概率初步 一、 課堂目標(biāo) 1．掌握事件的相關(guān)概念以及事件的關(guān)系和運(yùn)算． 2．掌握古典概型的概率公式，并結(jié)合枚舉的思想計(jì)算事件的概率． 3．掌握概率的基本性質(zhì)并利用其完成概率的相關(guān)運(yùn)算． 4．掌握頻率與概率的意義以及二者的區(qū)別與聯(lián)系． 二、 知識(shí)講解 1. 事件的相關(guān)概念 知識(shí)精講 （1）隨機(jī)試驗(yàn) 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母 表示．我們一般研究的是具有以下特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)： ①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； ②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)； ③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果． （2）有限樣本空間 ①樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn) 的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)． ②樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn) 的樣本空間（sample space）． ③有限樣本空間：一般地，我們用 表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)．在本章中，我們只討論 為有限集 的情況．如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有 個(gè)可能結(jié)果ω ， ω ， ， ω ω ， ω ， ， ω 為有限樣本空間． （3）隨機(jī)事件 ，則稱樣本空間 ①隨機(jī)事件（事件）：一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表 示．為了敘述方便，我們將樣本空間 的子集稱為隨機(jī)事件（random event），簡(jiǎn)稱事件．②基本事件：把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementary event）． 隨機(jī)事件一般用大寫字母 為事件 發(fā)生． ， ， ， 表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng) 中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱 ③必然事件： 作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以 總 會(huì)發(fā)生，我們稱 為必然事件． ④不可能事件：空集 不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱 為不可能事件． 經(jīng)典例題 1. 下列隨機(jī)事件中，隨機(jī)試驗(yàn)各指什么？試寫出它們的樣本空間． （ 1 ）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣． （ 2 ）從集合 中任取 個(gè)元素，組成集合 的子集． 鞏固練習(xí) 2. 先后投擲三枚硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況，出現(xiàn)正面記為 ，出現(xiàn)反面記為 ，則這一事件的樣本 空間為 ． 經(jīng)典例題 3. 下面給出五個(gè)事件： ①某地 月 日下雪； ②函數(shù) （ ，且 ）在定義域上是增函數(shù)； ③實(shí)數(shù)的絕對(duì)值不小于 ； ④標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在 時(shí)會(huì)結(jié)冰； ⑤ ， ， ． 其中必然事件是 ；不可能事件是 ；隨機(jī)事件是 ．（填序號(hào)） 鞏固練習(xí) 4. 給出下列四個(gè)命題： ①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子，其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件 ②“當(dāng) 為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使 ”是不可能事件 ③“明天蘭州要下雨”是必然事件 ④“從 個(gè)燈泡中取出 個(gè)， 個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件，其中正確命題的序號(hào)是  ． 2. 事件的關(guān)系和運(yùn)算 知識(shí)精講 （1）事件的包含關(guān)系 定義 一般地，若事件 發(fā)生，則事件 一定發(fā)生，就稱事件 包含事件 （或事件 包含于事件 ）． 符號(hào) （或 ） 圖示 ①不可能事件記作 ，顯然 （ 為任一事 注意事項(xiàng) 件）； ②事件 也包含于事件 ，即 ； ③事件 包含事件 ，其含義就是事件 發(fā)生，事 件 一定發(fā)生，而事件 發(fā)生，事件 不一定發(fā)生． （2）事件的相等關(guān)系 一般地，如果事件 包含事件 ，事件 也包含事 定義 件 ，即 ，且 ，則稱事件 與事件 相等． 符號(hào) 圖示  （ ） 注意事項(xiàng) ①兩個(gè)相等事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生； ②所謂 ，就是 ， 是同一事件； ③在驗(yàn)證兩個(gè)事件是否相等時(shí)，常用到事件相等 的定義． （3）事件的并（或和） 定義 一般地，事件 與事件 至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件 中，或者在事件 中，我們稱這個(gè)事件為事件 與事件 的并事件 （或和事件）． 符號(hào) （或 ） 圖示 注意事項(xiàng) ① ； ②例如，在挪骰子試驗(yàn)中，事件 出現(xiàn) 點(diǎn)， 點(diǎn)這兩個(gè)事件，則點(diǎn)或 點(diǎn) }．  ，  分別表示 { 出現(xiàn) （4）事件的交（或積） 定義 一般地，事件 與事件 同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件 中，也在事件 中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件 與事件 的交事件（或積事件）． 符號(hào) （或 ） 圖示 注意事項(xiàng) ① ； ②例如，挪一枚骰子，事件 { 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù) } { 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù) } ． （5）互斥事件和對(duì)立事件 一般地，如果事件 與事件 不 能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō) 是 定義 一個(gè)不可能事件，即 ，則稱事件 與事件 互斥（或互不相容）． 符號(hào) 互斥事件 圖示 例如，在挪骰子試驗(yàn)中，記 注意事項(xiàng) { 出現(xiàn) 點(diǎn) } ， { 出現(xiàn) 點(diǎn) } ，則 與 互斥． 一般地，如果事件 和事件 在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā) 定義 生，即 ，且 ，那么稱事件 與事 件 互為對(duì)立． 對(duì)立事件  符號(hào) 圖示 注意事項(xiàng) 的對(duì)立事件一般記作 ． 知識(shí)點(diǎn)睛 （1）證明事件 與事件 相等（  ），即證明：  ，且  ． （2）若事件 的對(duì)立事件為事件 ，則 ． 經(jīng)典例題 5. 事件 與事件 的關(guān)系如圖所示，則（ ）． A. B. C. 與 互斥 D. 與 互為對(duì)立事件 6. 從裝有 個(gè)紅球和 個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是( ) A. 恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)紅球 B. 至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球 C. 至少有一個(gè)黑球與都是黑球 D. 至少有一個(gè)黑球與都是紅球 鞏固練習(xí) 7. 一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）． A. 至多有一次中靶 B. 只有一次中靶 C. 兩次都中靶 D. 兩次都不中靶 8. 袋中裝有大小和質(zhì)地相同的 個(gè)紅球 個(gè)白球和 個(gè)黑球，從中任取 個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件 是（ ）． A. B. C. D. 至少有 個(gè)白球；都是白球 至少有 個(gè)白球；至少有 個(gè)紅球至少有 個(gè)白球； 個(gè)紅球 個(gè)黑球恰有 個(gè)白球； 個(gè)白球 個(gè)黑球 3. 古典概型 知識(shí)精講 （1）事件的概率 對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件 的概率用  表示． （2）古典概型的定義 考察一些試驗(yàn)，它們具有如下共同特征： ①有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等． 將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． （3）古典概型的概率公式 一般地，設(shè)試驗(yàn) 是古典概型，樣本空間 包含 個(gè)樣本點(diǎn)，事件 包含其中的 個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件 的概率： ． 其中， 和 分別表示事件 和樣本空間 包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)． 經(jīng)典例題 9. 從 ， ， ， ， 中任取一個(gè)數(shù)，它是偶數(shù)或能被 整除的數(shù)的概率為（ ）． A. B. C. D. 10. 從分別寫有 ， ， ， ， 的 張卡片中隨機(jī)抽取 張，放回后再隨機(jī)抽取 張，則抽得的第一張卡片 上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 11. 柜子里有 雙不同的鞋子，隨機(jī)地取出 只，則取出的 只鞋子剛好成對(duì)的概率為  ． 12. 在大小相同的 個(gè)球中， 個(gè)是紅球， 個(gè)是白球，若從中任取 個(gè)，則所取的 個(gè)球中至少有一個(gè)紅 球的概率是 ． 4. 概率的基本性質(zhì) 知識(shí)精講 一般地，概率有如下性質(zhì)： 性質(zhì)1 ：對(duì)任意的事件 ，都有 ． 性質(zhì)2 ：必然事件的概率為 ，不可能事件的概率為 ，即性質(zhì)3 ：如果事件 與事件 互斥，那么 互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個(gè)事件的情況．如果事件  ， ． ． ， ， ，  兩兩互斥，那么 事件 發(fā)生的概率等于這 個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即 ． 性質(zhì)4： 如果事件 與事件 互為對(duì)立事件，那么性質(zhì)5 ：如果 ，那么 ． 性質(zhì)6 ：設(shè) ， 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有 知識(shí)點(diǎn)睛 ， ．  . ①在概率基本性質(zhì)中，需要注意的是必然事件發(fā)生的概率為 ，不可能事件發(fā)生的概率為 ，反過(guò)來(lái)并不成立，即概率為 的事件不一定是必然事件，而概率為 的事件不一定是不可能事件，這點(diǎn)在幾何概型中我們會(huì)加以說(shuō)明． ②互斥事件的概率的加法公式中的條件“事件 與事件 互斥”不可去掉，否則就變?yōu)橐话闶录母怕实募? 法公式，即 ．當(dāng) 與 互斥時(shí)， ， ，可見 互斥事件的概率加法公式滿足一般事件的概率加法公式． 經(jīng)典例題 13. 若 ， 是互斥事件， ， ，則 ． 14. 擲一枚骰子的試驗(yàn)中，出現(xiàn)各點(diǎn)的概率均為 ，事件 表示“出現(xiàn)小于 的偶數(shù)點(diǎn)”，事件 表示“出現(xiàn) 小于 的點(diǎn)數(shù)”，則一次試驗(yàn)中，事件 （ 表示事件 的對(duì)立事件)發(fā)生的概率為 ． 鞏固練習(xí) 15. 從 名男同學(xué)和 名女同學(xué)中任選 名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的 名同學(xué)中至少有 名女同學(xué)的 概率是 ． 16. 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為 ， ， ， ， ， )，事件 為“正面朝上的點(diǎn)數(shù) 為 ”，事件 為“正面朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則 ． 5. 事件的相互獨(dú)立性 知識(shí)精講 （1）兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義 對(duì)任意兩個(gè)事件 與 ，如果  成立，則稱事件 與事件 相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立． 一般地，當(dāng)事件 ， 相互獨(dú)立時(shí)， 與 與 ， 與 也相互獨(dú)立． （2）相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別 相互獨(dú)立事件 互斥事件 概念 如果事件 （或 ）是否發(fā)生對(duì)事件 （或 ）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件．  不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作 互斥事件． 符號(hào) 計(jì)算公式 相互獨(dú)立事件 ， 記作： 同時(shí)發(fā)生， 互斥事件 記作： ， 中有一個(gè)發(fā)生， （或 ） 知識(shí)點(diǎn)睛 （1） 兩個(gè)事件相互獨(dú)立性判定的一般步驟 第一步：求出試驗(yàn)的樣本空間，確定 ； 第二步：分別求出事件 第三步：求出 ， 第四步：驗(yàn)算 ， 與 的集合并確定 ， ； 是否相等； ， ； 第五步：依據(jù)驗(yàn)算作出結(jié)論． （2）應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求概率的解題步驟第一步：確定各事件是相互獨(dú)立的； 第二步：確定各事件會(huì)同時(shí)發(fā)生； 第三步：先求每個(gè)事件發(fā)生的概率，再求其積． （3）求復(fù)雜事件概率的一般步驟 第一步：確定事件的性質(zhì)，把問(wèn)題化歸為古典概型、互斥事件，相互性獨(dú)立事件，三種問(wèn)題中的某一 種； 第二步：運(yùn)用古典概型： ；互斥事件： ； 獨(dú)立事件： 等公式求簡(jiǎn)單事件的概率； 第三步：將復(fù)雜事件利用基本事件的關(guān)系用簡(jiǎn)單事件表示； 第四步：綜合運(yùn)用公式求出結(jié)論． 注意： ①解答概率綜合問(wèn)題時(shí)，一般“大化小”，即將問(wèn)題劃分為若干個(gè)彼此互斥的事件，然后運(yùn)用概率的加法公式和乘法公式來(lái)求解，在運(yùn)用乘法公式時(shí)一定要注意是否滿足彼此獨(dú)立，只有彼此獨(dú)立才能運(yùn)用乘法公式．最后利用互斥事件概率的可加性，得到最終結(jié)果． ②在求事件的概率時(shí)，有時(shí)遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的問(wèn)題，如果從正面考查這些問(wèn)題，它們是諸多事件的和或積，求解過(guò)程繁瑣，但“至少……”“至多……”這些事件的對(duì)立事件卻往往很簡(jiǎn)單，其概率也易求出，此時(shí)，可逆向思考，先求其對(duì)立事件的概率，再利用概率的和與積的互補(bǔ)公式求得原來(lái)事件的概率．這是“正難則反”思想的具體體現(xiàn)． 經(jīng)典例題 17. 加工某一零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為 、 、 ，且各道工 序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為 ． 鞏固練習(xí) 18. 三個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼， 他們能單獨(dú)譯出的概率分別為 ， ， ，假設(shè)他們破譯密碼是彼此 獨(dú)立的，則此密碼被破譯出的概率為（ ）． A. B. C. D. 不確定 19. 已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為 和 ，假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都 落入盒子的概率為 ，甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為 ． 經(jīng)典例題 20. 甲、乙、丙 位學(xué)生用電腦學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天上課后獨(dú)立完成 道自我檢測(cè)題，甲答題及格的概率為 ，乙答題及格的概率為 ，丙答題及格的概率為 ， 人各答題 次，則 人中只有 人答題及格 的概率為（ ）． A. B. C. D. 以上全不對(duì) 鞏固練習(xí) 21. 兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件．加工為一等品的概率分別為 和 ，兩個(gè)零件是否加工為一等品相 互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為( ) A. B. C. D. 6. 頻率與概率 知識(shí)精講 （1）頻率的穩(wěn)定性 大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件 發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著 試驗(yàn)次數(shù) 的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件 發(fā)生的頻率 會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件 發(fā)生的 概率 ．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率 估計(jì)概率 ． （2）頻率與概率的關(guān)系 ①區(qū)別：頻率是利用頻數(shù) 除以總試驗(yàn)次數(shù) 所得到的確定的數(shù)值，而概率是頻率的穩(wěn)定值，因此頻率是一個(gè)精確值，而概率是一個(gè)估計(jì)值，根據(jù)這兩點(diǎn)來(lái)區(qū)分頻率與概率，從而判斷所給的數(shù)值是頻率還是概率． ②聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越?。覀兘o這個(gè)常數(shù)取一個(gè)名字，叫作這個(gè)隨機(jī)事件的概率．概率可看作頻率在理論上的期望值，它從數(shù)值上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。l率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可近似地作為這個(gè)事件的概率． （3）隨機(jī)模擬 隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù) 例如我們要產(chǎn)生 ~ 之間的隨機(jī)整數(shù)，像彩票搖獎(jiǎng)那樣，把 個(gè)質(zhì)地和大小相同的號(hào)碼球放入搖獎(jiǎng)器 中，充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，這個(gè)球上的號(hào)碼就稱為隨機(jī)數(shù)．計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性（周期很長(zhǎng)），它們具有類似隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)．因此，計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱它們?yōu)閭坞S機(jī)數(shù)． 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法 ①抽簽法：保證機(jī)會(huì)相等，但是耗費(fèi)大量的人力物力． ②用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生：操作簡(jiǎn)單，省時(shí)省力；由于是偽隨機(jī)數(shù)，不能保證等可能性． 知識(shí)點(diǎn)睛 （1）由頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率 ①頻率與概率的聯(lián)系在實(shí)際問(wèn)題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切得到，因此，我們常常通過(guò)做大 量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為它的概率的估計(jì)值． ②“頻率”與“概率”之間的區(qū)別． 頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率在理論上的期望值，它在數(shù)量上反映了 隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。? 特別提醒： （i）求一個(gè)事件的概率的基本方法是做大量的重復(fù)試驗(yàn)； （ii）只有頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫作事件 發(fā)生的概率； （iii）概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值． ③在由頻率估計(jì)概率時(shí)，頻率的計(jì)算公式是一個(gè)比值的形式．試驗(yàn)次數(shù)越多，得到的頻率值越接近于概 率． ④概率意義上的“可能性”是大量隨機(jī)事件的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf(shuō)的“可能”“估計(jì)”是不同的． （2）隨機(jī)模擬法求概率 用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)概率的方法：用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬法，我們稱利用隨 機(jī)模擬解決問(wèn)題的方法為蒙特卡洛方法． ①隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的基本思想： 隨機(jī)模擬法是通過(guò)將一次試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來(lái)替代每次 試驗(yàn)的結(jié)果．其基本思想是：用產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率． ②隨機(jī)模擬法的優(yōu)點(diǎn)： 不需要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行具體操作，是一種簡(jiǎn)單，實(shí)用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域中 去． ③利用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的思路：用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的關(guān)鍵是用相應(yīng)的整數(shù)表示試驗(yàn)的結(jié)果，然 后按實(shí)際需要將所得的隨機(jī)數(shù)分為若干個(gè)一組（比如試驗(yàn)要求隨機(jī)抽取三個(gè)球，就三個(gè)數(shù)據(jù)一組），明 晰所求事件的特點(diǎn)后去找符合要求的數(shù)據(jù)組，所求概率的近似值即 符合要求的數(shù)據(jù)組數(shù)隨機(jī)數(shù)的總組數(shù)  ． 經(jīng)典例題 22. 下列說(shuō)法中，正確的有  （填序號(hào)）． ①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大?。? ②做 次隨機(jī)試驗(yàn)，事件 發(fā)生 次，則事件 發(fā)生的概率是 ． ③某事件發(fā)生次數(shù)的百分率是頻率，但不是概率． ④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值． 23. 九華山是著名的旅游勝地．氣象部門預(yù)測(cè) 月 日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為 ．現(xiàn)用隨機(jī)模 擬的方法估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率：在 十個(gè)整數(shù)值中，假定 ， ， ， ， ， 表示當(dāng)天 下雨， ， ， ， 表示當(dāng)天不下雨．在隨機(jī)數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下 組四位隨機(jī)數(shù)： 據(jù)此估計(jì)四天中恰有三天下雨的概率為（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 24. 在一次擲硬幣試驗(yàn)中，擲  次，其中有  次正面朝上，則出現(xiàn)正面朝上的頻率是  ， 據(jù)此，擲一枚硬幣，正面朝上的概率是 ． 25. 下表是某批乒乓球質(zhì)量的檢查結(jié)果： 抽取球數(shù) 優(yōu)等品數(shù) 優(yōu)等品頻率 （ 1 ）在上表中填上優(yōu)等品的頻率（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）． （ 2 ）試估計(jì)該批乒乓球優(yōu)等品的概率． 三、 思維導(dǎo)圖 你學(xué)會(huì)了嗎？畫出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！ 四、 出門測(cè) 26. 已知隨機(jī)事件 ， ， 中， 與 互斥， 與 對(duì)立，且 ， ，則 （ ）． A. B. C. D. 27. 在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，事件 ， ， 彼此互斥，它們的和為必然事件，則下列說(shuō)法正確的是（ ）． A. B. C. 與 是互斥事件，也是對(duì)立事件 與 是互斥事件，也是對(duì)立事件 與 是互斥事件，但不是對(duì)立事件 D. 與 是互斥事件，也是對(duì)立事件 28. 把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲 次，其中有 次正面朝上， 次反面朝上，則硬幣正面朝上 的頻率為 ，擲一次硬幣正面朝上的概率為 ． 29. 甲、乙兩人各投籃 次，設(shè)甲的命中率是 ，乙的命中率是 ．求：（ 1 ）兩人都命中的概率． （ 2 ）至少一人命中的概率． （ 3 ）恰有一人命中的概率． 13

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