每個對象編號；然后準(zhǔn)備“抽簽”的工具，實施“抽簽”；接著對樣本中每一個個體進行測試或調(diào)查． 【備注】【教師指導(dǎo)】 對個體編號時，也可以利用已有的編號．例如從全班學(xué)生中抽取樣本時，可以利用學(xué)生的 學(xué)號、座位號等． 利用抽簽法抽取樣本時應(yīng)注意以下問題： ①編號時，如果已有編號（如學(xué)號、座位號等）可不必重新編號． ②號簽要求大小，形狀完全相同． ③號簽要攪拌均勻． 注意： 一個抽樣試驗?zāi)芊癫捎贸楹灧?，關(guān)鍵看兩個方面：一是制作號簽是否方便；二是號簽是否容易被攪勻．當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時，可采用抽簽法．采用抽簽法設(shè)計抽樣方案時，要嚴(yán)格按照步驟進行，即編號、制簽、攪勻、抽簽、確定樣本，這幾個步驟不可缺 少，其中攪勻是最容易被忽略的． 隨機數(shù)法 ①概念：把總體中的 個個體依次編上 ， ，…， 的號碼，然后利用工具（轉(zhuǎn)盤、摸球、隨機數(shù) 表、科學(xué)計算器或計算機等）產(chǎn)生 ， ，…， 中的隨機數(shù)，產(chǎn)生的隨機數(shù)是幾，就選幾號個體， 直至抽到預(yù)先規(guī)定的樣本數(shù)． ②步驟：先對總體中的每個個體進行編號；然后在隨機數(shù)表中任意選定一個數(shù)作為開始的數(shù)； 再從選定的數(shù)開始按一定的方向（可以向右向左、向上、向下）讀數(shù)，得到的號碼若不在編號中則跳過，若在編號中則取出，如果得到的號碼前面已取出，則跳過，如此繼續(xù)下去，直至取滿為止；最后把選定的號碼所對應(yīng)的 個個體作為樣本． 注意： 需要注意隨機數(shù)法對于超出標(biāo)號范圍的數(shù)字的處理，即一定要將其舍去，重復(fù)的數(shù)字也要舍去． 【備注】【教師指導(dǎo)】 （1）利用隨機數(shù)法抽樣時應(yīng)注意以下問題： ①編號要求位數(shù)相同． ②第一個數(shù)字的抽取是隨機的． ③讀數(shù)的方向是任意的，且是事先定好的． 利用隨機數(shù)法抽取個體的關(guān)鍵是在隨機數(shù)表中任選哪個數(shù)作為起點以及讀數(shù)的方向，方 法：①可以利用兩次抽簽得到的兩個數(shù)分別表示行號和列號，由這個行號和列號可以確定 隨機數(shù)表中的一個位置，該位置上的數(shù)作為選取的數(shù)； ②也可以翻到隨機數(shù)表的某一頁，閉上眼睛把筆尖放到隨機數(shù)表上，以筆尖點到的數(shù)作為選用的隨機數(shù)表相對的頁數(shù)（如果數(shù)字大于隨機數(shù)表的總頁數(shù)，可以用該數(shù)字除以總頁數(shù)的余數(shù)作為相對的頁數(shù)），將隨機數(shù)表翻到選定的頁數(shù)，再次閉上眼睛用筆尖點出一個數(shù)作為選取的數(shù)． （2）所給編號位數(shù)不一致的處理方法 當(dāng)題目中給的編號位數(shù)不一致時，需要對號碼做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，用調(diào)整后的號碼進行抽取以 后，再對應(yīng)找出原來的號碼．可用如下方法調(diào)整： ①在位數(shù)少的數(shù)前添加“ ”，湊齊位數(shù)．如： ， ，…， 可調(diào)整為 ， ，…， ．②把原來的號碼加上 的倍數(shù)．如 ， ， ，…， 每個數(shù)加 可調(diào)整為 ， ， ，…， ； ， ，…， ，…， 每個數(shù)加 可調(diào)整為 ， ，…， ，…， （4）簡單隨機抽樣的估計功能 ①總體均值（總體平均數(shù)） 一 般 地 ， 總 體 中 有 個 個 體 ， 它 們 的 變 量 值 分 別 為 ， ， … ， ， 則 稱 ： 為總體均值，又稱總體平均數(shù)． ②樣本均值（樣本平均數(shù)） 如果從總體中抽取一個容量為 的樣本，它們的變量值分別為 ， ，…， ，則稱 為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)． 在簡單隨機抽樣中，常用樣本平均數(shù) 去估計總體平均數(shù) ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 加權(quán)平均數(shù)： 如果總體的 個變量值中，不同的值共有 個，不妨記為 ， ，…， ，其中 出現(xiàn)的頻數(shù) ，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式 ． 知識點睛 （1）簡單隨機抽樣的局限性 簡單隨機抽樣方法簡單、直觀，用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)也比較方便．簡單隨機抽樣是一種基本抽 樣方法，是其他抽樣方法的基礎(chǔ)．但在實際應(yīng)用中，簡單隨機抽樣有一定的局限性． 例如， ①當(dāng)總體很大時，簡單隨機抽樣給所有個體編號等準(zhǔn)備工作非常費事，甚至難以做到； ②抽中的個體往往很分散，要找到樣本中的個體并實施調(diào)查會遇到很多困難； ③簡單隨機抽樣沒有利用其他輔助信息，估計效率不是很高，等等． 因此，在規(guī)模較大的調(diào)查中，直接采用簡單隨機抽樣的并不多，一般是把簡單隨機抽樣和其他抽樣方法 組合使用． （2）兩種簡單隨機抽樣方法的比較 ①抽簽法的優(yōu)點是簡單易行，缺點是當(dāng)總體的容量非常大時，費時費力，又不方便，如果編號后的號簽攪拌得不均勻，會導(dǎo)致抽樣不公平．隨機數(shù)法的優(yōu)點與抽簽法相同，缺點是當(dāng)總體容量較大時，仍不是很方便，但比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較小的抽樣類型． ②采用隨機數(shù)法的步驟較為簡單，因為這省略了制作號簽的步驟，而且不會因為號簽的不相同造成抽樣 的不公平，這也是在簡單隨機抽樣中大多采用隨機數(shù)法的原因． 經(jīng)典例題 3. 下列抽樣方法是簡單隨機抽樣的是（ ）． A. 從平面直角坐標(biāo)系中抽取 個點作為樣本 B. 可口可樂公司從倉庫的 瓶可樂中一次性抽取 瓶進行質(zhì)量檢查 C. D. 某連隊從 名戰(zhàn)士中，挑選出 名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士參加搶險救災(zāi) 從 個手機中不放回地隨機抽取 個進行質(zhì)量檢驗（假設(shè) 個手機已編好號，對編號隨機抽取） 【備注】【教師指導(dǎo)】 判斷簡單隨機抽樣關(guān)鍵看是否符合以下特點： （1）總體個數(shù)有限；（2）逐個不放回地抽??；（3）每個個體被抽到的可能性相等． 【答案】D 【解析】 選項：平面直角坐標(biāo)系中有無數(shù)個點，這與要求總體個數(shù)有限不相符，故 錯誤； 選項：一次性抽取不符合逐個抽取的特點，故 錯誤； 選項： 名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡單隨機抽樣中的等可能性，故 錯誤． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 鞏固練習(xí) 4. 關(guān)于簡單隨機抽樣，下列說法正確的是（ ） ①它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限；②它是從總體中逐個地進行抽??； ③它是一種不放回抽樣； ④它是一種等可能性抽樣． A. ①②③④ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】①簡單隨機抽樣中被抽取樣本的總體的個數(shù)有限，正確； ②簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，正確； ③簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，正確； ④簡單隨機抽樣是一種等可能抽樣，即每個個體被抽取的可能性相等，正確． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 經(jīng)典例題 5. 下列抽樣試驗中，采用抽簽法較為方便的是 （填序號）． ①從某品牌手機生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的 件手機中抽取 件進行質(zhì)量檢驗； ②從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱 件)產(chǎn)品中抽取 件進行質(zhì)量檢驗； ③從甲乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱 件)產(chǎn)品中抽取 件進行質(zhì)量檢驗； ④從某品牌電腦生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的 件產(chǎn)品中抽取 件進行質(zhì)量檢驗． 【備注】【教師指導(dǎo)】 一個抽樣試驗是否能采用抽簽法，關(guān)鍵看兩個方面：一是制作號簽是否方便；二是號簽是 否容易被攪勻.當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時，可采用抽簽法. 【答案】② 【解析】①中總體容量較大，樣本容量也較大，不適宜采用抽簽法；②中總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法；③中甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品有明顯區(qū)別，不能采用抽簽法；④中總體容量較大，不適宜采用抽簽法． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 6. 假設(shè)要考察某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達標(biāo)，現(xiàn)從 袋牛奶中抽取 袋進行檢驗，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將 袋牛奶按 ， ， ， 進行編號，如果從隨機數(shù)表第 行第 列的數(shù)開始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀取．到達行末后，接著從下一行第一個數(shù)繼續(xù)，則最先檢驗的 袋牛奶的號碼是（ ）．(下面摘取了某隨機數(shù)表第 行至第 行) A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】 求解隨機數(shù)表讀取問題的一般步驟 第一步：認真理解題意和給出的隨機數(shù)表；第二步：根據(jù)要求讀取數(shù)據(jù)并寫出來備用；第三步：選擇滿足條件的數(shù)據(jù)． 【答案】D 【解析】找到第 行第 列的數(shù)開始向右讀， 第一個符合條件的是 ， 第二個數(shù) ，第三個數(shù) ， 第四個數(shù) 大于 要舍去，第五個數(shù) 大于 要舍去，第六個數(shù) 符合條件， 第七個數(shù) ，第八個數(shù) 第九個數(shù) ，第十個數(shù) 大于 要舍去，第十一個數(shù) ，符合條件． 故答案為： ， ， ， ， ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 鞏固練習(xí) 7. 為了合理調(diào)配電子資源，天津市欲了解全市 戶居民的日用電量．若通過簡單隨機抽樣從中抽 取了 戶進行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為 ，則可以推測全市居民用戶日用電量的 平均數(shù)（ ）． A. 一定為 B. 高于 C. 低于 D. 約為 【答案】D 【解析】由簡單隨機抽樣的估計功能知，  為樣本的平均數(shù)，我們只能用它來估計總體的 平均數(shù)，得到的數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確值，總體的平均數(shù)應(yīng)該為 左右． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 8. 某大學(xué)為了支持運動會，從報名的 名大三學(xué)生中選 人組成志愿小組，請用抽簽法和隨機數(shù)表法 設(shè)計抽樣方案． 【答案】抽簽法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號，編號為 ， ， ， ， ； 第二步：將 個號碼分別寫在 張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽； 第三步：將 個號簽放入一個不透明的盒子中，充分?jǐn)噭颍? 第四步：從盒子中逐個不放回地抽取 個號簽，并記錄上面的編號；第五步：所得號碼對應(yīng)的學(xué)生，就是志愿小組的成員． 隨機數(shù)表法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號，編號為 ， ， ， ， ； 第二步：在隨機數(shù)表中任選一數(shù)開始，任選一方向作為讀數(shù)方向； 第三步：凡不在 中的數(shù)或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次記錄下 個得 數(shù)； 第四步：找出號碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成志愿小組． 【解析】抽簽法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號，編號為 ， ， ， ， ； 第二步：將 個號碼分別寫在 張外形完全相同的紙條上，并揉成團，制成號簽；第三步：將 個號簽放入一個不透明的盒子中，充分?jǐn)噭颍?第四步：從盒子中逐個不放回地抽取 個號簽，并記錄上面的編號；第五步：所得號碼對應(yīng)的學(xué)生，就是志愿小組的成員． 隨機數(shù)表法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號，編號為 ， ， ， ， ； 第二步：在隨機數(shù)表中任選一數(shù)開始，任選一方向作為讀數(shù)方向； 第三步：凡不在 中的數(shù)或已讀過的數(shù)，都跳過去不作記錄，依次記錄下 個得 數(shù)； 第四步：找出號碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成志愿小組． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 3. 分層抽樣 知識精講 （1）分層隨機抽樣的概念 一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層，在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配． （2）分層隨機抽樣的步驟 分層 定抽 樣比 根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不交 叉的層 根據(jù)總體容量 和樣本容量 計算抽樣比 定各層抽 確定第 層應(yīng)該抽取的個體數(shù) （ 為第 層所 樣的數(shù)目 抽樣 個體 包含的個體數(shù)），使得各層所抽取的個體數(shù)之和為 按上述步驟中確定的數(shù)目在各層中隨機地 抽取個體，合在一起得到容量為 的樣本 （3）分層隨機抽樣的估計功能 ①在分層隨機抽樣中，如果層數(shù)分為 層，第 層和第 層包含的個體數(shù)分別為 和 ，抽取的樣本量分別為 和 ．我們用 ， ，…， ，表示第 層各個個體的變量值，用 ， ，…， 表示第 層樣本的各個個體的變量值；用 ， ，…， 表示第 層各個個體的變量值，用 ， ，…， 表示第 層樣本的各個個體的變量值， 則第 層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ， ． 第 層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ， ． 總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ． 由于用第 層的樣本平均數(shù) 可以估計第 層的總體平均數(shù) ，用第 層的樣本平均數(shù) 可以估計第 層的總 體平均數(shù) ，因此可以用 來估計總體平均數(shù) . ②在比例分配的分層隨機抽樣中， ， 可得：  ． 因此，在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù) 估計總體平均數(shù) ． 知識點睛 分層隨機抽樣中有關(guān)抽樣比的計算方法 對于分層隨機抽樣中的比值問題，常利用以下關(guān)系式巧解： ① 樣體容量 總體容量 該層抽取的個體數(shù) 該層的個體數(shù)  ， ②總體中某兩層的個體數(shù)之比 樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比． 對于分層隨機抽樣中求某層個體數(shù)，或某層要抽取的樣本個體數(shù)，都可以通過上面兩個等量關(guān)系求解． 經(jīng)典例題 9. 某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組．在 參加活動的職工中，青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．登山組的職工占參加活動總 人數(shù)的 ，且該組中青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．為了了解各組不同的年齡層次的 職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為 的樣本． （ 1 ）試求游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例． （ 2 ）試求游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)． （ 3 ）如果游泳組中抽取的樣本經(jīng)調(diào)查得知青年人的平均滿意度為 ，中年人的平均滿意度為 ，老年人的平均滿意度為 ，試估計游泳組中的職工的平均滿意度． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題考查分層抽樣的實際應(yīng)用. 注意：求解分層隨機抽樣總體平均數(shù)估計問題的一般步驟第一步：根據(jù)總體數(shù)據(jù)的特點確定分層數(shù)； 第二步：根據(jù)各層總體容量的大小確定抽取比例；第三步：利用簡單隨機抽樣的方法分層抽取樣本；第四步：根據(jù)公式求出樣本的平均數(shù)； 第五步：用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)． 【答案】（ 1 ） ， ， ． （ 2 ）（ 3 ） ， ， ． ． 【解析】（ 1 ）設(shè)登山組人數(shù)為 ，游泳組中，青年人、中年人、老年人占的比例分別為 ， ， ， 則有 ， ， 解得 ， ． 故 ． 即游泳組中，青年人、中年人、老年人所占的比例分別為 （ 2 ）游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為 ； 抽取的中年人人數(shù)為 ； 抽取的老年人人數(shù)為 ．  ，  ，  ． （ 3 ）游泳組中，樣本的平均滿意度為 ， 由此可以估計游泳組中的職工對活動的平均滿意度為 ． 【標(biāo)注】【知識點】分層隨機抽樣；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特 征問題 鞏固練習(xí) 10. 某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生的身高情況，從高二年級的 名男生和 名女生中，根據(jù)性別采用按比例分配 的分層抽樣方法，隨機抽取容量為 的樣本．樣本中男，女生的平均身高分別是 ， ，該校高二年級學(xué)生的平均身高估計為 ．（精確到 ） 【答案】 【解析】高二年級男女比例為  ， ∴平均身高為： ． 故該校高二學(xué)生平均身高為  ． 【標(biāo)注】【知識點】分層隨機抽樣；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位數(shù)、 平均數(shù) 11. 《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢二百一十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問乙出幾何？”其意為：“今有甲帶了 錢，乙?guī)Я? 錢，丙帶了 錢，三人一起出關(guān)，共需要交關(guān)稅 錢，依照錢的多少按比例出錢”，則乙應(yīng)出（所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）（ ）． A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢 【答案】C 【解析】根據(jù)分層抽樣原理，抽樣比例為：  ， 所以乙應(yīng)交關(guān)稅為 （錢 ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識點】分層隨機抽樣 4. 獲取數(shù)據(jù)的途徑 知識精講 獲取數(shù)據(jù)的途徑有： ①通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；②通過試驗獲取數(shù)據(jù)；③通過觀察獲取數(shù)據(jù)；④通過查詢獲取數(shù)據(jù). 【備注】【教師指導(dǎo)】 1.通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù) （1）一般通過抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)． （2）針對不同問題的特點，為了有效收集所需數(shù)據(jù)，專家發(fā)明了各種不同的抽樣方法．除了我們已經(jīng)學(xué)過的簡單隨機抽樣和分層隨機抽樣，還有系統(tǒng)抽樣、整群抽樣、不等概率抽樣、自適應(yīng)抽樣、兩階段抽樣等很多其他的方法．在實際應(yīng)用中，關(guān)鍵在于是否能充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過程中的人為錯誤． 2.通過試驗獲取數(shù)據(jù) （1）試驗是獲取樣本觀測數(shù)據(jù)的另一種重要途徑．例如，要判斷研制的新藥是否有效、培育的小麥新品種是否具有更高的產(chǎn)量等情況，沒有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢，就需要通過對比試驗的方法去獲取樣本觀測數(shù)據(jù)．又如特種鋼、輪胎的配方和產(chǎn)品質(zhì)量等，也需要通過試驗獲取樣本觀測數(shù)據(jù)． （2）通過試驗獲取數(shù)據(jù)時，我們需要嚴(yán)格控制試驗環(huán)境，通過精心的設(shè)計安排試驗，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量，為獲得好的分析結(jié)果奠定基礎(chǔ)．在統(tǒng)計學(xué)中，這種安排試驗的學(xué)問叫作“試驗設(shè)計”，感興趣的同學(xué)可以查閱試驗設(shè)計教科書． 3.通過觀察獲取數(shù)據(jù) （1）在現(xiàn)實生活中，我們感興趣的很多自然現(xiàn)象都不能被人類所控制，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等．自然現(xiàn)象會隨著時間的變化而變化，不能用我們已經(jīng)學(xué)過的有限總體來刻畫，也就不能用抽樣的方法獲取觀測數(shù)據(jù)；另一方面，由于自然現(xiàn)象不能被人為控制，也不能通過試驗獲取觀測數(shù)據(jù)．研究這類現(xiàn)象，只能通過長久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)． （2）對于各個不同的行業(yè)，往往需要專業(yè)測量設(shè)備獲取觀測數(shù)據(jù)．隨著科技水平的提高，專業(yè)測量設(shè)備的自動化程度越來越高，通過觀測獲取和存儲數(shù)據(jù)的成本越來越低，這成為大數(shù)據(jù)產(chǎn)生的根源．一般地，通過觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，其中蘊含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，這些信息十分寶貴，統(tǒng)計學(xué)理論和方法是挖掘這些信息的強有力的工具之一． 4.通過查詢獲取數(shù)據(jù) （1）我們感興趣的問題，可能有眾多專家研究過，他們在研究中所收集的樣本觀測數(shù)據(jù)可能存儲于學(xué)術(shù)論文、專著新聞稿公報或互聯(lián)網(wǎng)上．這些數(shù)據(jù)是寶貴的財富，我們可以收集前人的勞動成果并加以利用，從而減少收集數(shù)據(jù)的成本．我們往往把這樣獲得的數(shù)據(jù)叫作二手?jǐn)?shù)據(jù)．國家統(tǒng)計局是我國最主要的統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集和發(fā)布的部門，調(diào)查統(tǒng)計的數(shù)據(jù)涉及經(jīng)濟、社會、民生的方方面面．國家統(tǒng)計局的統(tǒng)計數(shù)據(jù)通過多種形式進行公布，例如定期發(fā)布新聞稿、舉辦新聞發(fā)布會、發(fā)布統(tǒng)計公報、出版各類統(tǒng)計資料等．統(tǒng)計公報有年度統(tǒng)計公報、經(jīng)濟普查公報、人口普查公報農(nóng)業(yè)普查公報等；統(tǒng)計資料出版物有《中國統(tǒng)計摘要》以《中國統(tǒng)計年鑒》為代表的統(tǒng)計年鑒系列等． （2）隨著信息技術(shù)的發(fā)展，通過互聯(lián)網(wǎng)獲取數(shù)據(jù)越來越成為獲取二手?jǐn)?shù)據(jù)的主要方式．例如，可以從國家統(tǒng)計局的官方網(wǎng)站查詢得到國家統(tǒng)計局公布的各種統(tǒng)計數(shù)據(jù)．在網(wǎng)絡(luò)上，也有專門提供數(shù)據(jù)服務(wù)的公司，它們提供政府部門允許公開的各類數(shù)據(jù)． 1,2,3屬于直接獲取數(shù)據(jù)的途徑，4屬于間接獲取數(shù)據(jù)的途徑. 5. 總體取值規(guī)律的估計 知識精講 （一）頻率分布直方圖 （1）頻數(shù)與頻率 將一批數(shù)據(jù)按要求分成若干組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫作該組的頻數(shù)．每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個數(shù)的商 叫作該組的頻率，表示該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小． （2）樣本的頻率分布及頻率分布表 根據(jù)隨機抽取的樣本的大小，分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫作樣本的頻率分布．為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況，通常將樣本容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，這張表叫作樣本頻率分布表． 注意： 頻率分布表給出了各個區(qū)間的頻數(shù)和頻率，由此可以估計這組數(shù)據(jù)的分布情況，樣本頻率分布是總體分 布的一種近似． （3）繪制頻率分布表的基本步驟 第一步，求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）． 第二步，確定組距與組數(shù)． 組距是指每個小組的兩個端點之間的距離．極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系： ①若 ②若 極差組距極差 組距 極差 為整數(shù)，則 組數(shù)； 組距 極差 不為整數(shù)，則 組距  組數(shù)．（ 表示不大于 的最大整數(shù)）． 第三步，分組，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間． 第四步，統(tǒng)計各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，計算頻率，填入表格中，完成頻率分布表． （4）頻率分布直方圖 ①為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表現(xiàn)出來，常畫出頻率分布直方圖．畫圖時，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示各組頻率與組距的比值，以各個組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫出矩形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖． ②繪制頻率分布直方圖的基本步驟 第一步，根據(jù)頻率分布表確定組距與組數(shù)． 第二步，根據(jù)頻率與組距確定矩形的高，高 頻率組距  ． 第三步，依據(jù)頻率分布表以及確定的矩形的大小繪制頻率分布直方圖． （二）其他常見統(tǒng)計圖 （1）條形統(tǒng)計圖 ①條形統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直條 按照一定的順序排列起來． ②條形統(tǒng)計圖是用其高度來表示取各值的頻數(shù)，如果改變縱軸的意義，它還可以表示取各值的頻率（如 圖所示）． 頻數(shù) 頻數(shù)條形統(tǒng)計圖 頻數(shù) 頻率條形統(tǒng)計圖 O 正面向上 反面向上 試驗結(jié)果 O 正面向上 反面向上 試驗結(jié)果 ③條形統(tǒng)計圖的特點 優(yōu)點：從條形統(tǒng)計圖中能夠很直觀地看出各組中數(shù)據(jù)的多少，每一個條形都能體現(xiàn)該組中的具體數(shù)據(jù)， 也易比較數(shù)據(jù)間的差別． 缺點：不能顯示出部分與整體的關(guān)系． 【備注】【教師指導(dǎo)】 在條形統(tǒng)計圖中縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，也可表示頻率．頻數(shù)是指對一組數(shù)據(jù)進行分組和整理 后，每一組中數(shù)據(jù)的個數(shù)．頻率是頻數(shù)與樣本容量的百分比． （2）扇形統(tǒng)計圖 ①扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)1，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比的多少．通過扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系． ②扇形統(tǒng)計圖的特點： a.圓代表總體． b.扇形代表總體中的不同部分． c.扇形的大小反映部分占總體的百分比的大?。? d.各個扇形所占的百分比之和為1．但是，在不同的統(tǒng)計圖中，不能簡單地根據(jù)百分比的大小來比較部分量的大小． 【備注】【教師指導(dǎo)】 （1）扇形統(tǒng)計圖與圓的半徑及圓心角的關(guān)系：①扇形統(tǒng)計圖與所取圓的半徑無關(guān)． ②畫扇形統(tǒng)計圖時，要算準(zhǔn)關(guān)鍵量——圓心角的度數(shù)． （2）扇形統(tǒng)計圖可以很清楚地表示各個部分?jǐn)?shù)量同總體數(shù)量之間的關(guān)系，特別適合表示總 體的各個部分所占比例的問題，但不適用于總體分成的部分較多的情況． （3）扇形統(tǒng)計圖會出現(xiàn)一些原始數(shù)據(jù)丟失的情況． （3）折線統(tǒng)計圖 ①折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連 接起來，以折線的上升或下降來表示統(tǒng)計數(shù)量增減變化的情況．折線統(tǒng)計圖不但可以表示出數(shù)量的多 少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況（如圖所示）． 百分比 50% 40% 30% 20% 10% O 玩游戲 聊 天 看新聞 學(xué) 習(xí) 上網(wǎng)項目 ②與條形統(tǒng)計圖相比，折線統(tǒng)計圖不僅可以表示數(shù)量的多少，而且可以反映同一事物在不同時間里的發(fā) 展變化情況．折線統(tǒng)計圖也有單式、復(fù)式兩種． ③折線統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖很相似，制圖步驟與條形統(tǒng)計圖也基本相同，只是不畫直條，而是按照數(shù)據(jù)的大小描出各點，再用線段順次連接起來．它不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠從折線的起伏中清楚直觀地表示出數(shù)量增減變化的情況． 經(jīng)典例題 12. 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好．現(xiàn)用一種新配方做試驗，生 產(chǎn)了 件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果： 質(zhì)量指標(biāo)值 頻數(shù) （ 1 ）將答題卡上列出的這些數(shù)據(jù)的頻率分布表填寫完整，并補齊頻率分布直方圖． 質(zhì)量指標(biāo)值分組 頻數(shù) 頻率 合計 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 2 ）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查頻率分布直方表和頻率分布直方圖的綜合. 【答案】（ 1 ） 質(zhì)量指標(biāo)值分組 頻數(shù) 頻率 （ 2 ） 合計 畫圖見解析． ． 【解析】（ 1 ）頻率分布表和直方圖如下： 質(zhì)量指標(biāo)值分組  頻數(shù)  頻率 合計 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 2 ）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 ． 所以此產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為 ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分 布直方圖 鞏固練習(xí) 13. 某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測試成績分成 組： 加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已 知高一年級共有學(xué)生 名，據(jù)此估計，該模塊測試成績不少于 分的學(xué)生人數(shù)為（ ）． 頻率 組距 分?jǐn)?shù) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根據(jù)頻率分布直方圖， 成績不低于 （分）的頻率為  ． 由于該校高一年級共有學(xué)生 人，利用樣本估計總體的思想， 可估計該校高一年級模塊測試成績不低于 （分）的人數(shù)為： 人． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題 14. 某次有 人參加數(shù)學(xué)摸底考試，其成績的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定 分及以上為優(yōu)秀． 頻率 組距 分?jǐn)?shù) （ 1 ）下表是這次考試成績的頻數(shù)分布表，求正整數(shù) ， 的值． 區(qū)間 人數(shù) （ 2 ）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這 人中抽取 人的成績進行分析，求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生 人數(shù)． 【答案】（ 1 ） ； ．（ 2 ） 人． 【解析】（ 1 ）由題意可得：  ，  ． （ 2 ）設(shè)其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 ，則 ，解得 ． 因此其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 ． 【標(biāo)注】【知識點】頻率與概率問題；分層隨機抽樣 經(jīng)典例題 15. 根據(jù)給出所示的三幅統(tǒng)計圖，判斷正確的選項是（ ）． 世界人口變化情況統(tǒng)計圖  年世界人口分布預(yù)測圖 人口 億 歐洲 亞洲 非洲 北美洲 年份 南美洲及大洋洲 人口 億 年世界人口預(yù)測圖 A. 歐洲 非洲 北美洲 南美洲及 亞洲 大洋洲 ①從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況 B. C. ② ③ 年非洲人口將達到大約 億 年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多 D. ④從 年到 年各洲中北美洲人口增長速度最慢 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要對條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合分析，注意本題為多選題. 【答案】AC 【解析】A 選項：從折線統(tǒng)計圖能看出世界人口的變化情況，故 正確； B 選項：從條形統(tǒng)計圖中可得到： 年非洲人口大約將達到 億，故 錯誤； C 選項：從扇形統(tǒng)計圖表中能夠明顯的得到結(jié)論： 年亞洲人口比其他各洲人口的總 和還要多，故 正確； D 選項：由上述三幅統(tǒng)計圖并不能得出從  年到  年中哪個洲人口增長速度最慢， 故 錯誤； 故選 A C . 【標(biāo)注】【知識點】扇形統(tǒng)計圖；頻率分布直方圖；折線圖、總體密度曲線 鞏固練習(xí) 16. 為了解疫情防控延遲開學(xué)期間全區(qū)中小學(xué)線上教學(xué)的主要開展形式，某課題組面向各學(xué)校開展了一 次隨機調(diào)查，并繪制得到如圖統(tǒng)計圖，則采用“直播 錄播”方式進行線上教學(xué)的學(xué)校占比約為（）． 學(xué)校數(shù) 其他 直播 直播 錄播 錄播 錄播 直播 直播 錄播 其他 線上教學(xué)方式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖得調(diào)查學(xué)?？倲?shù)為：  ， ∴直播學(xué)校占比為： ， ∴采用“直播 錄播”方式進行線上教學(xué)的學(xué)校占比約為： ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識點】扇形統(tǒng)計圖 6. 總體百分?jǐn)?shù)的估計 知識精講 （1）第 百分位數(shù)的特點 一般地，一組數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有 %的數(shù)據(jù)小于或等于這個 值，且至少有（ ）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值． （2）四分位數(shù) 常用的分位數(shù)有第 百分位數(shù)，第 百分位數(shù)和第 百分位數(shù)．這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第 百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第 百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等． （3）計算一組 個數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)的一般步驟第1步：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)； 第2步：計算 ； 第3步：若 不是整數(shù)，而大于 的比鄰整數(shù)為 ，則第 百分位數(shù)為第 項數(shù)據(jù)；若 是整數(shù)，則第 百分位 數(shù)為第i項與第（ ）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 經(jīng)典例題 17. 樣本容量為 的一組樣本數(shù)據(jù)依次為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，該組數(shù)據(jù)的第 百分位 數(shù)是 ，第 百分位數(shù)是 ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查計算一組 個數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)的一般步驟：第1步：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)； 第2步：計算 ； 第3步：若 不是整數(shù)，而大于 的比鄰整數(shù)為 ，則第 百分位數(shù)為第 項數(shù)據(jù)；若 是整數(shù)， 則第 百分位數(shù)為第i項與第（ ）項數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【答案】 ; 【解析】將這 個數(shù)從小到大排列， 即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，則第 百分位數(shù)為第 個數(shù)和第 個數(shù)的平均數(shù)， 即 ， 由 ，則第 個數(shù)為這組數(shù)的 百分位數(shù)， 即 百分位數(shù)為 ． 故答案為： ； ． 【標(biāo)注】【知識點】百分位數(shù) 鞏固練習(xí) 18.下列一組數(shù)據(jù) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 這組數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù) 是 ． 【答案】 【解析】將上述數(shù)據(jù)從小到大排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 個數(shù)， ，第 個數(shù)為 ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識點】百分位數(shù) 19. 以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的 人的成績：（單位：分） 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，則這 人成績的第 百分位數(shù)是 ． 【答案】 【解析】將這 人的成績從小到大排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；百分位數(shù) 7. 總體集中趨勢的估計 知識精講 （1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義 ①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時）叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ③平均數(shù)：如果有 個數(shù)據(jù)用“ ”表示，即 ， ， ， ． ，那么 就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 【備注】【教師指導(dǎo)】 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的異同 ①平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)“集中趨勢”的統(tǒng)計量，平均數(shù)是最重要的量． ②平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每一個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變化都會相應(yīng)地引起平均數(shù)的變化． ③中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動對中位數(shù)沒有影響．中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給的數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢． ④眾數(shù)考察各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不 少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題． ⑤實際問題中，平均數(shù)的計算要比中位數(shù)和眾數(shù)的計算難，而求得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾 數(shù)都應(yīng)帶上單位． 知識點睛 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點 名稱 優(yōu)點 缺點 眾數(shù) ①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中 點； ②容易計算 ①它只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無法客觀地反映總體特征 中位數(shù) ①不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)，即排 序靠前或靠后的數(shù)據(jù)的影響； ②容易計算，便于利用中間數(shù)據(jù) 的信息 對極端值不敏感 平均數(shù) 反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體 的信息 任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大 若樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理，則樣本的數(shù)字特征與總體對應(yīng)的值相差不會太大，可以用樣本的 特征反映總體的特征． 經(jīng)典例題 20. 為了解觀眾對某綜藝節(jié)目的評價情況，欄目組隨機抽取了 名觀眾進行評分調(diào)查，并統(tǒng)計得到如 圖所示的頻率分布直方圖，以下說法錯誤的是（ ）． 頻率 組距 評分 A. B. C. D. 參與評分的觀眾評分在 觀眾評分的眾數(shù)約為 分 觀眾評分的平均分約為 分觀眾評分的中位數(shù)約為 分 的有 人 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，尤其需要注意D選項計算中位數(shù)的方法. 【答案】C 【解析】A 選項：觀眾評分在 的頻率為 ， 則在 的觀眾人數(shù)有 人．故 正確； B 選項：根據(jù)頻率 頻率 總數(shù)  可知， 頻數(shù)越大，頻率越大， 在頻率分布直方圖中，頻數(shù)越大，則小長方形越高， 所以眾數(shù)在 組中，眾數(shù)約為 ．故 正確； C 選項：根據(jù)題意可知， 平均數(shù) ， 所以平均分約為 ．故 錯誤； D 選項：觀眾評分的中位數(shù)為頻率的  ， 則 的頻率為 ， ， 則 組的頻率為 時對應(yīng)的分?jǐn)?shù)約為 ， 所以觀眾評分的中位數(shù)為 分． 做 正確．故選 C . 【標(biāo)注】【知識點】頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位 數(shù)、平均數(shù) 21. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻 率分布直方圖． 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 1 ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 （ 2 ）估計這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)． （ 3 ）估計這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)． 內(nèi)的頻率． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征：用樣本的中位數(shù)來估計總體的中位 數(shù)，用樣本的平均數(shù)來估計總體的平均數(shù). 【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）由頻率分布直方圖可知質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間  ，  ，  ， ， ， 的頻率分別為： ,0.12,0.19,0.30,0.20,0.05． ∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 的頻率為： ． （ 2 ）∵ ， ， ∴ ， ∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為  ． （ 3 ）以每個區(qū)間的平均數(shù)作為計算依據(jù)，∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為： ． 故這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為 ． 【標(biāo)注】【知識點】頻率與概率問題；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位 數(shù)、平均數(shù) 鞏固練習(xí) 22. 為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某中學(xué)隨機抽取 名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，得分（ 分制） 的頻數(shù)分布表如下： 得分 頻數(shù) 設(shè)得分的中位數(shù) ，眾數(shù) ，平均數(shù) ，下列關(guān)系正確的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可知眾數(shù)  ， 中位數(shù) ， 平均數(shù) ， ∴比較大小：  ， 故 ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題 8. 總體離散程度的估計 知識精講 （1）平均距離 假設(shè)一組數(shù)據(jù)是 （2）標(biāo)準(zhǔn)差 ， ， ， ， ，那么這組數(shù)據(jù) 表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 到 的距離分別是， ， ， 到 的“平均距離”是 ． ， 標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，由于上式含有絕對值，運算不太方便，因此，通常改用如下公 式來計算標(biāo)準(zhǔn)差： ． 顯然，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，所以標(biāo)準(zhǔn)差可以刻畫數(shù) 據(jù)的穩(wěn)定程度． （3）方差 從數(shù)學(xué)的角度來考慮，有時用 來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大 小，并把它叫作這組數(shù)據(jù)的方差． 【備注】【教師指導(dǎo)】 注意： ①標(biāo)準(zhǔn)差，方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散 程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。? ②標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍： 據(jù)沒有波動．  ， ．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為 時，樣本數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù) ③因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo) 準(zhǔn)差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程上是一樣的，但在解決實際問題時，一般采用標(biāo)準(zhǔn)差． （4）分層隨機抽樣的方差①兩層構(gòu)成樣本的方差 設(shè)樣本 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，權(quán)重為ω ，樣本 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，權(quán)重為ω ， 則樣本 ， ， ， ， ， ， ， 樣本的方差可以記為： ω ② 層構(gòu)成樣本的方差 的平均數(shù)為 ω  ． ， 設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為 ，方差分別為 ，相應(yīng)的權(quán)重分別為 ω ω ， ω ，則這個樣本的方差為： ω ，其中 為樣本平均數(shù)． 注：權(quán)重指某一因素或指標(biāo)相對于某一事物的重要程度． 經(jīng)典例題 23. 若 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，則 ， ， ， 的平均數(shù)和方差分 別為（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題根據(jù)如下性質(zhì)計算平均數(shù)和方差，既簡便計算又能提高答案的正確率.所以要求學(xué)生熟記以下三條性質(zhì)： ①若 ， ， ， ， 的平均數(shù)是 ，那么 ， ， ， 的平均數(shù)是 ． ②數(shù)據(jù) ③若  ， ， ， ， ， ， 與數(shù)據(jù) ， 的方差為 ，那么  ，  ， ， ， ， 的方差相等． 的方差為 ． 【答案】D 【解析】∵ ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， 的平均數(shù)為： ， ∴ ， ， ， 的方差為： ， 綜上所述，  ，  ， ，  的平均數(shù)和方差分別為  ， ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 24. 某籃球教練對甲乙兩位運動員在近五場比賽中的得分情況統(tǒng)計如下圖所示： 分?jǐn)?shù) 甲 ：乙 ： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次  次數(shù) 根據(jù)圖表給出如下結(jié)論： （ ）甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差?。?（ ）甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差大． （ ）甲的成績在不斷提高，而乙的成績無明顯提高． （ ）甲的成績較穩(wěn)定，乙的成績基本呈上升狀態(tài)．以上結(jié)論正確的是（ ）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小. 【答案】C 【解析】由選項知甲乙的平均數(shù)相同（實際：甲得分分別為 ， ， ， ， ，乙得分分別為， ， ， ， ，經(jīng)計算甲乙的平均數(shù)均為 ），圖中明顯實線波動較大，方差 大．從折線圖看甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷 提高，而乙的成績無明顯提高． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù)；折線圖、總體密度曲線 鞏固練習(xí) 25. 下列說法中正確的個數(shù)是（ ）． ①數(shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定； ②數(shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；③數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；④數(shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定． A. B. C. D. 【答案】C 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 26. 甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 次，兩人成績的統(tǒng)計表如下表所示，則 甲 乙 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 有以下四種說法： ①甲成績的平均數(shù)小于乙成績的平均數(shù)；②甲成績的中位數(shù)等于乙成績的中位數(shù)；③甲成績的方差小于乙成績的方差； ④甲成績的極差小于乙成績的極差． 其中正確命題的個數(shù)是（ ）． （注：  ，其中 為數(shù)據(jù) ， ， ， 的平均數(shù)） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵  甲  ，  乙  ， 故 甲 乙，①錯． 由表格可知，甲的中位數(shù)為 ，乙的中位數(shù)為 ，故②錯． 甲 ， 乙 ， ∴ 甲 乙，故③正確． 由題可知，甲的極差為 ， 乙的極差為 ，故④錯誤． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 經(jīng)典例題 27. 一次數(shù)學(xué)知識競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦拢? 分?jǐn)?shù) 人數(shù) 甲組 乙組 經(jīng)計算，兩組的平均分都是 分，請根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這次競賽中哪個組更優(yōu)秀，并說明理由． 【備注】【教師指導(dǎo)】 運用數(shù)字特征進行評價時，應(yīng)從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等多個角度對數(shù)據(jù)進行分 析，全面考慮各數(shù)字的優(yōu)缺點，從不同層面或兩兩綜合進行評價，才能得到較為可靠的結(jié) 論. 【答案】從整體來看，甲組成績比乙組好，證明見解析． 【解析】從不同的角度分析如下： ①甲組成績的眾數(shù)為 分，乙組成績的眾數(shù)為 分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲組成績好些． ② 甲 ． 同理 因為  乙 甲 ． 乙，所以甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定． ③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是 分，其中甲組成績在 分以上（含 分）的有 人，乙組成績在 分以上（含 分）的有 人，從這一角度看，甲組成績總體較 好． ④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于 分的有 人，乙組成績大于或等于 分的有 人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多．同時，乙組滿分比甲組多 人，從這一角度看， 乙組成績較好． 【標(biāo)注】【知識點】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 28. 某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了 個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季 度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率 的頻數(shù)分布表． 的分組 企業(yè)數(shù) （ 1 ）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例． （ 2 ）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為 代表）．(精確到 ) 附 : ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 第（1）問根據(jù)頻數(shù)分布表計算即可； 第（2）問主要考查用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征：計算樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差. 【答案】（ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． 【解析】（ 1 ）根據(jù)產(chǎn)值增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的 個企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于 的企 業(yè)頻率為 ． 產(chǎn)值負增長的企業(yè)頻率為 ． 用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于  的企業(yè)比例為 ，產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例為 ． （ 2 ） ， , ． 所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值分別為  ，  ． 【標(biāo)注】【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；極差、 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 鞏固練習(xí) 29. 我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過 抽樣，獲得了某年 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 ， ， ， 分成 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． 頻率 組距 月均用水量 噸 （ 1 ）求直方圖中的 值． （ 2 ）設(shè)該市有 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù)．說明理由． （ 3 ）估計居民月均用水量的中位數(shù)． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ） ． ． 【解析】（ 1 ）∵ ， 整理可得： ， ∴解得： ． （ 2 ）估計全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù)為 萬， 理由如下： 由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于 噸的頻率為 ， 又樣本容量為 萬， 則樣本中月均用水量不低于 噸的戶數(shù)為（ 3 ）根據(jù)頻率分布直方圖得： 萬． ， ， ∴中位數(shù)應(yīng)在 組內(nèi)，設(shè)出未知數(shù) ， 令 ， 解得 ， ∴中位數(shù)是 ． 【標(biāo)注】【知識點】用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征問題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分 布直方圖 三、 思維導(dǎo)圖 你學(xué)會了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！ 【備注】 四、 出門測 30. ①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有 人的成績在 分以上， 人的成績在 分， 人的成績低于 分，現(xiàn)從中抽取 人了解有關(guān)情況；②運動會的工作人員為參加 接力賽的 支隊伍安排跑 道；針對這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）． A. 分層隨機抽樣，簡單隨機抽樣 B. 簡單隨機抽樣，簡單隨機抽樣 C. 簡單隨機抽樣，分層隨機抽樣 D. 分層隨機抽樣，分層隨機抽樣 【答案】A 【解析】①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有 人的成績在 分以上， 人的成績在 分， 人的 成績低于 分，現(xiàn)從中抽取 人了解有關(guān)情況，此項抽查的總體數(shù)目較多，而且差異很大，符合分層抽樣的適用范圍； ②運動會的工作人員為參加 接力賽的 支隊伍安排跑道，此項抽查的總體個數(shù)不 多，而且差異不大，符合簡單隨機抽樣的適用范圍，所以 選項正確． 【標(biāo)注】【知識點】分層隨機抽樣 31. 為了檢驗?zāi)硰S生產(chǎn)的取暖器是否合格，先從 臺取暖器中取 臺進行檢驗，用隨機數(shù)表抽取樣 本，將 臺取暖器編號為 ， ， ， ．下圖提供了隨機數(shù)表第 行至第 行的數(shù)據(jù)： 若從表中第 行第 列開始向右依次讀取 個數(shù)據(jù)，則抽出第 臺取暖器的編號為（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】找到第 行第 列開始向右讀，第一個符合條件的數(shù)是 ，第二個符合條件的數(shù)是 ，第三個符合條件的數(shù)是 ，第四個符合條件的數(shù)是 ． 【標(biāo)注】【知識點】簡單隨機抽樣 32. 校學(xué)生會調(diào)查有關(guān)本學(xué)期學(xué)生活動計劃的意見，打算在全校范圍內(nèi)抽取部分同學(xué)作為樣本，該校有 高一學(xué)生 人，高二學(xué)生 人，高三學(xué)生 人，若利用分層抽樣，在高一學(xué)生中抽取 人， 則應(yīng)在高二學(xué)生中抽?。?）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】B 【解析】設(shè)在高二抽取 人，由  ，可知  ． 【標(biāo)注】【知識點】分層隨機抽樣 33. 某班同學(xué)進行社會實踐，對 歲的人群隨機抽取 人進行了生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào) 查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖如下，則圖表中的 ， 的值分別為（ ）． 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組第二組第三組第四組第五組第六組 頻率 組距 年齡 歲 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】∵由圖可知， 第一組人數(shù)為  人， 且第 組的頻率為 ， ∴總?cè)藬?shù) ， 又第二組的頻率為 ， ∴第二組共有 人， ∴ ， 又∵第四組的頻率為  ， ∴第四組有 人， ∴ ， 故 ， ， 故選 項． 【標(biāo)注】【知識點】頻率分布直方圖；頻率與概率問題 34. 甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差見下表： 名稱 甲 乙 丙 丁 平均數(shù) 方差 則參加奧運會的最佳人選應(yīng)為（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績較高且較穩(wěn)定． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識點】平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較 39

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