統(tǒng)計(jì)初步 一、 課堂目標(biāo) 1．理解統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念． 2．掌握兩種抽樣方法及其應(yīng)用． 3．掌握頻率分布直方表和頻率分布直方圖及其應(yīng)用． 4．掌握數(shù)據(jù)的數(shù)字特征和直觀表示并能求解相關(guān)量． 【備注】1.本講的重點(diǎn)是掌握統(tǒng)計(jì)中的兩種抽樣方法及數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與直觀表示并會(huì)求解相應(yīng)題型；難點(diǎn)是在頻率分布直方表和頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，利用數(shù)字特征進(jìn)行分析；重點(diǎn)題型是隨機(jī)數(shù)法和分層抽樣的應(yīng)用，求相關(guān)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征并利用數(shù)字特征進(jìn)行分析. 2.本講的后置知識(shí)是概率. 二、 知識(shí)講解 1. 全面調(diào)查（普查）與抽樣調(diào)查 知識(shí)精講 （1）全面調(diào)查 對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查． 在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體． 為了強(qiáng)調(diào)調(diào)查目的，也可以把調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)的全體作為總體，每一個(gè)調(diào)查對(duì)象的相應(yīng)指標(biāo)作為個(gè) 體． （2）抽樣調(diào)查 根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查 方法，稱為抽樣調(diào)查． 我們把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本，樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量（樣本容量）． 調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)稱樣本數(shù)據(jù)． （3）抽樣的必要性 在實(shí)際中要全面了解總體的情況，往往難以做到，一般也不可能或沒(méi)有必要對(duì)每個(gè)個(gè)體逐一進(jìn)行研究． 這是因?yàn)椋? ①一些總體中包含的個(gè)體數(shù)通常是大量的甚至是無(wú)限的．如不可能對(duì)所有的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記錄每一件 產(chǎn)品的合格情況； ②一些個(gè)體具有破壞性．如不可能對(duì)所有的炮彈都進(jìn)行試射，檢驗(yàn)是否合格； ③一些調(diào)查具有破壞性．如不可能把地里所有的種子都挖出來(lái)，檢驗(yàn)是否發(fā)芽； ④全面調(diào)查（普查）往往要浪費(fèi)大量的人力、物力和財(cái)力．所以常通過(guò)從總體中抽取一部分個(gè)體，根據(jù)對(duì)這一部分個(gè)體的觀察研究結(jié)果去推斷和估計(jì)總體的情況，即用樣本估計(jì)總體——這是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)基本思想． 經(jīng)典例題 1. 為了了解 名學(xué)生的身高情況，從中抽取 名學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，下列說(shuō)法正確的是（ ）． A. 總體是 B. 個(gè)體是每一名學(xué)生 C. 樣本是 名學(xué)生 D. 樣本容量是 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查總體、個(gè)體、樣本和樣本容量，進(jìn)一步加深對(duì)這四個(gè)概念的理解. 【答案】D 【解析】總體是 名學(xué)生的身高，故 錯(cuò)誤；個(gè)體是每一名學(xué)生的身高，故 錯(cuò)誤；樣本是 名學(xué)生的身高，故 錯(cuò)誤；很明顯樣本容量是 ，故 正確． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】總體、樣本、樣本容量 鞏固練習(xí) 2. 下列調(diào)查方式合適的是（ ）． A. B. C. D. 為了了解炮彈的射程，采用普查的方式 為了了解人們保護(hù)水資源的意識(shí)，采用抽樣調(diào)查的方式為了了解全國(guó)中學(xué)生的課外閱讀時(shí)間，采用普查的方式對(duì)“神舟十號(hào)”零部件的檢查，采用抽樣調(diào)查的方式 【答案】B 【解析】A 選項(xiàng)：要了解炮彈的射程，調(diào)查具有破壞性，不適合采用普查，故 錯(cuò)誤； B 選項(xiàng)：要了解人們保護(hù)水資源的意識(shí)，需要調(diào)查的人很多，宜采用抽樣調(diào)查的方式， 故 正確； C 選項(xiàng)：全國(guó)中學(xué)生的數(shù)量龐大，要了解其某項(xiàng)內(nèi)容宜采用抽樣調(diào)查的方式，故 錯(cuò)誤；D 選項(xiàng)：關(guān)系到衛(wèi)星或飛船的發(fā)射，對(duì)每一個(gè)零部件都要進(jìn)行仔細(xì)的檢查，必須采用普查的方式，故 錯(cuò)誤． 故選 B . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】獲取數(shù)據(jù)的基本途徑 2. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 知識(shí)精講 （1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念 一般地，設(shè)一個(gè)總體含有 （ 為正整數(shù)）個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取 （ ）個(gè)個(gè)體作為樣本， 如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫作放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫作不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． 放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單 隨機(jī)樣本． 注意： 從總體中，逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取 個(gè)個(gè)體作為樣本，一次性批量隨機(jī)抽取 個(gè)個(gè)體作為樣本，兩種方法是等價(jià)的． 【備注】【教師指導(dǎo)】 與放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比較，不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的效率更高，因此實(shí)踐中人們更多采用不 放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．除非特殊聲明，本章所稱的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣指不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． （2）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)①總體的個(gè)體數(shù)有限． ②從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，這樣便于在抽樣實(shí)踐中進(jìn)行操作． ③是一種不放回抽樣．由于抽樣實(shí)踐中多采用不放回抽樣，故其具有更廣泛的實(shí)用性，而且由于所抽取 的樣本中沒(méi)有被重復(fù)抽取的個(gè)體，故不放回抽樣便于進(jìn)行有關(guān)的分析和計(jì)算． ④是一種等可能抽樣．在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽取到的可能性相等，從而保證了這種抽樣方法 的公平性． 注意： 判斷抽取樣本的方式是否為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣關(guān)鍵是看它是否滿足以上四個(gè)特點(diǎn)． （3）常見(jiàn)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法 抽簽法 ①概念：先把總體中的 個(gè)個(gè)體編號(hào)，并把編號(hào)寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可以是紙條、卡片或小球等）．將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里均勻攪拌，每次隨機(jī)地從中抽取一個(gè)，如此下去，直至抽到預(yù)先設(shè)定的樣本數(shù)． 根據(jù)實(shí)際需要，如果每次抽取后再放回，就稱為有放回抽??；如果每次抽取后不放回，就稱為不放回抽 取． ②步驟：先給調(diào)查對(duì)象群體中的每個(gè)對(duì)象編號(hào)；然后準(zhǔn)備“抽簽”的工具，實(shí)施“抽簽”；接著對(duì)樣本中每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)試或調(diào)查． 【備注】【教師指導(dǎo)】 對(duì)個(gè)體編號(hào)時(shí)，也可以利用已有的編號(hào)．例如從全班學(xué)生中抽取樣本時(shí)，可以利用學(xué)生的 學(xué)號(hào)、座位號(hào)等． 利用抽簽法抽取樣本時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題： ①編號(hào)時(shí)，如果已有編號(hào)（如學(xué)號(hào)、座位號(hào)等）可不必重新編號(hào)． ②號(hào)簽要求大小，形狀完全相同． ③號(hào)簽要攪拌均勻． 注意： 一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊癫捎贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩個(gè)方面：一是制作號(hào)簽是否方便；二是號(hào)簽是否容易被攪勻．當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時(shí)，可采用抽簽法．采用抽簽法設(shè)計(jì)抽樣方案時(shí)，要嚴(yán)格按照步驟進(jìn)行，即編號(hào)、制簽、攪勻、抽簽、確定樣本，這幾個(gè)步驟不可缺 少，其中攪勻是最容易被忽略的． 隨機(jī)數(shù)法 ①概念：把總體中的 個(gè)個(gè)體依次編上 ， ，…， 的號(hào)碼，然后利用工具（轉(zhuǎn)盤(pán)、摸球、隨機(jī)數(shù) 表、科學(xué)計(jì)算器或計(jì)算機(jī)等）產(chǎn)生 ， ，…， 中的隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)是幾，就選幾號(hào)個(gè)體， 直至抽到預(yù)先規(guī)定的樣本數(shù)． ②步驟：先對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)；然后在隨機(jī)數(shù)表中任意選定一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始的數(shù)； 再?gòu)倪x定的數(shù)開(kāi)始按一定的方向（可以向右向左、向上、向下）讀數(shù)，得到的號(hào)碼若不在編號(hào)中則跳過(guò)，若在編號(hào)中則取出，如果得到的號(hào)碼前面已取出，則跳過(guò)，如此繼續(xù)下去，直至取滿為止；最后把選定的號(hào)碼所對(duì)應(yīng)的 個(gè)個(gè)體作為樣本． 注意： 需要注意隨機(jī)數(shù)法對(duì)于超出標(biāo)號(hào)范圍的數(shù)字的處理，即一定要將其舍去，重復(fù)的數(shù)字也要舍去． 【備注】【教師指導(dǎo)】 （1）利用隨機(jī)數(shù)法抽樣時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題： ①編號(hào)要求位數(shù)相同． ②第一個(gè)數(shù)字的抽取是隨機(jī)的． ③讀數(shù)的方向是任意的，且是事先定好的． 利用隨機(jī)數(shù)法抽取個(gè)體的關(guān)鍵是在隨機(jī)數(shù)表中任選哪個(gè)數(shù)作為起點(diǎn)以及讀數(shù)的方向，方 法：①可以利用兩次抽簽得到的兩個(gè)數(shù)分別表示行號(hào)和列號(hào)，由這個(gè)行號(hào)和列號(hào)可以確定 隨機(jī)數(shù)表中的一個(gè)位置，該位置上的數(shù)作為選取的數(shù)； ②也可以翻到隨機(jī)數(shù)表的某一頁(yè)，閉上眼睛把筆尖放到隨機(jī)數(shù)表上，以筆尖點(diǎn)到的數(shù)作為選用的隨機(jī)數(shù)表相對(duì)的頁(yè)數(shù)（如果數(shù)字大于隨機(jī)數(shù)表的總頁(yè)數(shù)，可以用該數(shù)字除以總頁(yè)數(shù)的余數(shù)作為相對(duì)的頁(yè)數(shù)），將隨機(jī)數(shù)表翻到選定的頁(yè)數(shù)，再次閉上眼睛用筆尖點(diǎn)出一個(gè)數(shù)作為選取的數(shù)． （2）所給編號(hào)位數(shù)不一致的處理方法 當(dāng)題目中給的編號(hào)位數(shù)不一致時(shí)，需要對(duì)號(hào)碼做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，用調(diào)整后的號(hào)碼進(jìn)行抽取以 后，再對(duì)應(yīng)找出原來(lái)的號(hào)碼．可用如下方法調(diào)整： ①在位數(shù)少的數(shù)前添加“ ”，湊齊位數(shù)．如： ， ，…， 可調(diào)整為 ， ，…， ．②把原來(lái)的號(hào)碼加上 的倍數(shù)．如 ， ， ，…， 每個(gè)數(shù)加 可調(diào)整為 ， ， ，…， ； ， ，…， ，…， 每個(gè)數(shù)加 可調(diào)整為 ， ，…， ，…， （4）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的估計(jì)功能 ①總體均值（總體平均數(shù)） 一 般 地 ， 總 體 中 有 個(gè) 個(gè) 體 ， 它 們 的 變 量 值 分 別 為 ， ， … ， ， 則 稱 ： 為總體均值，又稱總體平均數(shù)． ②樣本均值（樣本平均數(shù)） 如果從總體中抽取一個(gè)容量為 的樣本，它們的變量值分別為 ， ，…， ，則稱 為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)． 在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，常用樣本平均數(shù) 去估計(jì)總體平均數(shù) ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 加權(quán)平均數(shù)： 如果總體的 個(gè)變量值中，不同的值共有 個(gè)，不妨記為 ， ，…， ，其中 出現(xiàn)的頻數(shù) ，則總體均值還可以寫(xiě)成加權(quán)平均數(shù)的形式 ． 知識(shí)點(diǎn)睛 （1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的局限性 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法簡(jiǎn)單、直觀，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)也比較方便．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種基本抽 樣方法，是其他抽樣方法的基礎(chǔ)．但在實(shí)際應(yīng)用中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣有一定的局限性． 例如， ①當(dāng)總體很大時(shí)，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣給所有個(gè)體編號(hào)等準(zhǔn)備工作非常費(fèi)事，甚至難以做到； ②抽中的個(gè)體往往很分散，要找到樣本中的個(gè)體并實(shí)施調(diào)查會(huì)遇到很多困難； ③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣沒(méi)有利用其他輔助信息，估計(jì)效率不是很高，等等． 因此，在規(guī)模較大的調(diào)查中，直接采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的并不多，一般是把簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和其他抽樣方法 組合使用． （2）兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法的比較 ①抽簽法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，缺點(diǎn)是當(dāng)總體的容量非常大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，又不方便，如果編號(hào)后的號(hào)簽攪拌得不均勻，會(huì)導(dǎo)致抽樣不公平．隨機(jī)數(shù)法的優(yōu)點(diǎn)與抽簽法相同，缺點(diǎn)是當(dāng)總體容量較大時(shí)，仍不是很方便，但比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較小的抽樣類型． ②采用隨機(jī)數(shù)法的步驟較為簡(jiǎn)單，因?yàn)檫@省略了制作號(hào)簽的步驟，而且不會(huì)因?yàn)樘?hào)簽的不相同造成抽樣 的不公平，這也是在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中大多采用隨機(jī)數(shù)法的原因． 經(jīng)典例題 3. 下列抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是（ ）． A. 從平面直角坐標(biāo)系中抽取 個(gè)點(diǎn)作為樣本 B. 可口可樂(lè)公司從倉(cāng)庫(kù)的 瓶可樂(lè)中一次性抽取 瓶進(jìn)行質(zhì)量檢查 C. D. 某連隊(duì)從 名戰(zhàn)士中，挑選出 名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士參加搶險(xiǎn)救災(zāi) 從 個(gè)手機(jī)中不放回地隨機(jī)抽取 個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)（假設(shè) 個(gè)手機(jī)已編好號(hào)，對(duì)編號(hào)隨機(jī)抽?。? 【備注】【教師指導(dǎo)】 判斷簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣關(guān)鍵看是否符合以下特點(diǎn)： （1）總體個(gè)數(shù)有限；（2）逐個(gè)不放回地抽??；（3）每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等． 【答案】D 【解析】 選項(xiàng)：平面直角坐標(biāo)系中有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，這與要求總體個(gè)數(shù)有限不相符，故 錯(cuò)誤； 選項(xiàng)：一次性抽取不符合逐個(gè)抽取的特點(diǎn)，故 錯(cuò)誤； 選項(xiàng)： 名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的等可能性，故 錯(cuò)誤． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 鞏固練習(xí) 4. 關(guān)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，下列說(shuō)法正確的是（ ） ①它要求被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限；②它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取； ③它是一種不放回抽樣；④它是一種等可能性抽樣． A. ①②③④ B. ③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】①簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中被抽取樣本的總體的個(gè)數(shù)有限，正確； ②簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取，正確； ③簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣，正確； ④簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種等可能抽樣，即每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性相等，正確． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 經(jīng)典例題 5. 下列抽樣試驗(yàn)中，采用抽簽法較為方便的是 （填序號(hào)）． ①?gòu)哪称放剖謾C(jī)生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的 件手機(jī)中抽取 件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)； ②從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱 件)產(chǎn)品中抽取 件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)； ③從甲乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱 件)產(chǎn)品中抽取 件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)； ④從某品牌電腦生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的 件產(chǎn)品中抽取 件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)． 【備注】【教師指導(dǎo)】 一個(gè)抽樣試驗(yàn)是否能采用抽簽法，關(guān)鍵看兩個(gè)方面：一是制作號(hào)簽是否方便；二是號(hào)簽是 否容易被攪勻.當(dāng)總體容量和樣本容量都較少時(shí)，可采用抽簽法. 【答案】② 【解析】①中總體容量較大，樣本容量也較大，不適宜采用抽簽法；②中總體容量較小，樣本容量也較小，可采用抽簽法；③中甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱產(chǎn)品有明顯區(qū)別，不能采用抽簽法；④中總體容量較大，不適宜采用抽簽法． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 6. 假設(shè)要考察某企業(yè)生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從 袋牛奶中抽取 袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將 袋牛奶按 ， ， ， 進(jìn)行編號(hào)，如果從隨機(jī)數(shù)表第 行第 列的數(shù)開(kāi)始，按三位數(shù)連續(xù)向右讀?。竭_(dá)行末后，接著從下一行第一個(gè)數(shù)繼續(xù)，則最先檢驗(yàn)的 袋牛奶的號(hào)碼是（ ）．(下面摘取了某隨機(jī)數(shù)表第 行至第 行) A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】 求解隨機(jī)數(shù)表讀取問(wèn)題的一般步驟 第一步：認(rèn)真理解題意和給出的隨機(jī)數(shù)表；第二步：根據(jù)要求讀取數(shù)據(jù)并寫(xiě)出來(lái)備用；第三步：選擇滿足條件的數(shù)據(jù)． 【答案】D 【解析】找到第 行第 列的數(shù)開(kāi)始向右讀， 第一個(gè)符合條件的是 ， 第二個(gè)數(shù) ，第三個(gè)數(shù) ， 第四個(gè)數(shù) 大于 要舍去，第五個(gè)數(shù) 大于 要舍去，第六個(gè)數(shù) 符合條件， 第七個(gè)數(shù) ，第八個(gè)數(shù) 第九個(gè)數(shù) ，第十個(gè)數(shù) 大于 要舍去，第十一個(gè)數(shù) ，符合條件． 故答案為： ， ， ， ， ．故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 鞏固練習(xí) 7. 為了合理調(diào)配電子資源，天津市欲了解全市 戶居民的日用電量．若通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從中抽 取了 戶進(jìn)行調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為 ，則可以推測(cè)全市居民用戶日用電量的 平均數(shù)（ ）． A. 一定為 B. 高于 C. 低于 D. 約為 【答案】D 【解析】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的估計(jì)功能知，  為樣本的平均數(shù)，我們只能用它來(lái)估計(jì)總體的 平均數(shù)，得到的數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確值，總體的平均數(shù)應(yīng)該為 左右． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 8. 某大學(xué)為了支持運(yùn)動(dòng)會(huì)，從報(bào)名的 名大三學(xué)生中選 人組成志愿小組，請(qǐng)用抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法 設(shè)計(jì)抽樣方案． 【答案】抽簽法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為 ， ， ， ， ； 第二步：將 個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在 張外形完全相同的紙條上，并揉成團(tuán)，制成號(hào)簽； 第三步：將 個(gè)號(hào)簽放入一個(gè)不透明的盒子中，充分?jǐn)噭颍? 第四步：從盒子中逐個(gè)不放回地抽取 個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的編號(hào)；第五步：所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的學(xué)生，就是志愿小組的成員． 隨機(jī)數(shù)表法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為 ， ， ， ， ； 第二步：在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)開(kāi)始，任選一方向作為讀數(shù)方向； 第三步：凡不在 中的數(shù)或已讀過(guò)的數(shù)，都跳過(guò)去不作記錄，依次記錄下 個(gè)得 數(shù)； 第四步：找出號(hào)碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成志愿小組． 【解析】抽簽法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為 ， ， ， ， ； 第二步：將 個(gè)號(hào)碼分別寫(xiě)在 張外形完全相同的紙條上，并揉成團(tuán)，制成號(hào)簽；第三步：將 個(gè)號(hào)簽放入一個(gè)不透明的盒子中，充分?jǐn)噭颍?第四步：從盒子中逐個(gè)不放回地抽取 個(gè)號(hào)簽，并記錄上面的編號(hào)；第五步：所得號(hào)碼對(duì)應(yīng)的學(xué)生，就是志愿小組的成員． 隨機(jī)數(shù)表法： 第一步：將 名大三學(xué)生編號(hào)，編號(hào)為 ， ， ， ， ； 第二步：在隨機(jī)數(shù)表中任選一數(shù)開(kāi)始，任選一方向作為讀數(shù)方向； 第三步：凡不在 中的數(shù)或已讀過(guò)的數(shù)，都跳過(guò)去不作記錄，依次記錄下 個(gè)得 數(shù)； 第四步：找出號(hào)碼與記錄的數(shù)相同的學(xué)生組成志愿小組． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 3. 分層抽樣 知識(shí)精講 （1）分層隨機(jī)抽樣的概念 一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層，在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配． （2）分層隨機(jī)抽樣的步驟 分層 定抽 樣比 根據(jù)已經(jīng)掌握的信息，將總體分成互不交 叉的層 根據(jù)總體容量 和樣本容量 計(jì)算抽樣比 定各層抽 確定第 層應(yīng)該抽取的個(gè)體數(shù) （ 為第 層所 樣的數(shù)目 抽樣 個(gè)體 包含的個(gè)體數(shù)），使得各層所抽取的個(gè)體數(shù)之和為 按上述步驟中確定的數(shù)目在各層中隨機(jī)地 抽取個(gè)體，合在一起得到容量為 的樣本 （3）分層隨機(jī)抽樣的估計(jì)功能 ①在分層隨機(jī)抽樣中，如果層數(shù)分為 層，第 層和第 層包含的個(gè)體數(shù)分別為 和 ，抽取的樣本量分別為 和 ．我們用 ， ，…， ，表示第 層各個(gè)個(gè)體的變量值，用 ， ，…， 表示第 層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值；用 ， ，…， 表示第 層各個(gè)個(gè)體的變量值，用 ， ，…， 表示第 層樣本的各個(gè)個(gè)體的變量值， 則第 層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ， ． 第 層的總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ， ． 總體平均數(shù)和樣本平均數(shù)分別為： ． 由于用第 層的樣本平均數(shù) 可以估計(jì)第 層的總體平均數(shù) ，用第 層的樣本平均數(shù) 可以估計(jì)第 層的總 體平均數(shù) ，因此可以用 來(lái)估計(jì)總體平均數(shù) . ②在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中， ， 可得：  ． 因此，在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，我們可以直接用樣本平均數(shù) 估計(jì)總體平均數(shù) ． 知識(shí)點(diǎn)睛 分層隨機(jī)抽樣中有關(guān)抽樣比的計(jì)算方法 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣中的比值問(wèn)題，常利用以下關(guān)系式巧解： ① 樣體容量 總體容量 該層抽取的個(gè)體數(shù) 該層的個(gè)體數(shù)  ， ②總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比 樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比． 對(duì)于分層隨機(jī)抽樣中求某層個(gè)體數(shù)，或某層要抽取的樣本個(gè)體數(shù)，都可以通過(guò)上面兩個(gè)等量關(guān)系求解． 經(jīng)典例題 9. 某單位最近組織了一次健身活動(dòng)，活動(dòng)分為登山組和游泳組，且每個(gè)職工至多參加了其中一組．在 參加活動(dòng)的職工中，青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．登山組的職工占參加活動(dòng)總 人數(shù)的 ，且該組中青年人占 ，中年人占 ，老年人占 ．為了了解各組不同的年齡層次的 職工對(duì)本次活動(dòng)的滿意程度，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從參加活動(dòng)的全體職工中抽取一個(gè)容量為 的樣本． （ 1 ）試求游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例． （ 2 ）試求游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應(yīng)抽取的人數(shù)． （ 3 ）如果游泳組中抽取的樣本經(jīng)調(diào)查得知青年人的平均滿意度為 ，中年人的平均滿意度為 ，老年人的平均滿意度為 ，試估計(jì)游泳組中的職工的平均滿意度． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題考查分層抽樣的實(shí)際應(yīng)用. 注意：求解分層隨機(jī)抽樣總體平均數(shù)估計(jì)問(wèn)題的一般步驟第一步：根據(jù)總體數(shù)據(jù)的特點(diǎn)確定分層數(shù)； 第二步：根據(jù)各層總體容量的大小確定抽取比例；第三步：利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分層抽取樣本；第四步：根據(jù)公式求出樣本的平均數(shù)； 第五步：用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)． 【答案】（ 1 ） ， ， ． （ 2 ）（ 3 ） ， ， ． ． 【解析】（ 1 ）設(shè)登山組人數(shù)為 ，游泳組中，青年人、中年人、老年人占的比例分別為 ， ， ， 則有 ， ， 解得 ， ． 故 ． 即游泳組中，青年人、中年人、老年人所占的比例分別為 （ 2 ）游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為 ； 抽取的中年人人數(shù)為 ； 抽取的老年人人數(shù)為 ．  ，  ，  ． （ 3 ）游泳組中，樣本的平均滿意度為 ， 由此可以估計(jì)游泳組中的職工對(duì)活動(dòng)的平均滿意度為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特 征問(wèn)題 鞏固練習(xí) 10. 某學(xué)校為調(diào)查學(xué)生的身高情況，從高二年級(jí)的 名男生和 名女生中，根據(jù)性別采用按比例分配 的分層抽樣方法，隨機(jī)抽取容量為 的樣本．樣本中男，女生的平均身高分別是 ， ，該校高二年級(jí)學(xué)生的平均身高估計(jì)為 ．（精確到 ） 【答案】 【解析】高二年級(jí)男女比例為  ， ∴平均身高為： ． 故該校高二學(xué)生平均身高為  ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位數(shù)、 平均數(shù) 11. 《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢二百一十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢數(shù)多少衰出之，問(wèn)乙出幾何？”其意為：“今有甲帶了 錢，乙?guī)Я? 錢，丙帶了 錢，三人一起出關(guān)，共需要交關(guān)稅 錢，依照錢的多少按比例出錢”，則乙應(yīng)出（所得結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）（ ）． A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢 【答案】C 【解析】根據(jù)分層抽樣原理，抽樣比例為：  ， 所以乙應(yīng)交關(guān)稅為 （錢 ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣 4. 獲取數(shù)據(jù)的途徑 知識(shí)精講 獲取數(shù)據(jù)的途徑有： ①通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；②通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)；③通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù)；④通過(guò)查詢獲取數(shù)據(jù). 【備注】【教師指導(dǎo)】 1.通過(guò)調(diào)查獲取數(shù)據(jù) （1）一般通過(guò)抽樣調(diào)查或普查的方法獲取數(shù)據(jù)． （2）針對(duì)不同問(wèn)題的特點(diǎn)，為了有效收集所需數(shù)據(jù)，專家發(fā)明了各種不同的抽樣方法．除了我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣，還有系統(tǒng)抽樣、整群抽樣、不等概率抽樣、自適應(yīng)抽樣、兩階段抽樣等很多其他的方法．在實(shí)際應(yīng)用中，關(guān)鍵在于是否能充分有效地利用背景信息選擇或創(chuàng)建更好的抽樣方法，并有效避免抽樣過(guò)程中的人為錯(cuò)誤． 2.通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù) （1）試驗(yàn)是獲取樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的另一種重要途徑．例如，要判斷研制的新藥是否有效、培育的小麥新品種是否具有更高的產(chǎn)量等情況，沒(méi)有現(xiàn)存的數(shù)據(jù)可以查詢，就需要通過(guò)對(duì)比試驗(yàn)的方法去獲取樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)．又如特種鋼、輪胎的配方和產(chǎn)品質(zhì)量等，也需要通過(guò)試驗(yàn)獲取樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)． （2）通過(guò)試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)時(shí)，我們需要嚴(yán)格控制試驗(yàn)環(huán)境，通過(guò)精心的設(shè)計(jì)安排試驗(yàn)，以提高數(shù)據(jù)質(zhì)量，為獲得好的分析結(jié)果奠定基礎(chǔ)．在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，這種安排試驗(yàn)的學(xué)問(wèn)叫作“試驗(yàn)設(shè)計(jì)”，感興趣的同學(xué)可以查閱試驗(yàn)設(shè)計(jì)教科書(shū)． 3.通過(guò)觀察獲取數(shù)據(jù) （1）在現(xiàn)實(shí)生活中，我們感興趣的很多自然現(xiàn)象都不能被人類所控制，如地震、降水、大氣污染、宇宙射線等．自然現(xiàn)象會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，不能用我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的有限總體來(lái)刻畫(huà)，也就不能用抽樣的方法獲取觀測(cè)數(shù)據(jù)；另一方面，由于自然現(xiàn)象不能被人為控制，也不能通過(guò)試驗(yàn)獲取觀測(cè)數(shù)據(jù)．研究這類現(xiàn)象，只能通過(guò)長(zhǎng)久的持續(xù)觀察獲取數(shù)據(jù)． （2）對(duì)于各個(gè)不同的行業(yè)，往往需要專業(yè)測(cè)量設(shè)備獲取觀測(cè)數(shù)據(jù)．隨著科技水平的提高，專業(yè)測(cè)量設(shè)備的自動(dòng)化程度越來(lái)越高，通過(guò)觀測(cè)獲取和存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的成本越來(lái)越低，這成為大數(shù)據(jù)產(chǎn)生的根源．一般地，通過(guò)觀察自然現(xiàn)象所獲取的數(shù)據(jù)性質(zhì)比較復(fù)雜，其中蘊(yùn)含著所觀察現(xiàn)象的本質(zhì)信息，這些信息十分寶貴，統(tǒng)計(jì)學(xué)理論和方法是挖掘這些信息的強(qiáng)有力的工具之一． 4.通過(guò)查詢獲取數(shù)據(jù) （1）我們感興趣的問(wèn)題，可能有眾多專家研究過(guò)，他們?cè)谘芯恐兴占臉颖居^測(cè)數(shù)據(jù)可能存儲(chǔ)于學(xué)術(shù)論文、專著新聞稿公報(bào)或互聯(lián)網(wǎng)上．這些數(shù)據(jù)是寶貴的財(cái)富，我們可以收集前人的勞動(dòng)成果并加以利用，從而減少收集數(shù)據(jù)的成本．我們往往把這樣獲得的數(shù)據(jù)叫作二手?jǐn)?shù)據(jù)．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局是我國(guó)最主要的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)收集和發(fā)布的部門(mén)，調(diào)查統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、民生的方方面面．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)通過(guò)多種形式進(jìn)行公布，例如定期發(fā)布新聞稿、舉辦新聞發(fā)布會(huì)、發(fā)布統(tǒng)計(jì)公報(bào)、出版各類統(tǒng)計(jì)資料等．統(tǒng)計(jì)公報(bào)有年度統(tǒng)計(jì)公報(bào)、經(jīng)濟(jì)普查公報(bào)、人口普查公報(bào)農(nóng)業(yè)普查公報(bào)等；統(tǒng)計(jì)資料出版物有《中國(guó)統(tǒng)計(jì)摘要》以《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》為代表的統(tǒng)計(jì)年鑒系列等． （2）隨著信息技術(shù)的發(fā)展，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)獲取數(shù)據(jù)越來(lái)越成為獲取二手?jǐn)?shù)據(jù)的主要方式．例如，可以從國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的官方網(wǎng)站查詢得到國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．在網(wǎng)絡(luò)上，也有專門(mén)提供數(shù)據(jù)服務(wù)的公司，它們提供政府部門(mén)允許公開(kāi)的各類數(shù)據(jù)． 1,2,3屬于直接獲取數(shù)據(jù)的途徑，4屬于間接獲取數(shù)據(jù)的途徑. 5. 總體取值規(guī)律的估計(jì) 知識(shí)精講 （一）頻率分布直方圖 （1）頻數(shù)與頻率 將一批數(shù)據(jù)按要求分成若干組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，叫作該組的頻數(shù)．每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商 叫作該組的頻率，表示該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大?。? （2）樣本的頻率分布及頻率分布表 根據(jù)隨機(jī)抽取的樣本的大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫作樣本的頻率分布．為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況，通常將樣本容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，這張表叫作樣本頻率分布表． 注意： 頻率分布表給出了各個(gè)區(qū)間的頻數(shù)和頻率，由此可以估計(jì)這組數(shù)據(jù)的分布情況，樣本頻率分布是總體分 布的一種近似． （3）繪制頻率分布表的基本步驟 第一步，求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）． 第二步，確定組距與組數(shù)． 組距是指每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離．極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系： ①若 ②若 極差組距極差 組距 極差 為整數(shù)，則 組數(shù)； 組距 極差 不為整數(shù)，則 組距  組數(shù)．（ 表示不大于 的最大整數(shù)）． 第三步，分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間． 第四步，統(tǒng)計(jì)各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)，計(jì)算頻率，填入表格中，完成頻率分布表． （4）頻率分布直方圖 ①為了將頻率分布表中的結(jié)果直觀形象地表現(xiàn)出來(lái)，常畫(huà)出頻率分布直方圖．畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示各組頻率與組距的比值，以各個(gè)組距為底，以各頻率除以組距的商為高，分別畫(huà)出矩形，這樣得到的直方圖就是頻率分布直方圖． ②繪制頻率分布直方圖的基本步驟 第一步，根據(jù)頻率分布表確定組距與組數(shù)． 第二步，根據(jù)頻率與組距確定矩形的高，高 頻率組距  ． 第三步，依據(jù)頻率分布表以及確定的矩形的大小繪制頻率分布直方圖． （二）其他常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)圖 （1）條形統(tǒng)計(jì)圖 ①條形統(tǒng)計(jì)圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫(huà)成長(zhǎng)短不同的直條，然后把這些直條 按照一定的順序排列起來(lái)． ②條形統(tǒng)計(jì)圖是用其高度來(lái)表示取各值的頻數(shù)，如果改變縱軸的意義，它還可以表示取各值的頻率（如 圖所示）． 頻數(shù) 頻數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖 頻數(shù) 頻率條形統(tǒng)計(jì)圖 O 正面向上 反面向上 試驗(yàn)結(jié)果 O 正面向上 反面向上 試驗(yàn)結(jié)果 ③條形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：從條形統(tǒng)計(jì)圖中能夠很直觀地看出各組中數(shù)據(jù)的多少，每一個(gè)條形都能體現(xiàn)該組中的具體數(shù)據(jù)， 也易比較數(shù)據(jù)間的差別． 缺點(diǎn)：不能顯示出部分與整體的關(guān)系． 【備注】【教師指導(dǎo)】 在條形統(tǒng)計(jì)圖中縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，也可表示頻率．頻數(shù)是指對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分組和整理 后，每一組中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．頻率是頻數(shù)與樣本容量的百分比． （2）扇形統(tǒng)計(jì)圖 ①扇形統(tǒng)計(jì)圖是用整個(gè)圓表示總數(shù)1，用圓內(nèi)各個(gè)扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比的多少．通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系． ②扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)： a.圓代表總體． b.扇形代表總體中的不同部分． c.扇形的大小反映部分占總體的百分比的大?。? d.各個(gè)扇形所占的百分比之和為1．但是，在不同的統(tǒng)計(jì)圖中，不能簡(jiǎn)單地根據(jù)百分比的大小來(lái)比較部分量的大?。? 【備注】【教師指導(dǎo)】 （1）扇形統(tǒng)計(jì)圖與圓的半徑及圓心角的關(guān)系：①扇形統(tǒng)計(jì)圖與所取圓的半徑無(wú)關(guān)． ②畫(huà)扇形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，要算準(zhǔn)關(guān)鍵量——圓心角的度數(shù)． （2）扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚地表示各個(gè)部分?jǐn)?shù)量同總體數(shù)量之間的關(guān)系，特別適合表示總 體的各個(gè)部分所占比例的問(wèn)題，但不適用于總體分成的部分較多的情況． （3）扇形統(tǒng)計(jì)圖會(huì)出現(xiàn)一些原始數(shù)據(jù)丟失的情況． （3）折線統(tǒng)計(jì)圖 ①折線統(tǒng)計(jì)圖是用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連 接起來(lái)，以折線的上升或下降來(lái)表示統(tǒng)計(jì)數(shù)量增減變化的情況．折線統(tǒng)計(jì)圖不但可以表示出數(shù)量的多 少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況（如圖所示）． 百分比 50% 40% 30% 20% 10% O 玩游戲 聊 天 看新聞 學(xué) 習(xí) 上網(wǎng)項(xiàng)目 ②與條形統(tǒng)計(jì)圖相比，折線統(tǒng)計(jì)圖不僅可以表示數(shù)量的多少，而且可以反映同一事物在不同時(shí)間里的發(fā) 展變化情況．折線統(tǒng)計(jì)圖也有單式、復(fù)式兩種． ③折線統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖很相似，制圖步驟與條形統(tǒng)計(jì)圖也基本相同，只是不畫(huà)直條，而是按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái)．它不但可以表示出數(shù)量的多少，而且能夠從折線的起伏中清楚直觀地表示出數(shù)量增減變化的情況． 經(jīng)典例題 12. 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好．現(xiàn)用一種新配方做試驗(yàn)，生 產(chǎn)了 件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果： 質(zhì)量指標(biāo)值 頻數(shù) （ 1 ）將答題卡上列出的這些數(shù)據(jù)的頻率分布表填寫(xiě)完整，并補(bǔ)齊頻率分布直方圖． 質(zhì)量指標(biāo)值分組 頻數(shù) 頻率 合計(jì) 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 2 ）估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查頻率分布直方表和頻率分布直方圖的綜合. 【答案】（ 1 ） 質(zhì)量指標(biāo)值分組 頻數(shù) 頻率 （ 2 ） 合計(jì) 畫(huà)圖見(jiàn)解析． ． 【解析】（ 1 ）頻率分布表和直方圖如下： 質(zhì)量指標(biāo)值分組  頻數(shù)  頻率 合計(jì) 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 2 ）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為 ． 所以此產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分 布直方圖 鞏固練習(xí) 13. 某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成績(jī)分成 組： 加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已 知高一年級(jí)共有學(xué)生 名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成績(jī)不少于 分的學(xué)生人數(shù)為（ ）． 頻率 組距 分?jǐn)?shù) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根據(jù)頻率分布直方圖， 成績(jī)不低于 （分）的頻率為  ． 由于該校高一年級(jí)共有學(xué)生 人，利用樣本估計(jì)總體的思想， 可估計(jì)該校高一年級(jí)模塊測(cè)試成績(jī)不低于 （分）的人數(shù)為： 人． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題 14. 某次有 人參加數(shù)學(xué)摸底考試，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定 分及以上為優(yōu)秀． 頻率 組距 分?jǐn)?shù) （ 1 ）下表是這次考試成績(jī)的頻數(shù)分布表，求正整數(shù) ， 的值． 區(qū)間 人數(shù) （ 2 ）現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從這 人中抽取 人的成績(jī)進(jìn)行分析，求其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生 人數(shù)． 【答案】（ 1 ） ； ．（ 2 ） 人． 【解析】（ 1 ）由題意可得：  ，  ． （ 2 ）設(shè)其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 ，則 ，解得 ． 因此其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率與概率問(wèn)題；分層隨機(jī)抽樣 經(jīng)典例題 15. 根據(jù)給出所示的三幅統(tǒng)計(jì)圖，判斷正確的選項(xiàng)是（ ）． 世界人口變化情況統(tǒng)計(jì)圖  年世界人口分布預(yù)測(cè)圖 人口 億 歐洲 亞洲 非洲 北美洲 年份 南美洲及大洋洲 人口 億 年世界人口預(yù)測(cè)圖 A. 歐洲 非洲 北美洲 南美洲及 亞洲 大洋洲 ①?gòu)恼劬€統(tǒng)計(jì)圖能看出世界人口的變化情況 B. C. ② ③ 年非洲人口將達(dá)到大約 億 年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多 D. ④從 年到 年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要對(duì)條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合分析，注意本題為多選題. 【答案】AC 【解析】A 選項(xiàng)：從折線統(tǒng)計(jì)圖能看出世界人口的變化情況，故 正確； B 選項(xiàng)：從條形統(tǒng)計(jì)圖中可得到： 年非洲人口大約將達(dá)到 億，故 錯(cuò)誤； C 選項(xiàng)：從扇形統(tǒng)計(jì)圖表中能夠明顯的得到結(jié)論： 年亞洲人口比其他各洲人口的總 和還要多，故 正確； D 選項(xiàng)：由上述三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得出從  年到  年中哪個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度最慢， 故 錯(cuò)誤； 故選 A C . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；頻率分布直方圖；折線圖、總體密度曲線 鞏固練習(xí) 16. 為了解疫情防控延遲開(kāi)學(xué)期間全區(qū)中小學(xué)線上教學(xué)的主要開(kāi)展形式，某課題組面向各學(xué)校開(kāi)展了一 次隨機(jī)調(diào)查，并繪制得到如圖統(tǒng)計(jì)圖，則采用“直播 錄播”方式進(jìn)行線上教學(xué)的學(xué)校占比約為（）． 學(xué)校數(shù) 其他 直播 直播 錄播 錄播 錄播 直播 直播 錄播 其他 線上教學(xué)方式 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖得調(diào)查學(xué)?？倲?shù)為：  ， ∴直播學(xué)校占比為： ， ∴采用“直播 錄播”方式進(jìn)行線上教學(xué)的學(xué)校占比約為： ． 故選： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖 6. 總體百分?jǐn)?shù)的估計(jì) 知識(shí)精講 （1）第 百分位數(shù)的特點(diǎn) 一般地，一組數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有 %的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè) 值，且至少有（ ）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值． （2）四分位數(shù) 常用的分位數(shù)有第 百分位數(shù)，第 百分位數(shù)和第 百分位數(shù)．這三個(gè)分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù)．其中第 百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第 百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)等． （3）計(jì)算一組 個(gè)數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)的一般步驟第1步：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)； 第2步：計(jì)算 ； 第3步：若 不是整數(shù)，而大于 的比鄰整數(shù)為 ，則第 百分位數(shù)為第 項(xiàng)數(shù)據(jù)；若 是整數(shù)，則第 百分位 數(shù)為第i項(xiàng)與第（ ）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 經(jīng)典例題 17. 樣本容量為 的一組樣本數(shù)據(jù)依次為： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，該組數(shù)據(jù)的第 百分位 數(shù)是 ，第 百分位數(shù)是 ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查計(jì)算一組 個(gè)數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù)的一般步驟：第1步：按照從小到大排列原始數(shù)據(jù)； 第2步：計(jì)算 ； 第3步：若 不是整數(shù)，而大于 的比鄰整數(shù)為 ，則第 百分位數(shù)為第 項(xiàng)數(shù)據(jù)；若 是整數(shù)， 則第 百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（ ）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)． 【答案】 ; 【解析】將這 個(gè)數(shù)從小到大排列， 即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由 ，則第 百分位數(shù)為第 個(gè)數(shù)和第 個(gè)數(shù)的平均數(shù)， 即 ， 由 ，則第 個(gè)數(shù)為這組數(shù)的 百分位數(shù)， 即 百分位數(shù)為 ． 故答案為： ； ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】百分位數(shù) 鞏固練習(xí) 18.下列一組數(shù)據(jù) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 這組數(shù)據(jù)的第 百分位數(shù) 是 ． 【答案】 【解析】將上述數(shù)據(jù)從小到大排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 個(gè)數(shù)， ，第 個(gè)數(shù)為 ． 故答案為： ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】百分位數(shù) 19. 以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽的 人的成績(jī)：（單位：分） 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，則這 人成績(jī)的第 百分位數(shù)是 ． 【答案】 【解析】將這 人的成績(jī)從小到大排列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；百分位數(shù) 7. 總體集中趨勢(shì)的估計(jì) 知識(shí)精講 （1）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義 ①眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)（即頻率最大值所對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)）叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．②中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處在最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)）叫作這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ③平均數(shù)：如果有 個(gè)數(shù)據(jù)用“ ”表示，即 ， ， ， ． ，那么 就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 【備注】【教師指導(dǎo)】 平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的異同 ①平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)“集中趨勢(shì)”的統(tǒng)計(jì)量，平均數(shù)是最重要的量． ②平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每一個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)相應(yīng)地引起平均數(shù)的變化． ③中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響．中位數(shù)可能在所給的數(shù)據(jù)中，也可能不在所給的數(shù)據(jù)中．當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì)． ④眾數(shù)考察各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不 少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，眾數(shù)往往更能反映問(wèn)題． ⑤實(shí)際問(wèn)題中，平均數(shù)的計(jì)算要比中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算難，而求得的平均數(shù)、中位數(shù)和眾 數(shù)都應(yīng)帶上單位． 知識(shí)點(diǎn)睛 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 名稱 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn) 眾數(shù) ①體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中 點(diǎn)； ②容易計(jì)算 ①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很少的一部分信息；②無(wú)法客觀地反映總體特征 中位數(shù) ①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)，即排 序靠前或靠后的數(shù)據(jù)的影響； ②容易計(jì)算，便于利用中間數(shù)據(jù) 的信息 對(duì)極端值不敏感 平均數(shù) 反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體 的信息 任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．?dāng)?shù)據(jù)越“離群”，對(duì)平均數(shù)的影響越大 若樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理，則樣本的數(shù)字特征與總體對(duì)應(yīng)的值相差不會(huì)太大，可以用樣本的 特征反映總體的特征． 經(jīng)典例題 20. 為了解觀眾對(duì)某綜藝節(jié)目的評(píng)價(jià)情況，欄目組隨機(jī)抽取了 名觀眾進(jìn)行評(píng)分調(diào)查，并統(tǒng)計(jì)得到如 圖所示的頻率分布直方圖，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）． 頻率 組距 評(píng)分 A. B. C. D. 參與評(píng)分的觀眾評(píng)分在 觀眾評(píng)分的眾數(shù)約為 分 觀眾評(píng)分的平均分約為 分觀眾評(píng)分的中位數(shù)約為 分 的有 人 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，尤其需要注意D選項(xiàng)計(jì)算中位數(shù)的方法. 【答案】C 【解析】A 選項(xiàng)：觀眾評(píng)分在 的頻率為 ， 則在 的觀眾人數(shù)有 人．故 正確； B 選項(xiàng)：根據(jù)頻率 頻率 總數(shù)  可知， 頻數(shù)越大，頻率越大， 在頻率分布直方圖中，頻數(shù)越大，則小長(zhǎng)方形越高， 所以眾數(shù)在 組中，眾數(shù)約為 ．故 正確； C 選項(xiàng)：根據(jù)題意可知， 平均數(shù) ， 所以平均分約為 ．故 錯(cuò)誤； D 選項(xiàng)：觀眾評(píng)分的中位數(shù)為頻率的  ， 則 的頻率為 ， ， 則 組的頻率為 時(shí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)約為 ， 所以觀眾評(píng)分的中位數(shù)為 分． 做 正確．故選 C . 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位 數(shù)、平均數(shù) 21. 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 件，測(cè)量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得到如圖所示的頻 率分布直方圖． 頻率 組距 質(zhì)量指標(biāo)值 （ 1 ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 （ 2 ）估計(jì)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)． （ 3 ）估計(jì)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)． 內(nèi)的頻率． 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征：用樣本的中位數(shù)來(lái)估計(jì)總體的中位 數(shù)，用樣本的平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù). 【答案】（ 1 ） ．（ 2 ） ．（ 3 ） ． 【解析】（ 1 ）由頻率分布直方圖可知質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間  ，  ，  ， ， ， 的頻率分別為： ,0.12,0.19,0.30,0.20,0.05． ∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 的頻率為： ． （ 2 ）∵ ， ， ∴ ， ∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為  ． （ 3 ）以每個(gè)區(qū)間的平均數(shù)作為計(jì)算依據(jù)，∴這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為： ． 故這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率與概率問(wèn)題；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位 數(shù)、平均數(shù) 鞏固練習(xí) 22. 為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某中學(xué)隨機(jī)抽取 名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，得分（ 分制） 的頻數(shù)分布表如下： 得分 頻數(shù) 設(shè)得分的中位數(shù) ，眾數(shù) ，平均數(shù) ，下列關(guān)系正確的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可知眾數(shù)  ， 中位數(shù) ， 平均數(shù) ， ∴比較大小：  ， 故 ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題 8. 總體離散程度的估計(jì) 知識(shí)精講 （1）平均距離 假設(shè)一組數(shù)據(jù)是 （2）標(biāo)準(zhǔn)差 ， ， ， ， ，那么這組數(shù)據(jù) 表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)， 到 的距離分別是， ， ， 到 的“平均距離”是 ． ， 標(biāo)準(zhǔn)差是數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公 式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差： ． 顯然，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，所以標(biāo)準(zhǔn)差可以刻畫(huà)數(shù) 據(jù)的穩(wěn)定程度． （3）方差 從數(shù)學(xué)的角度來(lái)考慮，有時(shí)用 來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大 小，并把它叫作這組數(shù)據(jù)的方差． 【備注】【教師指導(dǎo)】 注意： ①標(biāo)準(zhǔn)差，方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散 程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。? ②標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍： 據(jù)沒(méi)有波動(dòng)．  ， ．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為 時(shí)，樣本數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù) ③因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標(biāo) 準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的離散程上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般采用標(biāo)準(zhǔn)差． （4）分層隨機(jī)抽樣的方差①兩層構(gòu)成樣本的方差 設(shè)樣本 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，權(quán)重為ω ，樣本 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，權(quán)重為ω ， 則樣本 ， ， ， ， ， ， ， 樣本的方差可以記為： ω ② 層構(gòu)成樣本的方差 的平均數(shù)為 ω  ． ， 設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為 ，方差分別為 ，相應(yīng)的權(quán)重分別為 ω ω ， ω ，則這個(gè)樣本的方差為： ω ，其中 為樣本平均數(shù)． 注：權(quán)重指某一因素或指標(biāo)相對(duì)于某一事物的重要程度． 經(jīng)典例題 23. 若 ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ，則 ， ， ， 的平均數(shù)和方差分 別為（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題根據(jù)如下性質(zhì)計(jì)算平均數(shù)和方差，既簡(jiǎn)便計(jì)算又能提高答案的正確率.所以要求學(xué)生熟記以下三條性質(zhì)： ①若 ， ， ， ， 的平均數(shù)是 ，那么 ， ， ， 的平均數(shù)是 ． ②數(shù)據(jù) ③若  ， ， ， ， ， ， 與數(shù)據(jù) ， 的方差為 ，那么  ，  ， ， ， ， 的方差相等． 的方差為 ． 【答案】D 【解析】∵ ， ， ， 的平均數(shù)為 ，方差為 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， 的平均數(shù)為： ， ∴ ， ， ， 的方差為： ， 綜上所述，  ，  ， ，  的平均數(shù)和方差分別為  ， ． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 24. 某籃球教練對(duì)甲乙兩位運(yùn)動(dòng)員在近五場(chǎng)比賽中的得分情況統(tǒng)計(jì)如下圖所示： 分?jǐn)?shù) 甲 ：乙 ： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次  次數(shù) 根據(jù)圖表給出如下結(jié)論： （ ）甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差?。?（ ）甲乙兩人得分的平均數(shù)相等且甲的方差比乙的方差大． （ ）甲的成績(jī)?cè)诓粩嗵岣撸业某煽?jī)無(wú)明顯提高． （ ）甲的成績(jī)較穩(wěn)定，乙的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)．以上結(jié)論正確的是（ ）． A. B. C. D. 【備注】【教師指導(dǎo)】 本題主要考查方差、標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小. 【答案】C 【解析】由選項(xiàng)知甲乙的平均數(shù)相同（實(shí)際：甲得分分別為 ， ， ， ， ，乙得分分別為， ， ， ， ，經(jīng)計(jì)算甲乙的平均數(shù)均為 ），圖中明顯實(shí)線波動(dòng)較大，方差 大．從折線圖看甲的成績(jī)基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績(jī)上下波動(dòng)，可知甲的成績(jī)?cè)诓粩? 提高，而乙的成績(jī)無(wú)明顯提高． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù)；折線圖、總體密度曲線 鞏固練習(xí) 25. 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）． ①數(shù)據(jù)的極差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定； ②數(shù)據(jù)的平均數(shù)越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；③數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定；④數(shù)據(jù)的方差越小，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定． A. B. C. D. 【答案】C 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 26. 甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶 次，兩人成績(jī)的統(tǒng)計(jì)表如下表所示，則 甲 乙 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 環(huán)數(shù) 頻數(shù) 有以下四種說(shuō)法： ①甲成績(jī)的平均數(shù)小于乙成績(jī)的平均數(shù)；②甲成績(jī)的中位數(shù)等于乙成績(jī)的中位數(shù)；③甲成績(jī)的方差小于乙成績(jī)的方差； ④甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差． 其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）．（注：  ，其中 為數(shù)據(jù) ， ， ， 的平均數(shù)） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵  甲  ，  乙  ， 故 甲 乙，①錯(cuò)． 由表格可知，甲的中位數(shù)為 ，乙的中位數(shù)為 ，故②錯(cuò)． 甲 ， 乙 ， ∴ 甲 乙，故③正確． 由題可知，甲的極差為 ， 乙的極差為 ，故④錯(cuò)誤． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差 經(jīng)典例題 27. 一次數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢? 分?jǐn)?shù) 人數(shù) 甲組 乙組 經(jīng)計(jì)算，兩組的平均分都是 分，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這次競(jìng)賽中哪個(gè)組更優(yōu)秀，并說(shuō)明理由． 【備注】【教師指導(dǎo)】 運(yùn)用數(shù)字特征進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)從平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差等多個(gè)角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分 析，全面考慮各數(shù)字的優(yōu)缺點(diǎn)，從不同層面或兩兩綜合進(jìn)行評(píng)價(jià)，才能得到較為可靠的結(jié) 論. 【答案】從整體來(lái)看，甲組成績(jī)比乙組好，證明見(jiàn)解析． 【解析】從不同的角度分析如下： ①甲組成績(jī)的眾數(shù)為 分，乙組成績(jī)的眾數(shù)為 分，從成績(jī)的眾數(shù)這一角度看，甲組成績(jī)好些． ② 甲 ． 同理 因?yàn)? 乙 甲 ． 乙，所以甲組的成績(jī)比乙組的成績(jī)穩(wěn)定． ③甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是 分，其中甲組成績(jī)?cè)? 分以上（含 分）的有 人，乙組成績(jī)?cè)? 分以上（含 分）的有 人，從這一角度看，甲組成績(jī)總體較 好． ④從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于或等于 分的有 人，乙組成績(jī)大于或等于 分的有 人，所以乙組成績(jī)?cè)诟叻侄蔚娜藬?shù)多．同時(shí)，乙組滿分比甲組多 人，從這一角度看， 乙組成績(jī)較好． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中 位數(shù)、平均數(shù) 28. 某行業(yè)主管部門(mén)為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了 個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季 度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長(zhǎng)率 的頻數(shù)分布表． 的分組 企業(yè)數(shù) （ 1 ）分別估計(jì)這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于 的企業(yè)比例、產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例． （ 2 ）求這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為 代表）．(精確到 ) 附 : ． 【備注】【教師指導(dǎo)】 第（1）問(wèn)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算即可； 第（2）問(wèn)主要考查用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征：計(jì)算樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差. 【答案】（ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． 【解析】（ 1 ）根據(jù)產(chǎn)值增長(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的 個(gè)企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于 的企 業(yè)頻率為 ． 產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)頻率為 ． 用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這類企業(yè)中產(chǎn)值增長(zhǎng)率不低于  的企業(yè)比例為 ，產(chǎn)值負(fù)增長(zhǎng)的企業(yè)比例為 ． （ 2 ） ， , ． 所以，這類企業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值分別為  ，  ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；極差、 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 鞏固練習(xí) 29. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò) 抽樣，獲得了某年 位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照 ， ， ， 分成 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． 頻率 組距 月均用水量 噸 （ 1 ）求直方圖中的 值． （ 2 ）設(shè)該市有 萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù)．說(shuō)明理由． （ 3 ）估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)． 【答案】（ 1 ） ． （ 2 ）（ 3 ） ． ． 【解析】（ 1 ）∵ ， 整理可得： ， ∴解得： ． （ 2 ）估計(jì)全市居民中月均用水量不低于 噸的人數(shù)為 萬(wàn)， 理由如下： 由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于 噸的頻率為 ， 又樣本容量為 萬(wàn)， 則樣本中月均用水量不低于 噸的戶數(shù)為（ 3 ）根據(jù)頻率分布直方圖得： 萬(wàn)． ， ， ∴中位數(shù)應(yīng)在 組內(nèi)，設(shè)出未知數(shù) ， 令 ， 解得 ， ∴中位數(shù)是 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征問(wèn)題；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；頻率分 布直方圖 三、 思維導(dǎo)圖 你學(xué)會(huì)了嗎？畫(huà)出思維導(dǎo)圖總結(jié)本課所學(xué)吧！ 【備注】 四、 出門(mén)測(cè) 30. ①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有 人的成績(jī)?cè)? 分以上， 人的成績(jī)?cè)?分， 人的成績(jī)低于 分，現(xiàn)從中抽取 人了解有關(guān)情況；②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加 接力賽的 支隊(duì)伍安排跑 道；針對(duì)這兩件事，恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǚ謩e為（ ）． A. 分層隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 C. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣 D. 分層隨機(jī)抽樣，分層隨機(jī)抽樣 【答案】A 【解析】①一次數(shù)學(xué)考試中，某班有 人的成績(jī)?cè)? 分以上， 人的成績(jī)?cè)?分， 人的 成績(jī)低于 分，現(xiàn)從中抽取 人了解有關(guān)情況，此項(xiàng)抽查的總體數(shù)目較多，而且差異很大，符合分層抽樣的適用范圍； ②運(yùn)動(dòng)會(huì)的工作人員為參加 接力賽的 支隊(duì)伍安排跑道，此項(xiàng)抽查的總體個(gè)數(shù)不 多，而且差異不大，符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的適用范圍，所以 選項(xiàng)正確． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣 31. 為了檢驗(yàn)?zāi)硰S生產(chǎn)的取暖器是否合格，先從 臺(tái)取暖器中取 臺(tái)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)數(shù)表抽取樣 本，將 臺(tái)取暖器編號(hào)為 ， ， ， ．下圖提供了隨機(jī)數(shù)表第 行至第 行的數(shù)據(jù)： 若從表中第 行第 列開(kāi)始向右依次讀取 個(gè)數(shù)據(jù)，則抽出第 臺(tái)取暖器的編號(hào)為（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】找到第 行第 列開(kāi)始向右讀，第一個(gè)符合條件的數(shù)是 ，第二個(gè)符合條件的數(shù)是 ，第三個(gè)符合條件的數(shù)是 ，第四個(gè)符合條件的數(shù)是 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 32. 校學(xué)生會(huì)調(diào)查有關(guān)本學(xué)期學(xué)生活動(dòng)計(jì)劃的意見(jiàn)，打算在全校范圍內(nèi)抽取部分同學(xué)作為樣本，該校有 高一學(xué)生 人，高二學(xué)生 人，高三學(xué)生 人，若利用分層抽樣，在高一學(xué)生中抽取 人， 則應(yīng)在高二學(xué)生中抽取（ ）． A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】B 【解析】設(shè)在高二抽取 人，由  ，可知  ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】分層隨機(jī)抽樣 33. 某班同學(xué)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) 歲的人群隨機(jī)抽取 人進(jìn)行了生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào) 查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖如下，則圖表中的 ， 的值分別為（ ）． 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組第二組第三組第四組第五組第六組 頻率 組距 年齡 歲 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】∵由圖可知， 第一組人數(shù)為  人， 且第 組的頻率為 ， ∴總?cè)藬?shù) ， 又第二組的頻率為 ， ∴第二組共有 人， ∴ ， 又∵第四組的頻率為  ， ∴第四組有 人， ∴ ， 故 ， ， 故選 項(xiàng)． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖；頻率與概率問(wèn)題 34. 甲、乙、丙、丁四人參加奧運(yùn)會(huì)射擊項(xiàng)目選拔賽，四人的平均成績(jī)和方差見(jiàn)下表： 名稱 甲 乙 丙 丁 平均數(shù) 方差 則參加奧運(yùn)會(huì)的最佳人選應(yīng)為（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】由平均數(shù)及方差的定義知，丙的平均成績(jī)較高且較穩(wěn)定． 故選 ． 【標(biāo)注】【知識(shí)點(diǎn)】平均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較 39

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