10.1　隨機(jī)事件與概率 10.1.1　有限樣本空間與隨機(jī)事件 觀察幾幅圖片： 事件一：常溫下石頭在一天內(nèi)被風(fēng)化． 事件二：木柴燃燒產(chǎn)生熱量． 事件三：射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次中十環(huán)． 問題：以上三個(gè)事件一定會發(fā)生嗎？ 知識點(diǎn)1　有限樣本空間 1．隨機(jī)試驗(yàn)的概念和特點(diǎn) (1)隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E來表示． (2)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)： ①試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行； ②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)； ③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果． 2．樣本點(diǎn)和樣本空間 觀察隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，其可能出現(xiàn)的結(jié)果的數(shù)量一定是有限的嗎？ [提示]　不一定，也可能是無限的．如在實(shí)數(shù)集中，任取一個(gè)實(shí)數(shù)． 1．下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有(　　) ①在一條公路上，交警記錄某一小時(shí)通過的汽車超過300輛． ②若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)． ③發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)． ④檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品還是次品． A．1個(gè)　　　B．2個(gè)　　　C．3個(gè)　　　D．4個(gè) C　[當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1一定為整數(shù)，是確定性現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．] 2．從數(shù)字1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝________． {12,13,23}　[從數(shù)字1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，共有3個(gè)結(jié)果：(1,2)，(1,3)，(2,3)，所以Ω＝(1,2)，(1,3)，(2,3)．] 知識點(diǎn)2　隨機(jī)事件 3．從含有8件正品、2件次品的10件產(chǎn)品中，任意抽取3件，則必然事件是(　　) A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 D　[將抽到正品記為1，次品記為0，則樣本空間Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有1件正品為必然事件．] 4．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件： ①“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部是一級品”； ②“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，全部都是二級品”； ③“在這200件產(chǎn)品中任意選9件，不全是一級品”． 其中________是隨機(jī)事件；________是不可能事件．(填上事件的編號) ①③?、凇因?yàn)槎壠分挥?件，故9件產(chǎn)品不可能全是二級品，所以②是不可能事件．] 類型1　事件類型的判斷 【例1】　下列事件：①任取一個(gè)整數(shù)，被2整除；②小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中成績一定不低于120分；③甲、乙兩人進(jìn)行競技比賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次比賽中甲一定獲勝；④當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，圓的面積是原來的4倍．其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　B．3　　　　C．0　　　　D．4 B　[①②③均是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，為隨機(jī)事件，④是一定發(fā)生的事件，為必然事件．故選B．] 判斷一個(gè)事件是哪類事件要看兩點(diǎn) 一看條件，因?yàn)槿N事件都是相對于一定條件而言的； 二看結(jié)果是否發(fā)生，一定發(fā)生的是必然事件，不一定發(fā)生的是隨機(jī)事件，一定不發(fā)生的是不可能事件． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 1．指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件： (1)某人購買福利彩票一注，中獎(jiǎng)500萬元； (2)三角形的內(nèi)角和為180°； (3)沒有空氣和水，人類可以生存下去； (4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上； (5)從分別標(biāo)有1,2,3,4的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽． [解]　(1)購買一注彩票，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，所以是隨機(jī)事件． (2)所有三角形的內(nèi)角和均為180°，所以是必然事件． (3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件． (4)同時(shí)拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件． (5)任意抽取，可能得到1,2,3,4號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件． 類型2　確定試驗(yàn)的樣本空間 　樣本點(diǎn)、樣本空間 【例2】　指出下列試驗(yàn)的樣本空間： (1)從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取2個(gè)小球； (2)從1,3,6,10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))作差． 1．如何確定試驗(yàn)的樣本空間？ [提示]　確定試驗(yàn)的樣本空間就是寫出試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，并寫成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式． 2．寫試驗(yàn)的樣本空間要注意些什么？ [提示]　要考慮周全，應(yīng)想到試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果，避免發(fā)生遺漏和出現(xiàn)多余的結(jié)果． [解]　(1)樣本空間Ω＝{(紅球，白球)，(紅球，黑球)，(白球，黑球)}． (2)由題意可知： 1－3＝－2,3－1＝2， 1－6＝－5,6－1＝5， 1－10＝－9,10－1＝9， 3－6＝－3,6－3＝3， 3－10＝－7,10－3＝7， 6－10＝－4,10－6＝4． 即試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}． 1．求本例(2)中試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)． [解]　樣本點(diǎn)的總數(shù)為12． 2．求本例(2)中滿足“兩個(gè)數(shù)的差大于0”的樣本點(diǎn)有哪些？ [解]　滿足“兩個(gè)數(shù)的差大于0”的樣本點(diǎn)有：2,5,9,3,7,4，共6個(gè)． 3．在本例(1)中，從裝有紅、白、黑三種顏色的小球各1個(gè)的袋子中任取1個(gè)小球，記下顏色后放回，連續(xù)取兩次，指出試驗(yàn)的樣本空間． [解]　樣本空間Ω＝{(紅球，紅球)，(紅球，白球)，(紅球，黑球)，(白球，白球)，(白球，紅球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，紅球)}． 4．在本例(2)中，從1,3,6,10四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)(不重復(fù))分別作為平面內(nèi)點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)，指出試驗(yàn)的樣本空間． [解]　由題意可知：樣本空間Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}． 　事件與樣本空間 【例3】　同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y，結(jié)果為(x，y)(不考慮指針落在分界線上的情況)． ①　　　　　　　② (1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間； (2)寫出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x1”的集合表示； (3)說出事件C＝{(1,4)，(2,2)，(4,1))，D＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}所表示的含義． [解]　(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}． (2)事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}； 事件B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}． (3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y(tǒng)”． 隨機(jī)事件與樣本空間問題的解題策略 (1)用樣本點(diǎn)表示隨機(jī)事件，首先弄清試驗(yàn)的樣本空間，不重不漏列出所有的樣本點(diǎn)．然后找出滿足隨機(jī)事件要求的樣本點(diǎn)，從而用這些樣本點(diǎn)組成的集合表示隨機(jī)事件． (2)隨機(jī)事件可以用文字表示，也可以將事件表示為樣本空間的子集，后者反映了事件的本質(zhì)，且更便于今后計(jì)算事件發(fā)生的概率． eq \o([跟進(jìn)訓(xùn)練]) 2．甲、乙兩人做出拳游戲(錘、剪、布)． (1)寫出樣本空間； (2)用集合表示事件“甲贏”； (3)用集合表示事件“平局”． [解]　(1)Ω＝{(錘，剪)，(錘，布)，(錘，錘)，(剪，錘)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，錘)，(布，剪)，(布，布)}． (2)記“甲贏”為事件A，則A＝{(錘，剪)，(剪，布)，(布，錘)}． (3)記“平局”為事件B，則B＝{(錘，錘)，(剪，剪)，(布，布)}． 1．下列事件不是隨機(jī)事件的是(　　) A．東邊日出西邊雨　　　 B．下雪不冷化雪冷 C．清明時(shí)節(jié)雨紛紛 D．梅子黃時(shí)日日晴 B　[B是必然事件，其余都是隨機(jī)事件．] 2．(多選題)下列試驗(yàn)是隨機(jī)事件的是(　　) A．當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x－|x|＝2 B．某班一次數(shù)學(xué)測試，及格率低于75% C．從分別標(biāo)有0,1,2,3，…，9這十個(gè)數(shù)字的紙團(tuán)中任取一個(gè)，取出的紙團(tuán)是偶數(shù) D．體育彩票某期的特等獎(jiǎng)號碼 BCD　[由隨機(jī)事件的定義知BCD是隨機(jī)事件．] 3．依次投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)是(　　) A．第一枚是3點(diǎn)，第二枚是1點(diǎn) B．第一枚是3點(diǎn)，第二枚是1點(diǎn)或第一枚是1點(diǎn)，第二枚是3點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn) C．兩枚都是4點(diǎn) D．兩枚都是2點(diǎn) B　[依次投擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)是第一枚是3點(diǎn)，第二枚是1點(diǎn)或第一枚是1點(diǎn)，第二枚是3點(diǎn)或兩枚都是2點(diǎn)．故選B．] 4．在1,2,3，…，10這十個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字，那么“這三個(gè)數(shù)字的和大于5”這一事件是(　　) A．必然事件 B．不可能事件 C．隨機(jī)事件 D．以上選項(xiàng)均有可能 A　[從1,2,3，…，10這十個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字，那么這三個(gè)數(shù)字和的最小值為1＋2＋3＝6， ∴事件“這三個(gè)數(shù)字的和大于5”一定會發(fā)生， ∴由必然事件的定義可以得知該事件是必然事件．故選A．] 5．從a，b，c，d中任取兩個(gè)字母，寫出該試驗(yàn)的樣本空間及其包含的樣本點(diǎn)數(shù)． [解]　該試驗(yàn)的結(jié)果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)數(shù)為6． 回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題： (1)隨機(jī)試驗(yàn)的概念、特點(diǎn)是什么？ (2)樣本點(diǎn)、樣本空間及隨機(jī)事件的定義是什么？ (3)如何區(qū)分隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件？ 學(xué) 習(xí) 任 務(wù)核 心 素 養(yǎng)1．結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義．(重點(diǎn)) 2．理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過對隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過寫出試驗(yàn)的樣本空間，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用ω表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間用Ω表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}隨機(jī)事件我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件不可能事件空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件

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