第十章　§10.1　隨機(jī)事件與概率10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)XUE XI MU BIAO1.理解事件的關(guān)系和運(yùn)算.2.通過事件之間的運(yùn)算，理解互斥事件和對(duì)立事件的概念.內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PART ONE知識(shí)點(diǎn)一　事件的關(guān)系一定包含A＝B知識(shí)點(diǎn)二　并事件與交事件至少同時(shí)A∩B(或AB)知識(shí)點(diǎn)三　互斥事件和對(duì)立事件不能同時(shí)有且僅有一個(gè)思考辨析 判斷正誤SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若A，B表示隨機(jī)事件，則A∩B與A∪B也表示事件.(　　)2.若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件也是對(duì)立事件.(　　)3.若兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則這兩個(gè)事件也是互斥事件.(　　)4.若事件A與B是互斥事件，則在一次試驗(yàn)中事件A和B至少有一個(gè)發(fā)生.(　　)√×√×2題型探究PART TWO例1　某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)”，事件C為“至多訂一種報(bào)”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)也不訂”.判斷下列事件是否為互斥事件，如果是，判斷它們是否為對(duì)立事件.(1)A與C；一、互斥事件和對(duì)立事件的判斷解　由于事件C“至多訂一種報(bào)”中可能只訂甲報(bào)，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件.(2)B與E；解　事件B“至少訂一種報(bào)”與事件E“一種報(bào)也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故事件B與E是互斥事件.由于事件B和事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E也是對(duì)立事件.(3)B與D；解　事件B“至少訂一種報(bào)”中有可能只訂乙報(bào)，即有可能不訂甲報(bào)，也就是說事件B發(fā)生，事件D也可能發(fā)生，故B與D不是互斥事件.(4)B與C；解　事件B“至少訂一種報(bào)”中有3種可能：“只訂甲報(bào)”，“只訂乙報(bào)”，“訂甲、乙兩種報(bào)”.事件C“至多訂一種報(bào)”中有3種可能：“一種報(bào)也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”.即事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件.(5)C與E.解　由(4)的分析可知，事件E“一種報(bào)也不訂”僅僅是事件C的一種可能，事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生，故C與E不是互斥事件.判斷兩個(gè)事件是否為互斥事件，主要看它們?cè)谝淮卧囼?yàn)中能否同時(shí)發(fā)生，若不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件是互斥事件，若能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)事件不是互斥事件；判斷兩個(gè)事件是否為對(duì)立事件，主要看在一次試驗(yàn)中這兩個(gè)事件是否同時(shí)滿足兩個(gè)條件：一是不能同時(shí)發(fā)生；二是必有一個(gè)發(fā)生.這兩個(gè)條件同時(shí)成立，那么這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，只要有一個(gè)條件不成立，那么這兩個(gè)事件就不是對(duì)立事件.跟蹤訓(xùn)練1　(1)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品不全是次品}，則下列結(jié)論正確的序號(hào)有________.①A與B互斥；②B與C互斥；③A與C互斥；④A與B對(duì)立；⑤B與C對(duì)立.①②⑤解析　A＝{三件產(chǎn)品全不是次品}指的是三件產(chǎn)品都是正品，B＝{三件產(chǎn)品全是次品}，C＝{三件產(chǎn)品不全是次品}包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個(gè)事件，由此知：A與B是互斥事件，但不對(duì)立；A與C是包含關(guān)系，不是互斥事件，更不是對(duì)立事件；B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件.所以正確結(jié)論的序號(hào)有①②⑤.(2)有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是A.互斥但非對(duì)立事件 B.對(duì)立事件C.非互斥事件 D.以上都不對(duì)√解析　由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對(duì)立事件.二、事件的運(yùn)算例2　盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}.求：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？解　對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為：1個(gè)紅球、2個(gè)白球或2個(gè)紅球、1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)事件C與A的交事件是什么事件？解　對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球或2個(gè)紅球、1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.延伸探究在本例中，設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？解　由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球、2個(gè)白球，2個(gè)紅球、1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球、2個(gè)紅球，2個(gè)白球、1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球、2個(gè)白球，2個(gè)紅球、1個(gè)白球}＝D.事件間的運(yùn)算方法(1)利用事件間運(yùn)算的定義.列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算.(2)利用Venn圖.借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2　在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件.例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；解　因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1.(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.解　因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.三、隨機(jī)事件的表示及含義例3　設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.(1)三個(gè)事件都發(fā)生；解　ABC.(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；解　A∪B∪C.(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.延伸探究本例條件不變，試用A，B，C表示以下事件.(1)三個(gè)事件都不發(fā)生；(2)三個(gè)事件至少有兩個(gè)發(fā)生.清楚隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系有助于解決此類問題.跟蹤訓(xùn)練3　5個(gè)相同的小球，分別標(biāo)上數(shù)字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取兩個(gè)小球.記事件A為“第一次抽取的小球上的數(shù)字為奇數(shù)”，事件B為“抽取的兩個(gè)小球上的數(shù)字至少有一個(gè)是偶數(shù)”，事件C為“兩個(gè)小球上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，試用集合的形式表示A，B，C，A∩B，解　總的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，3隨堂演練PART THREE123451.某人射擊一次，設(shè)事件A為“擊中環(huán)數(shù)小于4”，事件B為“擊中環(huán)數(shù)大于4”，事件C為“擊中環(huán)數(shù)不小于4”，事件D為“擊中環(huán)數(shù)大于0且小于4”，則正確的關(guān)系是A.A與B為對(duì)立事件 B.B與C為互斥事件C.C與D為對(duì)立事件 D.B與D為互斥事件√123452.抽查10件產(chǎn)品，記事件A為“至少有2件次品”，則A的對(duì)立事件為A.至多有2件次品 B.至多有1件次品C.至多有2件正品 D.至少有2件正品√解析　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品.共9種結(jié)果，故它的對(duì)立事件為含有1或0件次品，即至多有1件次品.3.(多選)設(shè)A，B是兩個(gè)任意事件，下面關(guān)系正確的是A.A＋B＝A B.A＋AB＝AC. D.A(A＋B)＝A√√解析　若A＋B＝A，則B?A，故A錯(cuò)誤；由題知，AB?A∴A＋AB＝A，B正確；∵A?(A＋B)，∴A(A＋B)＝A，D正確.12345123454.甲、乙兩人破譯同一個(gè)密碼，令甲、乙破譯出密碼分別為事件A，B，則 表示的含義是__________________，事件“密碼被破譯”可表示為______________.只有一人破譯密碼123455.從0,1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).事件A表示組成的兩位數(shù)是偶數(shù)，事件B表示組成的兩位數(shù)中十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，則事件A∩B用樣本點(diǎn)表示為__________________________.{10,20,30,40,50,32,42,52,54}課堂小結(jié)KE TANG XIAO JIE1.知識(shí)清單：(1)事件的包含關(guān)系與相等關(guān)系.(2)并事件和交事件.(3)互斥事件和對(duì)立事件.2.方法歸納：列舉法、Venn圖法.3.常見誤區(qū)：互斥事件和對(duì)立事件之間的關(guān)系易混淆.4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PART FOUR基礎(chǔ)鞏固1.從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，若事件A “所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”，則與事件A互斥的事件是A.所取的3個(gè)球中至少有一個(gè)白球B.所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球C.所取的3個(gè)球都是黑球D.所取的3個(gè)球中恰有1個(gè)白球2個(gè)黑球√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　從裝有4個(gè)黑球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，事件A為“所取的3個(gè)球中至多有1個(gè)白球”，事件A的互斥事件是所取的3個(gè)球中多于1個(gè)白球，∴事件A的互斥事件是所取的3個(gè)球中恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球.故選B.123456789101112131415162.許洋說：“本周我至少做完三套練習(xí)題.”設(shè)許洋所說的事件為A，則A的對(duì)立事件為A.至多做完三套練習(xí)題 B.至多做完兩套練習(xí)題C.至多做完四套練習(xí)題 D.至少做完兩套練習(xí)題√解析　至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6，…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題.123456789101112131415163.向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件A表示兩次點(diǎn)數(shù)之和小于10，事件B表示兩次點(diǎn)數(shù)之和能被5整除，則事件 用樣本點(diǎn)表示為A.{(5,5)} B.{(4,6)，(5,5)}C.{(6,5)，(5,5)} D.{(4,6)，(6,4)，(5,5)}√A.必然事件 B.不可能事件C.A與B恰有一個(gè)發(fā)生 D.A與B不同時(shí)發(fā)生√12345678910111213141516123456789101112131415165.(多選)某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥事件的是A.“恰有一名男生”和“全是男生”B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C.“至少有一名男生”和“全是男生”D.“至少有一名男生”和“全是女生”√√12345678910111213141516解析　A是互斥事件，恰有一名男生的實(shí)質(zhì)是選出的兩人中有一名男生和一名女生，它與全是男生不可能同時(shí)發(fā)生；B不是互斥事件，當(dāng)選出的兩人是一男一女時(shí)，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生；C不是互斥事件；D是互斥事件.123456789101112131415166.設(shè)某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{2,3,4}，B＝{3,4,5}.則：(1)A∪B＝_________；(2) ∩B＝____.{2,3,4,5}{5}7.在某大學(xué)的學(xué)生中任選一名學(xué)生，若事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示該生是大三學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員，則事件的含義是______________________________.12345678910111213141516該生是大三男生，但不是運(yùn)動(dòng)員123456789101112131415168.現(xiàn)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理和化學(xué)共5本書，從中任取1本，記取到語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)書分別為事件A，B，C，D，E，則事件取出的是理科書可記為__________.B∪D∪E9.從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書.設(shè)A＝{數(shù)學(xué)書}；B＝{中文版的書}；C＝{2000年后出版的書}.問：(1)A∩B∩ 表示什么事件？12345678910111213141516解　A∩B∩ ＝{2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書}.(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?解　在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.12345678910111213141516(3)如果 ＝B，那么是否意味著圖書室中的所有的數(shù)學(xué)書都不是中文版的？解　是. ＝B意味著圖書室中的非數(shù)學(xué)書都是中文版的，而且所有的中文版的書都不是數(shù)學(xué)書.10.連續(xù)拋擲兩枚骰子，觀察落地時(shí)的點(diǎn)數(shù).記事件A＝{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)相同}，事件B＝{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4}，事件C＝{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為4}，事件D＝{兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為6}.(1)用樣本點(diǎn)表示事件C∩D，A∪B；解　由題意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}.C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}.1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，則事件E與已知事件是什么運(yùn)算關(guān)系？解　E＝B∪C.綜合運(yùn)用11.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機(jī)}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機(jī)}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機(jī)}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是A.A?D B.B∩D＝?C.A∪C＝D D.A∪B＝B∪D√123456789101112131415161234567891011121314151612.(多選)一箱產(chǎn)品有正品4件、次品3件，從中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有A.“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B.“至少有1件次品”和“都是次品”C.“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D.“至少有1件次品”和“都是正品”√√12345678910111213141516解析　對(duì)于A，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，與“2件都是次品”顯然是互斥事件；對(duì)于B，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是次品”可能同時(shí)發(fā)生，因此這兩個(gè)事件不是互斥事件；對(duì)于C，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，與“至少有1件次品”不是互斥事件；對(duì)于D，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，與“都是正品”顯然是互斥事件，故AD是互斥事件.13.盒子內(nèi)分別有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，1個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，則下列選項(xiàng)中的兩個(gè)事件互斥而不對(duì)立的是A.至少有1個(gè)白球，至多有1個(gè)白球B.至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球C.至少有1個(gè)白球，沒有白球D.至少有1個(gè)白球，紅球、黑球各1個(gè)√1234567891011121314151612345678910111213141516解析　當(dāng)取出的2個(gè)球是1白1紅時(shí)，A中兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，所以A中的兩個(gè)事件不是互斥事件，此時(shí)B也一樣，所以排除A，B；C中，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但是必有一個(gè)發(fā)生，所以C中的兩個(gè)事件是對(duì)立事件，所以排除C；D中，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但是當(dāng)取出的2個(gè)球都是紅球時(shí)，這兩個(gè)事件都沒有發(fā)生，所以D中的兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件.14.電路如圖所示.用A表示事件“電燈變亮”，用B，C，D依次表示“開關(guān)Ⅰ閉合”“開關(guān)Ⅱ閉合”“開關(guān)Ⅲ閉合”，則A＝________________________.(用B，C，D間的運(yùn)算關(guān)系式表示)12345678910111213141516(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)拓廣探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151616.某班要進(jìn)行一次辯論比賽，現(xiàn)有4名男生和2名女生隨機(jī)分成甲、乙兩個(gè)辯論小組，每組3人.考慮甲組的人員組成情況，記事件Ak＝“甲組有k名女生”.(1)事件A1含有多少個(gè)樣本點(diǎn)？解　用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因?yàn)槭录嗀1＝“甲組有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12個(gè)樣本點(diǎn).(2)若事件B＝“甲組至少有一名女生”，則事件B與事件Ak有怎樣的運(yùn)算關(guān)系？解　事件B＝“甲組至少有一名女生”，其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生，所以B＝A1∪A2.12345678910111213141516本課結(jié)束

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