10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算 在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事件：C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5}，E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，F(xiàn)＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4}，G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù))，H＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}． 問(wèn)題：在上述事件中，(1)事件C1與事件C2的并事件是什么？(2)事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系？(3)事件C1與事件C2間有什么關(guān)系？(4)事件E與事件F間有什么關(guān)系？ 知識(shí)點(diǎn)　事件的關(guān)系和運(yùn)算 1．包含關(guān)系 2．并事件(和事件) 3．交事件(積事件) 4．互斥(互不相容) 5．互為對(duì)立 (1)一粒骰子擲一次，記事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}，事件C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3}，則事件A，C，D有什么關(guān)系？ (2)命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對(duì)立事件”什么關(guān)系？(指充分性與必要性) [提示]　(1)A＝C∩D． (2)根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對(duì)立事件”的必要不充分條件． 1．思考辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”) (1)若兩個(gè)事件是互斥事件，則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件． (　　) (2)若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件． (　　) (3)事件A∪B是必然事件，則事件A和B是對(duì)立事件． (　　) [答案]　(1)×　 (2)√　 (3)× 2．許洋說(shuō)：“本周我至少做完3套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說(shuō)的事件為A，則A的對(duì)立事件為(　　) A．至多做完3套練習(xí)題 B．至多做完2套練習(xí)題 C．至多做完4套練習(xí)題 D．至少做完3套練習(xí)題 B　[至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4,5,6…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題．] 3．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是(　　) A．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球” B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球” C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球” D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球” C　[A中的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，故不互斥；同樣，B中兩個(gè)事件也可同時(shí)發(fā)生，故不互斥；D中兩個(gè)事件是對(duì)立的，故選C．] 類型1　事件關(guān)系的判斷 【例1】　對(duì)一箱產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查檢驗(yàn)，如果查出2個(gè)次品就停止檢查，最多檢查3個(gè)產(chǎn)品． 寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間Ω，并用樣本點(diǎn)表示事件：A＝{至少有2個(gè)正品}，B＝{至少1個(gè)產(chǎn)品是正品}；并判斷事件A與事件B的關(guān)系． [解]　依題意，檢查是有序地逐個(gè)進(jìn)行，至少檢查2個(gè)，最多檢查3個(gè)產(chǎn)品．如果用“0”表示查出次品，用“1”表示查出正品，那么樣本點(diǎn)至少是一個(gè)二位數(shù)，至多是一個(gè)三位數(shù)的有序數(shù)列．樣本空間Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}． A＝{011,101,110,111}． B＝{010,011,100,101,110,111}， 所以A?B． 包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定 (1)事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似． (2)兩事件相等的實(shí)質(zhì)為相同事件，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．同時(shí)擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件A，向上面至少有一枚是正面為事件B，則有(　　) A．A?B　　　　 B．A?B C．A＝B D．A與B之間沒(méi)有關(guān)系 A　[由事件的包含關(guān)系知A?B．] 類型2　事件的運(yùn)算 【例2】　(對(duì)接教材P232例6)在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件，如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝{出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}． (1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系； (2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C． 1．事件A與事件B的并事件(或和事件)的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？ [提示]　事件A與事件B的并事件(或和事件)的樣本點(diǎn)是由在事件A中，或者在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的． 2．事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？ [提示]　事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點(diǎn)是由既在事件A中，也在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的． 3．“事件B包含事件A”“事件A與事件B的并事件”“事件A與事件B的交事件”分別對(duì)應(yīng)集合中的哪些關(guān)系或運(yùn)算？ [提示]　“事件B包含事件A”對(duì)應(yīng)于集合A是集合B的子集；“事件A與事件B的并事件”對(duì)應(yīng)集合A和集合B的并集，“事件A與事件B的交事件”對(duì)應(yīng)集合A與集合B的交集． [解]　在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6． (1)事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C；事件A與D互斥，但不對(duì)立；事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件． (2)A∩B＝?， A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4}， A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,4或6}． B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}． B∪C＝ A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或5}． 1．在例2的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C． [解]　A∩C＝A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5}， B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}． 2．用事件Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事件： ①B∪D；②C∪D． [解]　B∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6． C∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6． 事件間的運(yùn)算方法 (1)利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算． (2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想，分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進(jìn)行運(yùn)算． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}． 求：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？ (2)事件C與A的交事件是什么事件？ [解]　(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球，2個(gè)白球或2個(gè)紅球，1個(gè)白球，故D＝A∪B． (2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球，2個(gè)白球或2個(gè)紅球，1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A． 類型3　互斥事件與對(duì)立事件 【例3】　某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱，記事件A為“只訂甲報(bào)”，事件B為“至少訂一種報(bào)紙”，事件C為“至多訂一種報(bào)紙”，事件D為“不訂甲報(bào)”，事件E為“一種報(bào)紙也不訂”．判斷下列每組事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對(duì)立事件： (1)A與C；(2)B與C；(3)B與D；(4)B與E；(5)A與E． [解]　(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”，即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生，故A與C不是互斥事件． (2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”．事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”．也就是說(shuō)事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生，故B與C不是互斥事件． (3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”，即有可能“不訂甲報(bào)”，也就是說(shuō)事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生，故B與D不是互斥事件． (4)由于事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的，故B與E是互斥事件；由于事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生，故B與E是對(duì)立事件． (5)事件A“只訂甲報(bào)”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”不可能同時(shí)發(fā)生，故A與E是互斥事件．但A與E不是必有一個(gè)發(fā)生，比如“只訂乙報(bào)”，故A與E不是對(duì)立事件． 互斥事件、對(duì)立事件的判定方法 (1)從發(fā)生的角度看 ①在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生； ②兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生．即兩事件對(duì)立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對(duì)立．對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例． (2)從事件個(gè)數(shù)的角度看 互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．2021年某省新高考將實(shí)行“3＋1＋2”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B(　　) A．是互斥事件，不是對(duì)立事件 B．是對(duì)立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D．既不是互斥事件也不是對(duì)立事件 A　[事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，他還可以選擇化學(xué)和政治，不是對(duì)立事件．] 4．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球，用集合的形式分別寫(xiě)出下列事件，并判斷每對(duì)事件的關(guān)系： (1)至少有1個(gè)白球，都是白球； (2)至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球； (3)至少有1個(gè)白球，都是紅球． [解]　給兩個(gè)紅球編號(hào)為1,2，給兩個(gè)白球編號(hào)為3,4，從口袋中任取兩個(gè)球，用(x，y)表示取出的兩個(gè)球，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，設(shè)A＝“至少有1個(gè)白球”，則A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}． (1)設(shè)B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B?A．即A和B不是互斥事件． (2)設(shè)C＝“至少有一個(gè)紅球”， 則C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}， 因?yàn)锳∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}， 所以A和C不互斥． (3)設(shè)D＝“都是紅球”，則D＝{(1,2)}， 因?yàn)锳∪D＝Ω，A∩D＝?，所以A和D為對(duì)立事件． 1．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述各對(duì)事件中，是對(duì)立事件的是(　　) A．①　　　B．②④　　　C．③　　　D．①③ C　[從1,2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個(gè)事件才是對(duì)立事件．] 2．把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(　　) A．對(duì)立事件 B．互斥但不對(duì)立事件 C．不可能事件 D．以上說(shuō)法都不對(duì) B　[因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；但這兩個(gè)事件加起來(lái)并不是總體事件，所以它們不是對(duì)立事件．] 3．(多選題)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，A，B，C，D是彼此互斥的事件，且A＋B＋C＋D是必然事件，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．A＋B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件 B．B＋C與D是互斥事件，但不是對(duì)立事件 C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對(duì)立事件 D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對(duì)立事件 BD　[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是必然事件，故事件的關(guān)系如圖所示．由圖可知，任何一個(gè)事件與其余三個(gè)事件的和事件互為對(duì)立，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件中任何一個(gè)是互斥事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件互為對(duì)立，故B，D中的說(shuō)法正確．] 4．袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則：①恰有1個(gè)紅球和全是白球；②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球．在上述事件中，是對(duì)立事件的為_(kāi)_______． ②　[①是互斥不對(duì)立的事件，②是對(duì)立事件，③④不是互斥事件．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問(wèn)題： (1)事件間的關(guān)系有哪些？如何辨析？ (2)互斥事件與對(duì)立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義．(重點(diǎn)) 2．能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過(guò)隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．定義一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B ?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A＝B定義一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∪B(或A＋B)圖形表示定義一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B(或AB)圖形表示定義一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?圖形表示定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立．事件A的對(duì)立事件記為 eq \o(A,\s\up6(－))含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示

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