10.1.4　概率的基本性質(zhì) 甲、乙兩人下棋，甲不輸?shù)母怕适?.6，兩人下成平局的概率是0.3． 問題：甲獲勝的概率是多少？ 知識點　概率的基本性質(zhì) 性質(zhì)1　對任意的事件A，都有P(A)≥0． 性質(zhì)2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0． 性質(zhì)3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性質(zhì)4　如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性質(zhì)5　如果A?B，那么P(A) ≤P(B)． 性質(zhì)6　設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． (1)設(shè)事件A發(fā)生的概率為P(A)，事件B發(fā)生的概率為P(B)，那么事件A∪B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？ (2)從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參加市運動會服務(wù)工作，記 “其中至少有3名女同學(xué)”為事件A，那么事件A的對立事件eq \x\to(A)是什么？ [提示]　(1)不一定．當(dāng)事件A與B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；當(dāng)事件A與B不互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． (2)事件A的對立事件eq \x\to(A)是“其中至多有2名女同學(xué)”． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)若A與B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1． (　　) (2)若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與B為對立事件． (　　) (3)某班統(tǒng)計同學(xué)們的數(shù)學(xué)測試成績，事件“所有同學(xué)的成績都在60分以上”的對立事件為“所有同學(xué)的成績都在60分以下”． (　　) [答案]　(1)×　 (2)×　 (3)× 2．甲、乙兩名乒乓球運動員在一場比賽中甲獲勝的概率是0.2，若不出現(xiàn)平局，那么乙獲勝的概率為(　　) A．0.2　　　　B．0.8　　　　C．0.4　　　　D．0.1 B　[乙獲勝的概率為1－0.2＝0.8．] 3．中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為eq \f(3,7)，乙奪得冠軍的概率為eq \f(1,4)，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為________． eq \f(19,28)　[由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”，但這兩個事件不可能同時發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算，即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq \f(3,7)＋eq \f(1,4)＝eq \f(19,28)．] 4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則P(A∩B)＝________． 0.3　[因為P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)， 所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3．] 類型1　互斥事件、對立事件的概率公式 及簡單應(yīng)用 【例1】　備戰(zhàn)奧運會射擊隊的某一選手射擊一次，其命中環(huán)數(shù)的概率如下表： 求該選手射擊一次， (1)命中9環(huán)或10環(huán)的概率； (2)至少命中8環(huán)的概率； (3)命中不足8環(huán)的概率． [解]　記“射擊一次，命中k環(huán)”為事件Ak(k＝7,8,9,10)． (1)因為A9與A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60． (2)記“至少命中8環(huán)”為事件B，則B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10兩兩互斥， 所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78． (3)記“命中不足8環(huán)”為事件C．則事件C與事件B是對立事件． 所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22． 互斥事件、對立事件的概率公式的應(yīng)用 (1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個非常重要的公式，運用該公式解題時，首先要分清事件間是否互斥，同時要學(xué)會把一個事件分拆為幾個互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出結(jié)果． (2)當(dāng)直接計算符合條件的事件個數(shù)比較繁瑣時，可間接地先計算出其對立事件的個數(shù)，求得對立事件的概率，然后利用對立事件的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事件的概率． eq \o([跟進訓(xùn)練]) 1．在數(shù)學(xué)考試中，小王的成績在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07．求： (1)小王在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上(含80分)成績的概率； (2)小王數(shù)學(xué)考試及格的概率(60分以上為合格，包含60分)． [解]　設(shè)小王的成績在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分別為事件A，B，C，且A，B，C兩兩互斥． (1)設(shè)小王的成績在80分以上(含80分)為事件D，則D＝A＋B， 所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69． (2)設(shè)小王數(shù)學(xué)考試及格為事件E，由于事件E與事件C為對立事件， 所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93． 類型2　互斥事件、對立事件的概率公式的綜合應(yīng)用 【例2】　有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個席位上隨便就座時， (1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求這四人恰好都沒坐在自己的席位上的概率． 1．若事件A和事件B為互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？ [提示]　P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 2．若事件A和事件B不是互斥事件，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么關(guān)系？ [提示]　P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 3．若事件A和事件B是對立事件，那么P(A)，P(B)有什么關(guān)系？ [提示]　P(A)＋P(B)＝1． [解]　將A，B，C，D四位貴賓就座情況用下面圖形表示出來： 如圖所示，樣本點的總數(shù)為24． (1)設(shè)事件A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”， 則事件A只包含1個樣本點，所以P(A)＝eq \f(1,24)． (2)設(shè)事件B為“這四個人恰好都沒有坐在自己席位上”， 則事件B包含9個樣本點，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8)． 求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率． [解]　由本例解析可知，設(shè)事件C為“這四個人恰有1位坐在自己席位上”，則事件C包含8個樣本點， 所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)． 1．當(dāng)事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖法直觀地將其表示出來，這是進行列舉的常用方法．樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜想其余的情況． 2．在求概率時，若事件可以表示成有序數(shù)對的形式，則可以把全體樣本點用平面直角坐標系中的點表示，即采用圖表的形式可以準確地找出樣本點的個數(shù)．故采用數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問題的過程變得形象、直觀，給問題的解決帶來方便． 類型3　概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用問題 【例3】　某高校為了制定培養(yǎng)學(xué)生閱讀習(xí)慣，指導(dǎo)學(xué)生提高閱讀能力的方案，需了解全校學(xué)生的閱讀情況，現(xiàn)隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間X(單位：小時)并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求了這200名學(xué)生每周閱讀時間的中位數(shù)a(精確到0.01)； (2)為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素，學(xué)校團委決定從每周閱讀時間在[6.5,7.5)，[7.5,8.5)內(nèi)的學(xué)生中抽取6名參加座談會． (ⅰ)你認為6個名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由； (ⅱ)從這6名學(xué)生中隨機抽取2人，求至多有1人每周閱讀時間在[7.5,8.5)內(nèi)的概率． [解]　(1)∵0.03＋0.1＋0.2＋0.35＝0.68＞0.5，∴中位數(shù)a∈[8.5,9.5)，由0.03＋0.1＋0.2＋(a－8.5)×0.35＝0.5，解得a＝eq \f(0.5－0.33,0.35)＋8.5≈8.99． (2)(ⅰ)應(yīng)從每周閱讀時間在[6.5,7.5)內(nèi)的學(xué)生中抽取2名，從每周閱讀時間在[7.5,8.5)內(nèi)的學(xué)生中抽取4名． 理由：每周閱讀時間在[6.5,7.5)內(nèi)與每周閱讀時間在[7.5,8.5)內(nèi)是差異明顯且不重疊的兩層，為保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高樣本的代表性，宜采用分層隨機抽樣的方法抽取樣本， ∵兩者頻率分別為0.1,0.2，∴應(yīng)按照1∶2的比例進行名額分配． (ⅱ)設(shè)從每周閱讀時間在[6.5,7.5)內(nèi)的學(xué)生中抽取的2人為A1，A2，從每周閱讀時間在[7.5,8.5)內(nèi)的學(xué)生中抽取的4人為B1，B2，B3，B4，從這6人中隨機抽取2人的所有樣本點有15個，分別為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)．設(shè)“至多有1人每周讀書時間在[7.5,8.5)內(nèi)”為事件A，則A中有9個樣本點，分別為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)． ∴至多有一人每周閱讀時間在[7.5,8.5)內(nèi)的概率為P(A)＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5)． 解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進行計算. eq \o([跟進訓(xùn)練]) 2．已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量n(單位：百人)的關(guān)系有如下規(guī)定：當(dāng)n∈[0,100)時，擁擠等級為“優(yōu)”；當(dāng)n∈[100,200)時，擁擠等級為“良”；當(dāng)n∈[200,300)時，擁擠等級為“擁擠”；當(dāng)n≥300時，擁擠等級為“嚴重擁擠”．該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計數(shù)據(jù)： (1)下面是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表) (2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率． [解]　(1)游客人數(shù)在[0,100)范圍內(nèi)的天數(shù)共有15天，故a＝15，b＝eq \f(15,30)＝eq \f(1,2)，游客人數(shù)的平均值為50×eq \f(1,2)＋150×eq \f(1,3)＋250×eq \f(2,15)＋350×eq \f(1,30)＝120(百人)． (2)從5天中任選2天，試驗的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10個樣本點，其中游客擁擠等級均為“優(yōu)”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3個，故所求概率為eq \f(3,10)． 1．從集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一個，若這個子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是eq \f(3,4)，則該子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是(　　) A．eq \f(3,5)　　　B．eq \f(2,5)　　　C．eq \f(1,4)　　　D．eq \f(1,8) C　[該子集恰是{a，b，c}的子集的概率為P＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)．] 2．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)任意一種點數(shù)的概率都是eq \f(1,6)，記事件A為“向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件B為“向上的點數(shù)不超過3”，則概率P(A∪B)＝(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6) B　[拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)任意一種點數(shù)的概率都是eq \f(1,6)， 所以P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，故選B．] 3．如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ、Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分別為0.35,0.30,0.25，則不命中靶的概率是________． 0.10　[“射手命中圓面Ⅰ”為事件A，“命中圓環(huán)Ⅱ”為事件B，“命中圓環(huán)Ⅲ”為事件C，“不中靶”為事件D，則A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90． 因為中靶和不中靶是對立事件，故不命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10．] 4．一個電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，兩根同時熔斷的概率為0.63，則至少有一根熔斷的概率為________． 0.96　[設(shè)A＝“甲熔絲熔斷”，B＝“乙熔絲熔斷”，則甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”為事件A∪B． P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)概率的基本性質(zhì)有哪些？ (2)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)與P(A∪B)＝P(A)＋P(B)有什么關(guān)系？各自的適用條件是什么？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．通過實例，理解概率的性質(zhì)．(重點、易混點) 2．掌握隨機事件概率的運算法則．(難點)1．通過對概率性質(zhì)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過利用隨機事件概率的運算法則求解隨機事件的概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12游客數(shù)量(單位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天數(shù)a1041頻率beq \f(1,3)eq \f(2,15)eq \f(1,30)

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