《第十章  概率 》章末綜合   教學(xué)設(shè)計一、知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二、核心知識歸納1.頻率與概率頻率是概率的近似值，是隨機的，隨著試驗的不同而變化；概率是多次的試驗中頻率的穩(wěn)定值，是一個常數(shù)，不要用一次或少數(shù)次試驗中的頻率來估計概率.2.求較復(fù)雜概率的常用方法(1)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和；(2)先求其對立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P()求解.3.古典概型概率的計算關(guān)鍵要分清樣本點的總數(shù)n與事件A包含的樣本點的個數(shù)k，再利用公式P(A)＝求解.有時需要用列舉法把樣本點一一列舉出來，在列舉時必須按某一順序做到不重不漏. 三、典型例題1.隨機事件的概率【例1】假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等,為了解它們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進(jìn)行測試,結(jié)果統(tǒng)計如圖所示:????????????? (1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率.(2)這兩種品牌產(chǎn)品中,某個產(chǎn)品已使用了200小時,試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率.解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為=,用頻率估計概率,所以甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為.(2)根據(jù)抽樣結(jié)果,壽命大于200小時的產(chǎn)品共有75+70=145(個),其中甲品牌產(chǎn)品是75個,所以在樣本中,壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是=,用頻率估計概率,所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為.【類題通法】對于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(1)求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗.(2)只有當(dāng)頻率在某個常數(shù)附近擺動時，這個常數(shù)才叫做事件A的概率.(3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值.(4)概率反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.(5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1.【鞏固訓(xùn)練1】下表是某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗結(jié)果表，請完成表格并回答問題．(1)完成上面表格；(2)估計該油菜籽發(fā)芽的概率是多少？解：(1)從左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.897,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.897附近，所以估計該油菜籽發(fā)芽的概率為0.897.2.　概率的性質(zhì)【例2】一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率.(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率.解　(1)從袋中隨機取兩個球，可能的結(jié)果有6種，而取出的球的編號之和不大于4的事件有兩個，1和2，1和3，所以取出的球的編號之和不大于4的概率p1＝.(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，所有(m，n)有16種，而n≥m＋2有1和3，1和4，2和4三種結(jié)果，所以n<m＋2的概率p2＝1－＝.【類題通法】1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).2.設(shè)事件A的對立事件是，則P(A)＝1－P().【鞏固訓(xùn)練2】黃種人群中各種血型的人所占的比例如下：血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，其他不同血型的人不能互相輸血，張三是B型血，若張三因病需要輸血，問：(1)任找一個人，其血可以輸給張三的概率是多少？(2)任找一個人，其血不能輸給張三的概率是多少？解：(1)對任一人，其血型為A，B，AB，O的事件分別記為A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因為B，O型血可以輸給張三，所以“任找一人，其血可以輸給張三”為事件B′∪D′.依據(jù)互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A，AB型血不能輸給B型血的人，所以“任找一人，其血不能輸給張三”為事件A′∪C′，依據(jù)互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因為事件“任找一人，其血可以輸給張三”與事件“任找一人，其血不能輸給張三”是對立事件，所以由對立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－P(B′)－P(D′)＝1－0.64＝0.36.3.古典概型【例3】海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示.工作人員用分層隨機抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.解：(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是＝，所以樣本包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×＝1，150×＝3，100×＝2.所以這6件樣品中來自A，B，C三個地區(qū)的數(shù)量分別為1，3，2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2，B3；C1，C2，則從這6件樣品中抽取的2件商品構(gòu)成的所有樣本點為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個.每個樣品被抽到的機會均等，因此這些樣本點的出現(xiàn)是等可能的.記事件D＝“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的樣本點有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個.所以P(D)＝，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.【類題通法】古典概型及其解法(1)古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特點，即有限性和等可能性.(2)在求古典概型問題的概率時，往往需要我們將所有樣本點一一列舉出來，以便確定樣本點總數(shù)及事件所包含的樣本點數(shù).這就是我們常說的窮舉法.在列舉時應(yīng)注意按一定的規(guī)律、標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏.【鞏固訓(xùn)練3】甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率.解：(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F表示.從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9種.從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為p＝.(2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15種.從中選出2名教師來自同一所學(xué)校的結(jié)果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6種，所以選出的2名教師來自同一所學(xué)校的概率為p＝＝.4.事件的相互獨立性【例4】計算機考試分理論考試與實際操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則計算機考試“合格”，并頒發(fā)合格證書.甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為，，，在實際操作考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格相互之間沒有影響.(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？(2)這三人進(jìn)行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.解：(1)設(shè)“甲獲得合格證書”為事件A，“乙獲得合格證書”為事件B，“丙獲得合格證書”為事件C，則P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.因為P(C)>P(B)>P(A)，所以丙獲得合格證書的可能性大.(2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.【類題通法】計算相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，把這些事件分為若干個彼此互斥的事件的和；(2)根據(jù)相互獨立事件的概率計算公式計算出這些彼此互斥的事件的概率；(3)根據(jù)互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果.【鞏固訓(xùn)練4】甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出.已知在一局比賽中甲、乙兩人獲勝的概率分別為，，則甲勝出的概率為________.解析：法一：甲勝的情況：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束；②舉行兩局比賽，第一局乙勝、第二局甲勝.①②的概率分別為，×，且這兩個事件是互斥的，所以甲勝出的概率為＋×＝.法二：因為比賽只有甲勝出和乙勝出兩個結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝，其概率為×＝，所以甲勝出的概率為1－＝.答案：5.概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例5.某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖：(1)補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用樣本量按比例分配的分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領(lǐng)隊，求選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率．解：(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為＝0.06.頻率直方圖如下：第一組的人數(shù)為＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝＝1 000.由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1 000×0.3＝300，所以p＝＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30＝2:1，所以采用樣本量按比例分配的分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中抽4人，[45,50)歲中抽2人．設(shè)[40,45)歲中抽的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中抽的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊對應(yīng)的樣本空間={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共有15個樣本點；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8樣本點．所以選取的2名領(lǐng)隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為.【類題通法】概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用的關(guān)注點概率與統(tǒng)計相結(jié)合，所涉及的統(tǒng)計知識是基礎(chǔ)知識，所涉及的概率往往是古典概型，雖然是綜合題，但是難度不大.在解決問題時,要求對圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息,排除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾,進(jìn)而抓住問題的實質(zhì),達(dá)到求解的目的.【鞏固練習(xí)5】為了加強中學(xué)生實踐、創(chuàng)新和團(tuán)隊建設(shè)能力的培養(yǎng)，促進(jìn)教育教學(xué)改革，市教育局舉辦了全市中學(xué)生創(chuàng)新知識競賽．某中學(xué)舉行了選拔賽，共有150名學(xué)生參加，為了了解成績情況，從中抽取50名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計，清你根據(jù)尚未完成的頻率分布表，解答下列問題：(1)完成頻率分布表(直接寫出結(jié)果)，并作出頻率分布直方圖；(2)若成績在90.5分以上的學(xué)生獲一等獎，試估計全校獲一等獎的人數(shù)，現(xiàn)在從全校所有獲一等獎的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)代表學(xué)校參加競賽，某班共有2名同學(xué)榮獲一等獎，求該班同學(xué)恰有1人參加競賽的概率.分組頻數(shù)頻率 第1組60.5～70.5 0.26第2組70.5～80.517 第3組80.5～90.5180.36第4組90.5～100.5  合計501   解：(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率 第1組60.5～70.5130.26第2組70.5～80.5170.34第3組80.5～90.5180.36第4組90.5～100.520.04合計501  頻率分布直方圖如圖．(2)獲一等獎的概率約為0.04，所以獲一等獎的人數(shù)估計為150×0.04＝6(人)．記這6人為A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2為該班獲一等獎的同學(xué)．從全校所有獲一等獎的同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)代表學(xué)校參加競賽，對應(yīng)的樣本空間={(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)},共有15個樣本點．該班同學(xué)中恰有1人參加競賽，包含8個樣本點：(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)．所以該班同學(xué)中恰有1人參加競賽的概率P＝. 四、操作演練  素養(yǎng)提升1.壇子中放有3個白球和2個黑球，從中進(jìn)行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1和A2是(　　)A．互斥事件　　　      　B．相互獨立事件C．對立事件              D．不相互獨立事件解析：由互斥事件、對立事件、相互獨立事件的定義可知，A1與A2不互斥也不對立，同時A1與A2也不相互獨立．答案：D2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　)A.　　　　B.　　　  　C.　　　　D.解析:從A，B中各任取一個數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6個樣本點，滿足兩數(shù)之和等于4的有(2,2)，(3,1)，有2個樣本點，所以P＝＝.答案:　C3.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　)A.      B.      C. D.解析：由題意，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，對應(yīng)的樣本空間={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共有10個樣本點，其中“甲與乙均未被錄用”包含的樣本點只有(丙，丁，戊)這1個，故其對立事件“甲或乙被錄用”包含的樣本點有9個，所求概率P＝.答案：D4.某市某校在秋季運動會中，安排了籃球投籃比賽，現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4；每名同學(xué)有2次投籃機會，且各同學(xué)投籃之間沒有影響；現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個得4分，投進(jìn)一個得2分，一個未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（　?。?/span>A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32解析：設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件A，“第二次投進(jìn)球”為事件B，則得2分的概率為P＝P（AB）+P（B）＝0.4×0.6+0.6×0.4＝0.48．答案：B五、課堂小結(jié)，反思感悟1.知識總結(jié)：2.學(xué)生反思：（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？                                                                                                                                                          （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？                                                                                                                                                                                 六、作業(yè)布置完成教材：第263頁  復(fù)習(xí)參考題10    第1，2，3,4,5,6,7,8,9題 七、課堂記錄      八、教學(xué)反思

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