第10章概率10.1.3古典概型學案含解析-學案下載-教習網(wǎng)

10.1.3　古典概型據(jù)《西墅記》所載，唐明皇與楊貴妃擲骰子戲娛，唐明皇的戰(zhàn)況不佳，只有讓六顆骰子中的兩顆骰子同時出現(xiàn)“四”才能轉(zhuǎn)敗為勝．于是唐明皇一面舉骰投擲，一面連呼“重四”．骰子停定，正好重四．唐明皇大悅，命令高力士將骰子的四點涂為紅色，紅色通常是不能亂用的．因此直到今天，骰子的幺、四兩面為紅色，其余四面都是黑色．問題：您能算出唐明皇轉(zhuǎn)敗為勝的概率是多少嗎？若同時擲兩顆骰子，朝上的點數(shù)有多少種不同的結(jié)果，你能寫出對應(yīng)的樣本空間嗎？點數(shù)之和不大于7這一事件包含哪幾個樣本點？你能求出對應(yīng)事件的概率嗎？這個事件對應(yīng)的概率是什么類型的概率？求解此類概型的概率的方法是什么？知識點1　概率對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．知識點2　古典概型的定義試驗具有如下共同特征： (1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個； (2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)“在區(qū)間[0,10]上任取一個數(shù)，這個數(shù)恰為5的概率是多少？”這個概率模型屬于古典概型嗎？ (2)若一次試驗的結(jié)果所包含的樣本點的個數(shù)為有限個，則該試驗是古典概型嗎？ [提示]　(1)不屬于古典概型．因為在區(qū)間[0,10]上任取一個數(shù)，其試驗結(jié)果有無限個，故其基本事件有無限個，所以不是古典概型． (2)不一定是古典概型．還必須滿足每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等才是古典概型． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)任何一個事件都是一個樣本點． (　　) (2)古典概型中每一個樣本點出現(xiàn)的可能性相等． (　　) (3)古典概型中的任何兩個樣本點都是互斥的． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 2．下列試驗是古典概型的有________．(填序號) (1)在適宜的條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽； (2)口袋中有2個紅球，2個白球，每次從中任取一球，觀察顏色后放回，直到取出紅球； (3)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學中任意抽取1名擔任學生代表． (3)　[(1)這個試驗的結(jié)果只有兩個：“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”，具備了有限性．而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩個結(jié)果出現(xiàn)的可能性不一定相等，即不一定具備等可能性，因此該試驗不一定是古典概型． (2)屬于有放回抽樣，依次摸出的球可以重復(fù)，所有可能結(jié)果有無限個，因此該試驗不是古典概型． (3)從5名同學中任意抽取1名，有5種等可能發(fā)生的結(jié)果，因此該試驗是古典概型．] 知識點3　古典概型的概率計算公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n?A?,n?Ω?)．其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)． 3．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為(　　) A．eq \f(1,2)　　　　B．eq \f(1,3)　　　　C．eq \f(2,3)　　　　D．1 C　[從甲、乙、丙三人中任選兩人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3種情況，其中，甲被選中的情況有2種，故甲被選中的概率為P＝eq \f(2,3)．] 4．從3男3女共6名學生中任選2名(每名同學被選中的概率均相等)，則2名都是女同學的概率等于________． eq \f(1,5)　[用A，B，C表示3名男同學，用a，b，c表示3名女同學，則從6名同學中選出2人的樣本空間Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同學”包含樣本點的個數(shù)為3，故所求的概率為eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)．] 類型1　古典概型的判斷【例1】　下列是古典概型的是(　　) A．任意拋擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和作為樣本點時 B．求任意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為樣本點時 C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率 D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止 C　[A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項中的樣本點是無限的，故B不是；C項滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性，故D不是．] 判斷一個試驗是否為古典概型的依據(jù)是什么？ [提示]　判斷隨機試驗是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不可． eq \o([跟進訓練]) 1．下列試驗是古典概型的為________．(填序號) ①從6名同學中選出4人參加數(shù)學競賽，每人被選中的可能性大?。?②同時擲兩顆骰子，點數(shù)和為6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率． ①②④　[①②④是古典概型，因為符合古典概型的定義和特點．③不是古典概型，因為不符合等可能性，降雨受多方面因素影響．] 類型2　較簡單的古典概型問題【例2】　(對接教材P236例9)某種飲料每箱裝6聽，如果其中有2聽不合格，質(zhì)檢人員依次不放回地從某箱中隨機抽出2聽，求檢測出不合格產(chǎn)品的概率． [解]　只要檢測的2聽中有1聽不合格，就表示查出了不合格產(chǎn)品．分為兩種情況：1聽不合格和2聽都不合格．設(shè)合格飲料為1,2,3,4，不合格飲料為5,6，則6聽中選2聽試驗的樣本空間為Ω＝{ (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15個樣本點．有1聽不合格的樣本點有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8個；有2聽不合格的樣本點有(5,6)，共1個，所以檢測出不合格產(chǎn)品的概率為eq \f(8＋1,15)＝eq \f(3,5)．求解古典概率“四步”法 eq \o([跟進訓練]) 2．現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答．試求： (1)所取的2道題都是甲類題的概率； (2)所取的2道題不是同一類題的概率． [解]　(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6．任取2道題，這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性是等可能的，可用古典概型來計算概率．用A表示“所取的2道題都是甲類題”這一事件，則A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6個樣本點，所以P(A)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)． (2)由(1)知試驗的樣本空間共有15個樣本點，用B表示“所取的2道題不是同一類題”這一事件，則B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共包含8個樣本點，所以P(B)＝eq \f(8,15)．類型3　較復(fù)雜的古典概型問題【例3】　某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參加活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針所指區(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y．獎勵規(guī)則如下： ①若xy≤3，則獎勵玩具一個；②若xy≥8，則獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個區(qū)域劃分均勻．小亮準備參加此項活動． (1)求小亮獲得玩具的概率； (2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由． [解]　用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16． (1)記“xy≤3”為事件A，則事件A包含的樣本點個數(shù)共5個，即A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)}．所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq \f(5,16)． (2)記“xy≥8”為事件B，“3＜xy＜8”為事件C．則事件B包含的樣本點共6個，即B＝{(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)．事件C包含的樣本點共5個，即C＝{(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}．所以P(C)＝eq \f(5,16)．因為eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率． 1．在例3中求小亮獲得玩具或水杯的概率． [解]　用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16．記“小亮獲得玩具或水杯”為事件E，則事件E包含的樣本點個數(shù)共11個，即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．所以P(E)＝eq \f(11,16)． 2．將例3中獎勵規(guī)則改為：①若3≤x＋y≤5，則獎勵玩具一個；②其余情況沒有獎，求小亮獲得玩具的概率． [解]　用數(shù)對(x，y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù)，則樣本空間Ω與點集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以樣本點總數(shù)n＝16．記“3≤x＋y≤5”為事件D，則事件D包含的樣本點個數(shù)共9個，即D＝{(1,2)，(2,1)，(2,2)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)}，所以P(D)＝eq \f(9,16)．解古典概型問題時，要牢牢抓住它的兩個特點和其計算公式.但是這類問題的解法多樣，技巧性強，在解決此類題時需要注意以下兩個問題： ?1?試驗必須具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性. ?2?計算基本事件的數(shù)目時，須做到不重不漏，常借助坐標系、表格及樹狀圖等列出所有基本事件. eq \o([跟進訓練]) 3．某市舉行職工技能比賽活動，甲廠派出2男1女共3名職工，乙廠派出2男2女共4名職工． (1)若從甲廠和乙廠報名的職工中各任選1名進行比賽，求選出的2名職工性別相同的概率； (2)若從甲廠和乙廠報名的這7名職工中任選2名進行比賽，求選出的這2名職工來自同一工廠的概率． [解]　記甲廠派出的2名男職工為A1，A2，女職工為a；乙廠派出的2名男職工為B1，B2,2名女職工為b1，b2． (1)從甲廠和乙廠報名的職工中各任選1名，不同的結(jié)果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12種．其中選出的2名職工性別相同的結(jié)果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6種．故選出的2名職工性別相同的概率為eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)． (2)若從甲廠和乙廠報名的這7名職工中任選2名，不同的結(jié)果有(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，共21種．其中選出的2名職工來自同一工廠的有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B1，B2)，(B1，b1)，(B1，b2)，(B2，b1)，(B2，b2)，(b1，b2)，其9種．故選出的2名職業(yè)來自同一工廠的概率為eq \f(9,21)＝eq \f(3,7)． 1．下列試驗是古典概型的是(　　) A．口袋中有2個白球和3個黑球，從中任取一球，基本事件為{取中白球}和{取中黑球} B．在區(qū)間[－1,5]上任取一個實數(shù)x，使x2－3x＋2＞0 C．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面 D．某人射擊中靶或不中靶 C　[根據(jù)古典概型的兩個特征進行判斷．A項中兩個基本事件不是等可能的，B項中基本事件的個數(shù)是無限的，D項中“中靶”與“不中靶”不是等可能的，C項符合古典概型的兩個特征．] 2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　) A．eq \f(1,6)　　　B．eq \f(1,2)　　　C．eq \f(1,3)　　　D．eq \f(2,3) C　[樣本空間的樣本點為：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6個，甲站在中間的事件包括乙甲丙、丙甲乙，共2個，所以甲站在中間的概率是P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)．] 3．標有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各一張，從這5張卡片中隨機抽取1張，不放回地再隨機抽取1張，則抽取的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(2,5) A　[如圖：基本事件的總數(shù)為20，其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包括的基本事件有10個，故所求概率P＝eq \f(10,20)＝eq \f(1,2)．故選A．] 4．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事．“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．”雙方從各自的馬匹王中隨機選一匹進行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6) A　[設(shè)齊王的上、中、下三個等次的馬分別為a，b，c，田忌的上、中、下三個等次的馬分別記為A，B，C，從雙方的馬匹中隨機選一匹進行一場比賽的所有的可能為Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根據(jù)題意，其中Ab，Ac，Bc是田忌獲勝，則田忌獲勝的概率為eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)．故選A．] 5．將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n，向量p＝(m，n)，q＝(2,6)，則向量p與q共線的概率為________． eq \f(1,18)　[∵試驗發(fā)生包含的事件是一顆骰子擲兩次，共有6×6＝36種結(jié)果，滿足條件的事件是使向量p＝(m，n)與q＝(2,6)共線，即6m－2n＝0，∴n＝3m，滿足這種條件的有(1,3)，(2,6)，共有2種結(jié)果， ∴向量p與q共線的概率P＝eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)．] 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)如何判斷一個試驗是不是古典概型？古典概型的特征有哪些？ (2)古典概型的概率公式是什么？學習任務(wù)核心素養(yǎng)1．結(jié)合具體實例，理解古典概型．(重點) 2．能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．(重點、難點)1．通過對古典概型概念的學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)． 2．通過計算古典概型的概率，培養(yǎng)數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)．