10.3　頻率與概率 10.3.1　頻率的穩(wěn)定性 小剛拋擲一枚硬幣100次，出現(xiàn)正面朝上48次． 問題：(1)你能計(jì)算出正面朝上的頻率嗎？ (2)拋擲一枚硬幣一次，出現(xiàn)正面朝上的概率是多少？ 知識(shí)點(diǎn)　頻率的穩(wěn)定性 1．頻率的穩(wěn)定性 一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性． 2．頻率穩(wěn)定性的作用 可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)． 頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？ [提示]　區(qū)別： (1)在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)概率是度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的量． (3)頻率是一個(gè)變量，隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化，概率是一個(gè)定值，是某事件的固有屬性． 聯(lián)系：對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A)． 1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”) (1)隨機(jī)事件的頻率和概率不可能相等． (　　) (2)隨機(jī)事件的頻率和概率都隨著試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化． (　　) (3)概率能反映隨機(jī)事件發(fā)生可能性的大小，而頻率則不能． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的情況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事件，則A的(　　) A．概率為eq \f(4,5)　　　　 B．頻率為eq \f(4,5) C．頻率為8 D．概率接近于8 B　[做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的頻率為eq \f(m,n)．如果多次進(jìn)行試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，那么這個(gè)常數(shù)才是事件A的概率，故eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)為事件A的頻率．] 3．每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有1個(gè)選項(xiàng)是正確的，某次考試共12道選擇題，某同學(xué)說：“每個(gè)選項(xiàng)正確的概率是eq \f(1,4)，若每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)，則一定有3道題的選擇結(jié)果正確”．這句話(　　) A．正確 B．錯(cuò)誤 C．有一定道理 D．無法解釋 B　[從四個(gè)選項(xiàng)中正確選擇選項(xiàng)是一個(gè)隨機(jī)事件，eq \f(1,4)是指這個(gè)事件發(fā)生的概率，實(shí)際上，做12道選擇題相當(dāng)于做12次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，因此每題都選擇第一個(gè)選項(xiàng)可能沒有一個(gè)正確，也可能有1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，…，12個(gè)正確．因此該同學(xué)的說法是錯(cuò)誤的．] 4．經(jīng)過市場抽檢，質(zhì)檢部門得知市場上食用油合格率為80%，經(jīng)調(diào)查，某市市場上的食用油大約有80個(gè)品牌，則不合格的食用油品牌大約有________個(gè)． 16　[由題意得80×(1－80%)＝80×20%＝16個(gè)．] 類型1　頻率和概率的區(qū)別和聯(lián)系 【例1】　下列說法正確的是(　　) A．由生物學(xué)知道生男生女的概率約為0.5，一對夫婦先后生兩個(gè)小孩，則一定為一男一女 B．一次摸獎(jiǎng)活動(dòng)中，中獎(jiǎng)概率為0.2，則摸5張票，一定有一張中獎(jiǎng) C．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，誰先摸則誰摸到獎(jiǎng)票的可能性大 D．10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1 D　[一對夫婦生兩個(gè)小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正確；中獎(jiǎng)概率為0.2是說中獎(jiǎng)的可能性為0.2，當(dāng)摸5張票時(shí)，可能都中獎(jiǎng)，也可能中一張、兩張、三張、四張、五張，或者都不中獎(jiǎng)，所以B不正確；10張票中有1張獎(jiǎng)票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即無論誰先摸，摸到獎(jiǎng)票的概率都是0.1，所以C不正確，D正確．] 理解概率與頻率應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面 (1)概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量，是隨機(jī)事件A的本質(zhì)屬性，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率是大量重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率的近似值． (2)由頻率的定義我們可以知道隨機(jī)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率就是其規(guī)律性在數(shù)量上的反映． (3)正確理解概率的意義，要清楚概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．對具體的問題要從全局和整體上去看待，而不是局限于某一次試驗(yàn)或某一個(gè)具體的事件． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．“某彩票的中獎(jiǎng)概率為eq \f(1,100)”意味著(　　) A．買100張彩票就一定能中獎(jiǎng) B．買100張彩票能中一次獎(jiǎng) C．買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中 D．購買彩票中獎(jiǎng)的可能性為eq \f(1,100) D　[某彩票的中獎(jiǎng)率為eq \f(1,100)，意味著中獎(jiǎng)的可能性為eq \f(1,100)，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)．] 類型2　用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)其概率 【例2】　某公司在過去幾年內(nèi)使用了某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示： (1)將各組的頻率填入表中； (2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率． [解]　(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193， 0．165,0.042． (2)樣本中使用壽命不足1 500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600． 所以樣本中使用壽命不足1 500小時(shí)的頻率是eq \f(600,1 000)＝0.6， 即燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率約為0.6． 1．頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率，頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值附近擺動(dòng)，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率． 2．解此類題目的步驟：先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．某保險(xiǎn)公司利用簡單隨機(jī)抽樣的方法，對投保的車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下： (1)若每輛車的投保金額為2 800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率； (2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4 000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4 000元的概率． [解]　(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3 000元”，B表示事件“賠付金額為4 000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12， 由于投保金額為2 800元，賠付金額大于投保金額的情形是賠付3 000元和4 000元，A與B互斥，所以所求概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27． (2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4 000元”，由已知，樣本車輛中車主是新司機(jī)的有0.1×1 000＝100(位)，而賠付金額為4 000元的車輛中車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24(位)， 所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4 000元的頻率為eq \f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24． 類型3　游戲的公平性 【例3】　(對接教材P253例2)某校高二年級(1)、(2)班準(zhǔn)備聯(lián)合舉行晚會(huì)，組織者欲使晚會(huì)氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會(huì)以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進(jìn)行，每個(gè)節(jié)目開始時(shí)，兩班各派一人先進(jìn)行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎(jiǎng)品，負(fù)者表演一個(gè)節(jié)目．(1)班的文娛委員利用分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(如圖所示)，設(shè)計(jì)了一種游戲方案：兩人同時(shí)各轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(shí)(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．該方案對雙方是否公平？為什么？ 1．判斷某種游戲規(guī)則是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是什么？ [提示]　如果參加比賽的雙方獲勝(或失敗)的概率是一樣的，那么就說明這個(gè)游戲規(guī)則是公平的；否則就是不公平的． 2．小明和小紅通過抓鬮決定誰代表班級參加學(xué)校舉行的演講比賽，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的盒子里有三個(gè)質(zhì)地完全相同的小卡片，上面分別寫有“參加”“不參加”“謝謝參與”，小明和小紅分別從中摸取一個(gè)小卡片，摸到“參加”者代表班級參加學(xué)校舉行的演講比賽．這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由． [提示]　公平．因?yàn)槊總€(gè)人摸到“參加”的概率都是eq \f(1,3)． [解]　該方案是公平的，理由如下： 各種情況如表所示： 由表可知該游戲可能出現(xiàn)的情況共有12種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有6種，為奇數(shù)的也有6種，所以(1)班代表獲勝的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表獲勝的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，即P1＝P2，機(jī)會(huì)是均等的，所以該方案對雙方是公平的． 1．在例3中，若把游戲規(guī)則改為：兩人各自轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)盤停止后，兩個(gè)指針指向的兩個(gè)數(shù)字相乘，如果是偶數(shù)，那么(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝．游戲規(guī)則公平嗎？為什么？ [解]　不公平．因?yàn)槌朔e出現(xiàn)奇數(shù)的概率為eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)，而出現(xiàn)偶數(shù)的概率為eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)． 2．若在例3中，轉(zhuǎn)盤被平均分成10等份(如圖所示)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的數(shù)字．游戲規(guī)則如下：兩個(gè)人參加，先確定猜數(shù)方案，甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，乙猜，若猜出的結(jié)果與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出的數(shù)字所表示的數(shù)字相符，則乙獲勝，否則甲獲勝．猜數(shù)方案從以下兩種方案中選一種： A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”； B．猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”． 請回答下列問題： (1)如果你是乙，為了盡可能獲勝，你會(huì)選哪種猜數(shù)方案？ (2)為了保證游戲的公平性，你認(rèn)為應(yīng)選哪種猜數(shù)方案？ [解]　(1)為了盡可能獲勝，乙應(yīng)選擇方案B．猜“不是4的整數(shù)倍”，這是因?yàn)椤安皇?的整數(shù)倍”的概率為eq \f(8,10)＝0.8，超過了0.5，故為了盡可能獲勝，選擇方案B． (2)為了保證游戲的公平性，應(yīng)當(dāng)選擇方案A，這是因?yàn)榉桨窤是猜“是奇數(shù)”和“是偶數(shù)”的概率均為0.5，從而保證了該游戲的公平性． 游戲公平性的標(biāo)準(zhǔn)及判斷方法 (1)游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說，獲勝的可能性或概率是否相同．若相同，則規(guī)則公平，否則就是不公平的． (2)具體判斷時(shí)，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進(jìn)行比較． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 3．甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張． (1)寫出甲、乙抽到牌的所有情況； (2)若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，則甲勝；否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？ [解]　(1)分別用2,3,4,4′表示紅桃2，紅桃3，紅桃4，方片4，則甲、乙抽到牌的所有情況為(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12種不同的情況． (2)甲抽到紅桃3，乙抽到的只能是紅桃2，紅桃4，方片4，因此乙抽到的牌的數(shù)字比3大的概率是eq \f(2,3)． (3)甲抽到的牌的數(shù)字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種情況，因此甲勝的概率為eq \f(5,12)，乙勝的概率為eq \f(7,12)． 因?yàn)?eq \f(5,12)＜eq \f(7,12)，所以此游戲不公平． 1．下列說法正確的是(　　) A．任何事件的概率總是在(0,1)之間 B．頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān) C．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來越接近概率 D．概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定 C　[必然事件發(fā)生的概率為1，不可能事件發(fā)生的概率為0，所以任何事件發(fā)生的概率總在[0,1]之間，故A錯(cuò)，B，D混淆了頻率與概率的概念，故B，D錯(cuò)．] 2．給出下列3種說法： ①設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品； ②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是eq \f(3,7)； ③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的概率． 其中正確說法的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 A　[由頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別知，①②③均不正確．] 3．設(shè)某廠產(chǎn)品的次品率為2%，估算該廠8 000件產(chǎn)品中合格品的件數(shù)可能為(　　) A．160 B．7 840 C．7 998 D．7 800 B　[次品率為2%，故次品約8 000×2%＝160(件)，故合格品的件數(shù)可能為7 840．] 4．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了45次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為(　　) A．0.45,0.45 B．0.5,0.5 C．0.5,0.45 D．0.45,0.5 D　[出現(xiàn)正面朝上的頻率是eq \f(45,100)＝0.45，出現(xiàn)正面朝上的概率是0.5．故選D．] 5．一家保險(xiǎn)公司想了解汽車的擋風(fēng)玻璃破碎的概率，公司收集了20 000輛汽車的數(shù)據(jù)，時(shí)間是從某年的5月1日到下一年的4月30日，共發(fā)現(xiàn)有600輛汽車的擋風(fēng)玻璃破碎，則一輛汽車在一年內(nèi)擋風(fēng)玻璃破碎的概率近似是________． 0.03　[在一年內(nèi)擋風(fēng)玻璃破碎的頻率為eq \f(600,20 000)＝eq \f(3,100)＝0.03，用頻率來估計(jì)擋風(fēng)玻璃破碎的概率．] 回顧本節(jié)知識(shí)，自我完成以下問題： (1)什么是頻率的穩(wěn)定性？有什么作用？ (2)頻率與概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)結(jié)合實(shí)例，會(huì)用頻率估計(jì)概率．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過對頻率和概率聯(lián)系和區(qū)別的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過利用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)其概率，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．分組[0，900)[900，1 100)[1 100，1 300)[1 300，1 500)[1 500，1 700)[1 700，1 900)[1 900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率賠償金額(元)01 0002 0003 0004 000車輛數(shù)(輛)500130100150120

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