人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修二講義14期末綜合復(fù)習(xí)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

期末綜合復(fù)習(xí) 一、課堂目標(biāo) 1．掌握平面向量的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用． 2．掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用． 3．掌握空間立體圖形的結(jié)構(gòu)，會(huì)求相應(yīng)圖形的體積和表面積． 4．熟練掌握證明平行、垂直的方法，會(huì)求空間中的角與距離． 5．掌握概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)及其應(yīng)用．【備注】【教師指導(dǎo)】 1.本講主要對(duì)期末考試前進(jìn)行總體的復(fù)習(xí)，以思維導(dǎo)圖的形式展現(xiàn)每章對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)，要求老師注重基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，對(duì)于學(xué)生沒(méi)有掌握的知識(shí)點(diǎn)要重點(diǎn)復(fù)習(xí).本講的題目全部是期末考試的考題，難度不是非常大，重點(diǎn)是要求學(xué)生熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，熟練求解中等左右的題型，復(fù)習(xí)要做到穩(wěn)重和扎實(shí). 2.本講關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)：平面向量、解三角形、復(fù)數(shù)、空間立體幾何、統(tǒng)計(jì)、概率. 二、知識(shí)講解 1. 平面向量及其應(yīng)用知識(shí)精講【備注】【教師指導(dǎo)】 1.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 、，使． 2.一個(gè)結(jié)論：若、、三點(diǎn)滿足，其中，則、、三點(diǎn)共線． 3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：已知向量（1）平面向量加法運(yùn)算坐標(biāo)表示：（2）平面向量減法運(yùn)算坐標(biāo)表示：（3）平面向量數(shù)乘運(yùn)算坐標(biāo)表示：（5）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：已知，， 4.正弦定理變形式：① ； ② ； ③ ；；； ④ . 5.正弦定理的應(yīng)用： ①已知兩角和任意一邊，求另一角和其它的兩條邊； ②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的角和邊. 6.余弦定理的應(yīng)用： ①已知三邊，求各角； ②已知兩邊和它們的夾角，求第三條邊和其它的兩個(gè)角； ③已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的角和邊． 7.三角形面積公式：經(jīng)典例題 1. 若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為（）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查求向量的夾角問(wèn)題. 【答案】C 【解析】，，， ∴ ，則，故與的夾角為．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】向量的夾角的判斷；向量的數(shù)量積的定義；利用向量數(shù)量積求夾角；平面向量數(shù)量積運(yùn)算（非坐標(biāo)）；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律鞏固練習(xí) 2. 設(shè) ，是單位向量，且，的夾角為，若，，則；在方向上的投影為．【答案】 ; 【解析】由平面向量的數(shù)量積的定義，可得，，，即，所以在方向上的投影為．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】利用投影解決平面向量的數(shù)量積；平面向量數(shù)量積運(yùn)算（非坐標(biāo)）；向量的投影；向量的數(shù)量積的定義經(jīng)典例題 3. 已知邊長(zhǎng)為的菱形中，點(diǎn) 為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) 滿足，，則的最小值為（）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】本題的重點(diǎn)是建立合適的平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算. 【答案】B 【解析】由題意知：，設(shè) （）， ∴ ，解得，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示： y x O ∴ ，．設(shè) ，則，， ∴ ，當(dāng) 時(shí)，．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積的最值問(wèn)題；線性運(yùn)算和數(shù)量積綜合問(wèn)題鞏固練習(xí) 4. 如圖，在中，，若，則的值為；是上的一點(diǎn)，若，則的值為．【答案】 ; 【解析】因?yàn)樵?中，，所以，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn) 是上的一點(diǎn)，設(shè) ，由，可得，又因?yàn)?，所以，解得，所以，綜上所述，，．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量線性運(yùn)算綜合（非坐標(biāo)）；平面向量基本定理及其意義經(jīng)典例題 5. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（ 1 ）求角的大?。?（ 2 ）如果，，求的面積．【備注】【教師指導(dǎo)】解三角形綜合題，主要利用正余弦定理求邊角問(wèn)題，利用面積公式求三角形面積. 【答案】（ 1 ）．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）∵ ， ∴ ，由余弦定理可得：，又， ∴ ．（ 2 ）如果，則，由正弦定理可得：，，則，， ∴ ．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式；正弦定理；正余弦定理綜合求解邊角；余弦定理鞏固練習(xí) 6. 如圖，河邊有一座塔，其高為，河對(duì)面岸上有，兩點(diǎn)與塔底在同一水平面上，由塔頂部測(cè)得，兩點(diǎn)的俯角分別為和，而且，兩點(diǎn)分別與塔底部連線成角，則，兩點(diǎn) 的距離為（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在直角三角形中，，可得，在直角三角形中，，可得，且可得．可得．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】測(cè)量距離的問(wèn)題 7. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，．且滿足．（ 1 ）求角．（ 2 ）若的面積為，，求邊．【答案】（ 1 ）（ 2 ）．．【解析】（ 1 ）∵ ， ∴由正弦定理可得：． ∵ ， ∴ ，可得：． ∵ ， ∴ ，可得：， ∴由，可得：．（ 2 ）∵ ，的面積為， ∴可得：，又∵ ， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理；正余弦定理綜合求解邊角；正弦定理；三角形面積公式經(jīng)典例題 8. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量（ 1 ）若，求的值；（ 2 ）若與的夾角為，求的值．，，．【備注】【教師指導(dǎo)】平面向量與三角函數(shù)的綜合，注意結(jié)合三角函數(shù)中相關(guān)公式. 【答案】（ 1 ）．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）由題意得，則，，則， ∵ ， ∴ ．（ 2 ）．，，． ∴ ． ∴ ．． ∵ ， ∴ ， ∴ ．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】輔助角公式；數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式鞏固練習(xí) 9. 在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，若，其中，．（ 1 ）求角的大?。? （ 2 ）若的面積，，求的值．【答案】（ 1 ）．（ 2 ）．【解析】（ 1 ）由已知：，且， ∴ ，中，， ∴ ，， ∴ ，整理得：，解得：或（舍去）， ∵ 為三角形內(nèi)角， ∴ ．綜上所述，結(jié)論是：．（ 2 ）由已知：， ∴ ，中，由余弦定理：， ∴ ，由正弦定理：， ∴ ，， ∴ ．綜上所述，結(jié)論是：．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)表示平面向量的共線；坐標(biāo)表示平面向量的垂直；正弦定理；正余弦定理綜合求解邊角；三角形面積公式 2. 復(fù)數(shù) 知識(shí)精講經(jīng)典例題 10. 若復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，則（）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，注意純虛數(shù)的概念. 【答案】D【解析】，由復(fù)數(shù) 為純虛數(shù)，得解得．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)的乘法和除法；復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算綜合鞏固練習(xí) 11. 設(shè) 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) ，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】由題意得，所以在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 的點(diǎn)為在第二象限．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法和除法 12. 已知復(fù)數(shù) ，，若是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵ ，， ∴ ， ∵ 是實(shí)數(shù)， ∴ ，．故選項(xiàng) 正確．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)的乘法和除法；復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算綜合 3. 立體幾何初步知識(shí)精講經(jīng)典例題 13. 如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，，，，則四棱錐的外接球的體積為（）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查外接球問(wèn)題，重點(diǎn)求外接球的半徑.如果學(xué)生掌握不扎實(shí)，可以再?gòu)?fù)習(xí)一遍《內(nèi)切球與外接球》這一講內(nèi)容. 【答案】D【解析】 ∵ ，， ∴ 平面，又， ∴ 平面， ∴ ，又在中，，，故， ∴ ， ∴ 平面，設(shè) 為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則，作于，因?yàn)?平面，所以平面平面，故平面，連結(jié) ，，則，所以為四棱錐外接球的球心，且球的半徑為，故所求的球的體積為．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面和平面垂直的性質(zhì)；直線和平面垂直的性質(zhì)；空間幾何體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題；組合體求體積、表面積問(wèn)題；空間幾何體的體積鞏固練習(xí) 14. 如果一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，那么圓錐的體積為（）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】已知圓錐的半徑，側(cè)面積，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，圓錐的側(cè)面積，解得，由勾股定理可得，圓錐的高，所以圓錐的體積．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】組合體求體積、表面積問(wèn)題；空間幾何體的體積 15. 設(shè) ，，，是球表面上的四個(gè)點(diǎn)，若，，，且，則球的體積為（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)：， ∴半徑為，所以球的體積．故選：．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的體積；空間幾何體的內(nèi)切球、外接球問(wèn)題 4. 空間立體幾何知識(shí)精講經(jīng)典例題 16. 設(shè) ，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）． A. B. 若若，，，則，，則 C. 若，，，則 D. 若，，，則【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，注意可以借助一些實(shí)物（如墻角）去分析. 【答案】D 【解析】A 選項(xiàng)：若，，則與可以平行，相交或異面，故選項(xiàng)不正確； B 選項(xiàng)：若C 選項(xiàng)：，，則，但與可以平行或異面，故選項(xiàng)不正確；面面垂直的性質(zhì)定理： D 選項(xiàng)：，，∴ ，，∵ ，，∴ ，，則，故選項(xiàng)不正確；，故選項(xiàng)正確．故選 D . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；已知線面位置關(guān)系判定結(jié)論的問(wèn)題鞏固練習(xí) 17. 設(shè) ，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題： ①若，，則 ②若，，，則 ③若，，則 ④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）． A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④ 【答案】A 【解析】對(duì)于①，因?yàn)? ，所以經(jīng)過(guò) 作平面，使，可得，又因?yàn)? ，，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)?且，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】已知線面位置關(guān)系判定結(jié)論的問(wèn)題；點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系經(jīng)典例題 18. 如圖，在幾何體中，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，平面平面，為線段上的一點(diǎn)，，是等邊三角形．（ 1 ）證明：（ 2 ）證明：平面．．（ 3 ）證明：平面平面．【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查證明空間中直線、平面平行與垂直的相關(guān)證明方法，要求學(xué)生熟練掌握. 【答案】（ 1 ）證明見(jiàn)解析．（ 2 ）證明見(jiàn)解析．（ 3 ）證明見(jiàn)解析．【解析】（ 1 ）連接，交于點(diǎn) ，連接，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)， ∴ 為的中位線， ∴ ，又平面，平面， ∴ 平面．（ 2 ）在平行四邊形中，，又平面，平面， ∴ 平面，又平面平面，平面， ∴ （ 3 ）∵ ．為等邊三角形， ∴ ，又為中點(diǎn)， ∴ ，又，，平面，平面， ∴ 平面，又平面， ∴平面平面．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】面面垂直的證明問(wèn)題；平面和平面垂直的判定；直線和平面平行的判定；線面平行的證明問(wèn)題；線線平行的證明問(wèn)題鞏固練習(xí) 19. 如圖所示，在底面是菱形的四棱錐中，，、、分別為、、的中點(diǎn)，（ 1 ）證明：平面．．（ 2 ）證明：平面平面．【答案】（ 1 ）證明見(jiàn)解析．（ 2 ）證明見(jiàn)解析．【解析】（ 1 ）如圖所示：連接，∵四邊形為菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ 為等邊三角形， ∵點(diǎn) 為中點(diǎn)， ∴ ， ∵ 平面，平面， ∴ ， ∵ ， ∵ 平面，平面， ∴ 平面， ∵ 平面， ∴ ．（ 2 ）∵四邊形為菱形， ∴ 且， ∵點(diǎn) 為中點(diǎn)，點(diǎn) 為中點(diǎn)， ∴ ， ∴四邊形為平行四邊形， ∴ ， ∵ 平面，平面， ∴ 平面， ∵點(diǎn) 為中點(diǎn)，點(diǎn) 為中點(diǎn)， ∴ 為中位線， ∴ ， ∵ 平面，平面， ∴ 平面， ∵ 且平面，平面， ∴平面．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】面面平行的證明問(wèn)題；平面和平面平行的判定；直線和平面垂直的性質(zhì)；線線垂直的證明問(wèn)題經(jīng)典例題 20. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，為側(cè)棱上一點(diǎn)．（ 1 ）求證：（ 2 ）求證：平面．．（ 3 ）若為中點(diǎn)，平面與側(cè)棱交于點(diǎn) ，，求四棱錐的體積．【備注】【教師指導(dǎo)】本題的重點(diǎn)是第（3）問(wèn)，求空間幾何體體積，重點(diǎn)找底面面積和對(duì)應(yīng)高的大小，即和底面面積大小. 【答案】（ 1 ）證明見(jiàn)解析．（ 2 ）證明見(jiàn)解析．（ 3 ） . 【解析】（ 1 ）∵底面是正方形， ∴ ，又∵ 平面，平面， ∴ 平面．（ 2 ）正方形中，易知，又∵平面平面，平面平面，平面， ∴ 平面，又∵ 平面， ∴ （ 3 ）∵平面．與棱交于點(diǎn) ， ∴平面平面，又由知平面，平面， ∴ ， ∵ 為中點(diǎn)，∴ 為的中點(diǎn)， ∴ ， ∴ ，又∵ ， ∴ ，又由知，平面， ∵ 平面， ∴ ， ∴ ，又有，平面，平面， ∴ 平面， ∴ 為四棱錐的高，由知， ∴ ，， ∴四邊形為直角梯形，其中，，， ∴ 四邊形又∵ ，， ∴四棱錐的體積為 . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】組合體求體積、表面積問(wèn)題；空間幾何體的體積 21. 如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點(diǎn)．（ 1 ）求證：．（ 2 ）求證：平面．（ 3 ）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn) ，使平面？說(shuō)明理由．【備注】【教師指導(dǎo)】本題重點(diǎn)是第（3）問(wèn)，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題—存在性問(wèn)題，首先假設(shè)這點(diǎn)存在，證明所證問(wèn)題成立即可說(shuō)明存在. 【答案】（ 1 ）證明見(jiàn)解析．（ 2 ）證明見(jiàn)解析．（ 3 ）存在，證明見(jiàn)解析．【解析】（ 1 ）因?yàn)樵谒睦忮F 中，平面，平面，平面平面，所以．（ 2 ）取中點(diǎn) ，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)橛桑?）得，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?平面，平面，所以平面．（ 3 ）取中點(diǎn) ，連接，，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?平面，平面，所以平面，又因?yàn)橛桑?）得平面，，所以平面平面，又是上動(dòng)點(diǎn)，平面，所以平面，所以線段上存在點(diǎn) ，使平面．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平行的探索性問(wèn)題；直線和平面平行的判定鞏固練習(xí) 22. 如圖，設(shè) ，分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法中正確的是（）． A. B. 異面直線三棱錐與所成的角為的體積為定值 C. D. 平面直線與平面與平面所成的二面角大小為所成的角為【答案】BCD 【解析】∵四邊形是正方形， ∴可知，又∵ 在上， ∴ ， ∴直線與直線所成角為，故錯(cuò)誤；設(shè)正方體棱長(zhǎng)為， ∴ ，故為定值，故正確；連接，如圖，圖 ∵ 在上， ∴平面在平面內(nèi)， ∵為正方體， ∴ 平面， ∴ ，， ∴可知平面與平面所成角為， ∴平面與平面所成二面角為，故正確；連接，，交于點(diǎn) ，連接，如圖，圖設(shè)正方體棱長(zhǎng)為， ∴ ， ∵ ，平面， ∴ ，， ∴ 平面， ∴可知與平面所成角， ∴在中可知，又，， ∴在中有余弦定理：， ∴ ，又平面屬于平面， ∴平面與直線所成角為，故正確．綜上所述：、、正確．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】幾何法求空間角；求三棱錐的體積 5. 統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)精講知識(shí)精講【備注】【教師指導(dǎo)】（1）一般地，概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 ：對(duì)任意的事件，都有．性質(zhì)2 ：必然事件的概率為，不可能事件的概率為，即性質(zhì)3 ：如果事件與事件互斥，那么互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個(gè)事件的情況．如果事件，．．，，，兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即．性質(zhì)4：如果事件與事件互為對(duì)立事件，那么．，性質(zhì)5 ：如果，那么．性質(zhì)6 ：設(shè) ，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有 . （2）相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨(dú)立事件互斥事件概念如果事件（或）是否發(fā)生對(duì)事件（或）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，這樣的兩個(gè)事件叫作相互獨(dú)立事件．不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫作互斥事件．符號(hào) 計(jì)算公式相互獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生，記作：互斥事件記作：，中有一個(gè)發(fā)生，（或）經(jīng)典例題 23. 已知一組數(shù)據(jù) ，，，的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù) ，，，的平均數(shù) 與方差分別為（）． A. ， B. ， C. ， D. ，【備注】【教師指導(dǎo)】熟練求解離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征，屬于?？碱}型，難度不大. 【答案】C 【解析】數(shù)據(jù) ，，，，的平均數(shù)為，根據(jù)結(jié)論：方差為．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差鞏固練習(xí) 24. 王明同學(xué)隨機(jī)抽查某市個(gè)小區(qū)所得到的綠化率情況如下表所示：小區(qū)綠化率（）小區(qū)個(gè)數(shù) 則關(guān)于這個(gè)小區(qū)綠化率情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）． A. 方差是 B. 眾數(shù)是 C. 中位數(shù)是 D. 平均數(shù)是【答案】A 【解析】A 選項(xiàng)：方差，故錯(cuò)誤． B 選項(xiàng)：眾數(shù)是，正確． C 選項(xiàng)：中位數(shù)是，正確．D 選項(xiàng)：平均數(shù) ，正確．故選 A . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 25. 某中學(xué)高一年級(jí)有人，高二年級(jí)有人，高三年級(jí)有人，為了解學(xué)校高中學(xué)生視力情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)為（）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因?yàn)楦咭唬焊叨焊呷? ，因?yàn)榉謱映闃?，故?yīng)在高一抽取的人數(shù)為：人．故選擇選項(xiàng)．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣經(jīng)典例題 26. 生物實(shí)驗(yàn)室有只兔子，其中只有只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這只兔子中隨機(jī)取出只，則恰有只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為（）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查古典概型，要求學(xué)生熟練掌握求解古典概型的方法. 【答案】C 【解析】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的只兔子為，，，剩余的只為，，則從這只兔子中任取只的所有取法有：，，，，，，，，，共種，其中恰有只做過(guò)測(cè)試的取法有：，，，，，共種，所以恰有只做過(guò)測(cè)試的概率為，故選：．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型鞏固練習(xí) 27. 已知甲袋中有只白球，只黑球；乙袋中有只白球，只黑球．球只有顏色不同．從兩袋中各取一只，則兩球顏色相同的概率為（）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】設(shè)甲袋中，白球?yàn)? ，黑球?yàn)? ，，乙?guī)е?，白球?yàn)? ，，黑球?yàn)? ，從中各取一只，則共有，，，，，，，，九種情況，其中兩球顏色相同有種，所以概率為．故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型 28. 從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么下列事件中是互斥而不對(duì)立的事件是（）． A. “恰有兩個(gè)白球”與“恰有一個(gè)黑球” B. “至少有一個(gè)白球”與“至少有一個(gè)黑球” C. “都是白球”與“至少有一個(gè)黑球” D. “至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球” 【答案】A 【解析】A 選項(xiàng)：事件：“恰有兩個(gè)白球與事件”與事件”恰有一個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是黑球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確． B 選項(xiàng)：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤． C 選項(xiàng)：“都是白球”與“至少有一個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但是對(duì)立，故錯(cuò)誤．D 選項(xiàng)：“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，故不互斥，故錯(cuò)誤．故選 A . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件；互斥事件與對(duì)立事件的概念辨析經(jīng)典例題 29. 圖①為某省年月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計(jì)圖，圖②為該省年月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計(jì)圖，下列對(duì)統(tǒng)計(jì)圖理解錯(cuò)誤的是（）．快遞業(yè)務(wù)量（萬(wàn)件）同比增長(zhǎng) 月月圖月月快遞業(yè)務(wù)收入萬(wàn)元同比增長(zhǎng) 月月圖月月 A. 年月快遞業(yè)務(wù)量，月最高，月最低，差值接近萬(wàn)件 B. 年月快遞業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率均超過(guò) ，其中月最高 C. 年月中的同一個(gè)月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長(zhǎng)率并不完全一致 D. 從年月來(lái)看，該省快遞業(yè)務(wù)收入同比增長(zhǎng)率逐月增大【備注】【教師指導(dǎo)】本題主要考查根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表進(jìn)行分析，用樣本分布估計(jì)總體分布問(wèn)題. 【答案】D 【解析】A 選項(xiàng)：年業(yè)務(wù)量，月最高，月最低，差值為，接近萬(wàn)件，故正確； B 選項(xiàng)：年的業(yè)務(wù)量同比增長(zhǎng)率分別為，，，，均超過(guò) ，在月最高，故正確； C 選項(xiàng)：月份業(yè)務(wù)量同地增長(zhǎng)率為，而收入的同地增長(zhǎng)率為，正確； D 選項(xiàng)：，，，月收入的同比增長(zhǎng)率分別為，，，，并不是逐月增長(zhǎng)，錯(cuò)誤．故選 D . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】折線圖、總體密度曲線；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題鞏固練習(xí) 30. 下圖為某地區(qū) 年地方財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額折線圖．根據(jù)該折線圖可知，該地區(qū) 年（）． 80 70 60 50 40 30 20 城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額（百億元）地方財(cái)政預(yù)算內(nèi) 收入（百億元） 10 0 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 A. B. C. D. 財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額均呈增長(zhǎng)趨勢(shì) 財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入、城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額的逐年增長(zhǎng)速度相同財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長(zhǎng)量高于城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額年均增長(zhǎng)量城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額與財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入的差額逐年減小【答案】A 【解析】A 選項(xiàng)：由圖知財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入，城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額均呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，故正確；B 選項(xiàng)：由圖知城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額的年增長(zhǎng)速度高于財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入的年增長(zhǎng)速度，故錯(cuò)誤； C 選項(xiàng)：由圖知財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入年平均增長(zhǎng)量低于城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額年平均增長(zhǎng)，故錯(cuò)誤； D 選項(xiàng)：由圖知城鄉(xiāng)居民儲(chǔ)蓄年末余額與財(cái)政預(yù)算內(nèi)收入差額逐年增大，故錯(cuò)誤．故選 A . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】折線圖、總體密度曲線經(jīng)典例題 31. 國(guó)產(chǎn)殺毒軟件進(jìn)行比賽，每個(gè)軟件進(jìn)行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對(duì)病毒進(jìn)行查殺的進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個(gè)軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次是，，，，且各輪考核能否通過(guò)互不影響，則該軟件至多進(jìn)入第三輪考核的概率為．【備注】【教師指導(dǎo)】本題組要考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式. 【答案】【解析】設(shè)事件表示“該軟件能通過(guò)第輪考核”，有已知得，，，，設(shè)事件表示“該軟件至多進(jìn)入第三輪”，則．故答案為：．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式 32. 受突如其來(lái)的新冠疫情的影響，全國(guó)各地學(xué)校都推遲年的春季開(kāi)學(xué)．某學(xué)?！蓖Ｕn不停學(xué)”，利用云課平臺(tái)提供免費(fèi)線上課程．該學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)線上課程的滿意程度，隨機(jī)抽取了名學(xué)生對(duì)該線上課程評(píng)分．其頻率分布直方圖如下：若根據(jù)頻率分布直方圖得到的評(píng)分低于分的概率估計(jì)值為．頻率組距評(píng)分（ 1 ） 1 2 求直方圖中的，值．若評(píng)分的平均值和眾數(shù)均不低于分視為滿意，判斷該校學(xué)生對(duì)線上課程是否滿意？并說(shuō)明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（ 2 ）若采用分層抽樣的方法，從樣本評(píng)分在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取人進(jìn)行測(cè)試來(lái)檢驗(yàn)他們的網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，再?gòu)闹羞x取人進(jìn)行跟蹤分析，求這人中至少一人評(píng)分在內(nèi) 的概率．【備注】【教師指導(dǎo)】統(tǒng)計(jì)與概率綜合體，屬于期末考試的重點(diǎn)，難度不大，要求學(xué)生百分百掌握. 【答案】（ 1 ）1 ，． 2 （ 2 ）該校學(xué)生對(duì)線上課程滿意．．【解析】（ 1 ）1 由已知得，解得，又， 2 ∴ ．由頻率分布直方圖得評(píng)分的眾數(shù)為，評(píng)分的平均值為， ∴該校學(xué)生對(duì)線上課程滿意．（ 2 ）由題知評(píng)分在和內(nèi)的頻率分別為和，則抽取的人中，評(píng)分在內(nèi)的為人，評(píng)分在的有人，記評(píng)分在內(nèi)的位學(xué)生為，，，評(píng)分在內(nèi)的位學(xué)生這，，則從人中任選人的所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，共種，其中，評(píng)分在內(nèi)的可能結(jié)果為，，，共種， ∴這人中至少一人評(píng)分在的概率為．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型；頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 鞏固練習(xí) 33. 為了解某小區(qū) 月用電量情況，通過(guò)抽樣，獲得了戶居民月用電量（單位：度），將數(shù)據(jù)按照，，，分成六組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．頻率組距月電用量度（ 1 ）求頻率分布直方圖中的值．（ 2 ）已知該小區(qū)有（ 3 ）估計(jì)該小區(qū) 戶居民，估計(jì)該小區(qū) 月用電量不低于度的戶數(shù)，并說(shuō)明理由．的居民月用電量的值，并說(shuō)明理由．【答案】（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）．戶，證明見(jiàn)解析．度．【解析】（ 1 ）由頻率分布直方圖可得，解得．（ 2 ）由頻率分布直方圖知，戶居民月用電量不低于度的頻率為，由此可以估計(jì)該小區(qū)有戶居民月用電量不低于度的戶數(shù)為．（ 3 ）由頻率分布直方圖知，月用電量低于度的頻率為，月用電量低于度的頻率為，所以分位數(shù)一定位于區(qū)間內(nèi)，由，由此估計(jì)該小區(qū) 的居民月用電量約為度．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；百分位數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題三、思維導(dǎo)圖你學(xué)會(huì)了嗎？畫(huà)出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！【備注】四、出門測(cè) 34. 設(shè) ，則的虛部為（）． A. B. C. D. 【答案】B【解析】∵ ． ∴ 的虛部為、故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的乘法和除法 35. 如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，那么（）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵ 是中點(diǎn)， ∴ ， ∴ ，故選．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律；平面向量數(shù)量積運(yùn)算（非坐標(biāo)） 36. 如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)．（ 1 ）證明：平面．（ 2 ）證明：．【答案】（ 1 ）證明見(jiàn)解析．（ 2 ）證明見(jiàn)解析．【解析】（ 1 ）因?yàn)?為正方形，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)?為棱的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?平面，所以平面．（ 2 ）因?yàn)?正方形，所以，又因?yàn)?平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)?平面，所以．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的證明問(wèn)題；直線和平面平行的判定；線線垂直的證明問(wèn)題；直線和平面垂直的性質(zhì) 37. 某校高一、高二兩個(gè)年級(jí)共名學(xué)生同時(shí)參與了跳繩、踢毽兩項(xiàng)健身活動(dòng)，為了了解學(xué)生的運(yùn)動(dòng)狀況，采用樣本按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生中分別抽取名和名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，下表是高二年級(jí)的名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：個(gè)/分鐘）. 學(xué)生編號(hào)跳繩個(gè)數(shù)踢毽個(gè)數(shù) （ 1 ）求高一、高二兩個(gè)年級(jí)各有多少人？（ 2 ）從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人，試估計(jì)該學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò) 且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò) 的概率．（ 3 ）高二年級(jí)學(xué)生的兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的成績(jī)哪項(xiàng)更穩(wěn)定？【答案】（ 1 ）（ 2 ）人；人．．（ 3 ）踢毽．【解析】（ 1 ）高一年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為，高二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為．（ 2 ）設(shè)“該學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò) 且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò) ”為事件，由表中數(shù)據(jù)可知，高二年級(jí)選出的這名同學(xué)中每分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò) 且踢毽個(gè)數(shù)超過(guò) 的共有人，所以從這個(gè)人當(dāng)中任選一人，事件發(fā)生的概率為．由此估計(jì)從高二年級(jí)的學(xué)生中任選一人，事件發(fā)生的概率為．（ 3 ）由表中數(shù)據(jù)可以估計(jì)：高二年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，高二年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)的方差為；高二年級(jí)學(xué)生每分鐘踢毽個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，高二年級(jí)學(xué)生每分鐘踢毽個(gè)數(shù)的方差為．因?yàn)?，所以高二年級(jí)學(xué)生踢毽的成績(jī)更穩(wěn)定．【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】古典概型；分層隨機(jī)抽樣；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 39

試卷

人教A版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：第三章直線...

學(xué)案

第16練平面向量的概念和運(yùn)算

試卷

高中數(shù)學(xué)必修二 8.1 基本幾何圖形（第1課時(shí)）棱...

試卷

人教A版必修第二冊(cè) 第六章正弦定理和余弦定理練...

試卷

課時(shí)練 6.2.3向量的數(shù)乘

試卷

人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第6章6-4-3第2課時(shí)正...

學(xué)案

人教A版（2019）必修第二冊(cè) 第八章立體幾何初...

課件

6.2.4　第2課時(shí)　向量數(shù)量積的應(yīng)用同步訓(xùn)練習(xí)題...

試卷

人教A版（2019）必修第二冊(cè) 第十章 10.1.2 事件...

課件

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)《8.6 空間直...

試卷

第七章復(fù)數(shù) B卷能力提升-2021-2022學(xué)年高一數(shù)...

試卷

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作，工作室入駐。