概率 類型1　隨機(jī)事件與概率 1．近幾年高考突出考查了以頻率估計(jì)概率，對概率加法公式及對立事件發(fā)生的概率考查較少．這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)是概率知識(shí)的基礎(chǔ)，應(yīng)重點(diǎn)把握． 2．求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \x\to(A))求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法． 【例1】　某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得．1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè)．設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率； (3)1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率． [解]　(1)P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20)． 故事件A，B，C的概率分別為eq \f(1,1 000)，eq \f(1,100)，eq \f(1,20)． (2)1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)包含中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)．設(shè)“1張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)”這個(gè)事件為M，則M＝A∪B∪C． ∵A，B，C兩兩互斥， ∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000)． 故1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為eq \f(61,1 000)． (3)設(shè)“1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)”為事件N，則事件N與“1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)或中一等獎(jiǎng)”為對立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000)． 故1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率為eq \f(989,1 000)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq \f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq \f(5,12)，得到黃球或綠球的概率也是eq \f(5,12)，試求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少？ [解]　從袋中選取一個(gè)球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“得到綠球”分別為事件A，B，C，D，則有P(A)＝eq \f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)， P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)， 解得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4)， 因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4)． 類型2　古典概型 1．古典概型是每年高考的必考點(diǎn)，可以單獨(dú)考查，也可以與統(tǒng)計(jì)中的直方圖綜合考查．計(jì)算時(shí)，掌握必要的計(jì)數(shù)方法(如列舉法、樹狀圖等)，并合理利用互斥事件、對立事件的概率公式，進(jìn)行概率計(jì)算． 2．求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這就需要正確求出試驗(yàn)的樣本空間，樣本空間的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇． 【例2】　袋中有形狀、大小都相同的4個(gè)小球， (1)若4個(gè)小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，求這2只球顏色不同的概率； (2)若4個(gè)小球顏色相同，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4，從中一次取兩球，求標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)的概率； (3)若4個(gè)小球中有1只白球，1只紅球，2只黃球，有放回地取球，取兩次，求兩次取得球的顏色相同的概率． [解]　(1)設(shè)取出的2只球顏色不同為事件A． 試驗(yàn)的樣本空間Ω＝ {(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃2)}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含5個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)＝eq \f(5,6)． (2)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝ {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)標(biāo)號(hào)和為奇數(shù)為事件B，則B包含的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4個(gè)， 所以P(B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)． (3)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(白，白)，(白，紅)，(白，黃1)，(白，黃2)，(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃1)，(紅，黃2)，(黃1，黃1)，(黃1，白)，(黃1，紅)，(黃1，黃2)，(黃2，黃2)，(黃2，白)，(黃2，紅)，(黃2，黃1)}，共16個(gè)樣本點(diǎn)，其中顏色相同的有6個(gè)，故所求概率為P＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率． [解]　(1)由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36種． a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)， 所以事件a⊥b的概率為eq \f(2,36)＝eq \f(1,18)． (2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有6種：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，其概率為eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)． 類型3　事件的相互獨(dú)立性 1．高考對相互獨(dú)立事件的考查主要是判斷相互獨(dú)立事件、計(jì)算相互獨(dú)立事件的概率，多出現(xiàn)在解答題，難度中等． 2．相互獨(dú)立事件中求復(fù)雜事件概率的解題思路 (1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的簡單事件的和． (2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件． (3)代入概率的積、和公式求解． 【例3】　在一場娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1到5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中選3名歌手． (1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率； (2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2”的事件概率． [解]　(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，觀眾甲選出3名歌手的樣本空間Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事件A包含2個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)＝eq \f(2,3)， 設(shè)B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”， 觀眾乙選出3名歌手的樣本空間 Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事件B包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則P(B)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)． ∵事件A與B相互獨(dú)立，A與eq \x\to(B)相互獨(dú)立，則Aeq \x\to(B)表示事件“甲選中3號(hào)歌手，且乙沒選中3號(hào)歌手”．∴P(Aeq \x\to(B))＝P(A)·P(eq \x\to(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)． 即觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率是eq \f(4,15)． (2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則P(C)＝P(B)＝eq \f(3,5)， 依題意，A，B，C相互獨(dú)立，eq \x\to(A)，eq \x\to(B)，eq \x\to(C)相互獨(dú)立， 且ABeq \x\to(C)，Aeq \x\to(B)C，eq \x\to(A)BC，ABC彼此互斥． 又P(X＝2)＝P(ABeq \x\to(C))＋P(Aeq \x\to(B)C)＋P(eq \x\to(A)BC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,75)， P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,75)， ∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(33,75)＋eq \f(18,75)＝eq \f(17,25)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是(　　) A．eq \f(5,12)　　　B．eq \f(1,2)　　　C．eq \f(7,12)　　　D．eq \f(3,4) D　[P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\to(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,2)． A，B中至少有一件發(fā)生的概率為1－P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，故選D．] 4．(2020·天津高考)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq \f(1,2)和eq \f(1,3)．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為________． eq \f(1,6)　eq \f(2,3)　[依題意得，甲、乙兩球都落入盒子的概率為eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,3)，則甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．] 類型4　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 1．此類問題多涉及古典概型、互斥事件、對立事件以及頻率分布直方圖等內(nèi)容，既有選擇題，也有解答題． 2．破解概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合問題的三個(gè)步驟 第一步：會(huì)讀圖，能讀懂已知統(tǒng)計(jì)圖表所隱含的信息，并會(huì)進(jìn)行信息提取． 第二步：會(huì)轉(zhuǎn)化，對文字語言較多的題目，需要根據(jù)題目信息耐心閱讀，步步實(shí)現(xiàn)文字語言與符號(hào)語言間的轉(zhuǎn)化． 第三步：會(huì)運(yùn)算，對統(tǒng)計(jì)圖表所反饋的信息進(jìn)行提取后，結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算． 【例4】　某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]． (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率； (3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率． [解]　(1)因?yàn)?0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006． (2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4． (3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3； 受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2． 從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)．又因?yàn)樗槿?人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即(B1，B2)，故所求的概率為eq \f(1,10)． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 5．海關(guān)對同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測． (1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率． [解]　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq \f(6,50＋150＋100)＝eq \f(1,50)， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq \f(1,50)＝1,150×eq \f(1,50)＝3,100×eq \f(1,50)＝2． 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2． (2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2． 則從6件樣品中抽取2件商品，試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15個(gè)樣本點(diǎn)． 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事件D包含的樣本點(diǎn)有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4個(gè)，所以P(D)＝eq \f(4,15)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq \f(4,15)． 1．(2018·全國卷Ⅲ)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為(　　) A．0.3　　　　B．0.4　　　　C．0.6　　　　D．0.7 B　[設(shè)“只用現(xiàn)金支付”為事件A，“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”為事件B，“不用現(xiàn)金支付”為事件C，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4．故選B．] 2．(2019·全國卷Ⅱ)生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為(　　) A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,5) C．eq \f(2,5) D．eq \f(1,5) B　[設(shè)5只兔子中測量過某項(xiàng)指標(biāo)的3只為a1，a2，a3，未測量過這項(xiàng)指標(biāo)的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能．其中恰有2只測量過該指標(biāo)的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能． 故恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)．故選B．] 3．(2020·全國卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(　　) A．eq \f(1,5) B．eq \f(2,5) C．eq \f(1,2) D．eq \f(4,5) A　[根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有10種可能情況，分別為(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3點(diǎn)共線有(OAC)和(OBD)2種可能情況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，取到的3點(diǎn)共線的概率為eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，故選A．] 4．(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是________． 0.18　[記事件M為甲隊(duì)以4∶1獲勝，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18．] 5．(2020·全國卷Ⅰ)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級．加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元．該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù)．甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件．廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下： 甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表 乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表 (1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率； (2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？ [解]　(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知， 甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為eq \f(40,100)＝0.4； 乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計(jì)值為eq \f(28,100)＝0.28． (2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為 因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為eq \f(65×40＋25×20－5×20－75×20,100)＝15． 由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為 因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為 eq \f(70×28＋30×17＋0×34－70×21,100)＝10． 比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤，應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù)． 地區(qū)ABC數(shù)量/件50150100等級ABCD頻數(shù)40202020等級ABCD頻數(shù)28173421利潤6525－5－75頻數(shù)40202020利潤70300－70頻數(shù)28173421

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

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版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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