人教A版 (2019)必修第二冊6.3 平面向量基本定理及坐標表示學案-學案下載-教習網(wǎng)

?平面向量基本定理及坐標表示

【第一學時】
學習重難點
學習目標
核心素養(yǎng)
平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義
數(shù)學抽象
平面向量基本定理的應用
掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量
數(shù)學抽象、數(shù)學運算
【學習過程】
一、問題導學
預習教材內(nèi)容，思考以下問題：
1．基底中兩個向量可以共線嗎？

2．平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？

二、合作探究
1．平面向量基本定理的理解
例1：設e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：
①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1；③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2．
其中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________（寫出滿足條件的序號）．
解析：①設e1＋e2＝λe1，則無解，
所以e1＋e2與e1不共線，即e1與e1＋e2能作為一組基底．
②設e1－2e2＝λ（e2－2e1），則（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0，
則無解，所以e1－2e2與e2－2e1不共線，即e1－2e2與e2－2e1能作為一組基底．
③因為e1－2e2＝－（4e2－2e1），
所以e1－2e2與4e2－2e1共線，
即e1－2e2與4e2－2e1不能作為一組基底．
④設e1＋e2＝λ（e1－e2），則（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，則無解，所以e1＋e2與e1－e2不共線，即e1＋e2與e1－e2能作為一組基底．
答案：③
2．用基底表示平面向量
例2：如圖所示，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別為BC，DC邊上的中點，DE與BF交于點G，若＝a，＝b，試用基底{a，b}表示向量，．

解：＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＝a－b．
＝＋＋
＝－＋＋＝b－a．
互動探究：
（1）變問法：本例條件不變，試用基底{a，b}表示．
解：由平面幾何知識知BG＝BF，
故＝＋＝＋
＝a＋
＝a＋b－a＝a＋b．
（2）變條件：若將本例中的向量“，”換為“，”，即若＝a，＝b，試用基底{a，b}表示向量，．
解：＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a．
＝＋＝2＋
＝－2＋＝－2a＋b．
3．平面向量基本定理的應用
例3：如圖，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點P，求AP∶PM與BP∶PN．

解：設＝e1，＝e2，
則＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2．
因為A，P，M和B，P，N分別共線，
所以存在實數(shù)λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2．
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2．
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．
互動探究：
1．變問法：在本例條件下，若＝a，＝b，試用a，b表示．
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，則＝，
＝＋＝＋＝b＋（－）
＝b＋a－b＝b＋a．
2．變條件：若本例中的點N為AC的中點，其他條件不變，求AP∶PM與BP∶PN．

解：如圖，設＝e1，＝e2，
則＝＋＝－2e2－e1，＝＋＝2e1＋e2．
因為A，P，M和B，P，N分別共線，
所以存在實數(shù)λ，μ使得＝λ＝－λe1－2λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2．
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（2λ＋μ）e2．
而＝＋＝2e1＋2e2，由平面向量基本定理，
得
解得
所以＝，＝，
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2．
三、學習小結(jié)
平面向量基本定理
條件
e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量
結(jié)論
對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底
四、精煉反饋
1．如圖在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，則＝（　?。?br />
A．（5e1＋3e2） B．（5e1－3e2）
C．（3e2－5e1） D．（5e2－3e1）
解析：選A．＝＝（＋）
＝（＋）＝（5e1＋3e2）．
2．已知非零向量，不共線，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），則x，y滿足的關(guān)系是（　?。?br /> A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：選A．由＝λ，得－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ．又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2．
3．如圖，在平行四邊形ABCD中，設＝a，＝b，試用基底{a，b}表示，．
解：法一：設AC，BD交于點O，則有＝＝＝a，＝＝＝b．
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b．
法二：設＝x，＝y(tǒng)，則＝＝y(tǒng)，
又
所以解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b．
【第二學時】
學習重難點
學習目標
核心素養(yǎng)
平面向量的坐標表示
理解向量正交分解以及坐標表示的意義
數(shù)學抽象、直觀想象
平面向量加、減運算的坐標表示
掌握兩個向量的和、差及向量數(shù)乘的坐標運算法則
數(shù)學運算
平面向量數(shù)乘運算的坐標表示
理解坐標表示的平面向量共線的條件，并會解決向量共線問題
數(shù)學運算、邏輯推理
【學習過程】
一、問題導學
預習教材內(nèi)容，思考以下問題：
1．怎樣分解一個向量才為正交分解？

2．如何求兩個向量和、差的向量的坐標？

3．一個向量的坐標與有向線段的起點和終點坐標之間有什么關(guān)系？

4．若a＝（x，y），則λa的坐標是什么？

二、合作探究
1．平面向量的坐標表示
例1：已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，
（1）求向量的坐標；
（2）若B（，－1），求的坐標．

解：（1）設點A（x，y），則x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，
即A（2，6），所以＝（2，6）．
（2）＝（2，6）－（，－1）＝（，7）．
2．平面向量的坐標運算
例2：（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c滿足3a－2b＋c＝0，則c＝（　?。?br /> A．（－23，－12） B．（23，12）
C．（7，0） D．（－7，0）
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求點M，N的坐標．
解：（1）選A．因為a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c滿足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）．
（2）法一：因為A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
所以＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）．
因為＝3 ，＝2 ，
所以＝3（1，8）＝（3，24），＝2（6，3）＝（12，6）．
設M（x1，y1），N（x2，y2），
所以＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），
所以解得
所以M（0，20），N（9，2）．
法二：設O為坐標原點，則由＝3 ，＝2 ，
可得－＝3（－），－＝2（－），
所以＝3 －2 ，＝2 －．
所以＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2）．
所以M（0，20），N（9，2）．
3．向量坐標運算的綜合應用
例3：已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5），及＝＋t．
（1）t為何值時，點P在x軸上？點P在y軸上？點P在第二象限？
（2）四邊形OABP能為平行四邊形嗎？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

解：（1）＝＋t＝（1，2）＋t（3，3）
＝（1＋3t，2＋3t）．若點P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－．
若點P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－．
若點P在第二象限，則
所以－＜t＜－．
（2）＝（1，2），＝（3－3t，3－3t）．若四邊形OABP為平行四邊形，
則＝，所以該方程組無解．
故四邊形OABP不能為平行四邊形．
互動探究：
變問法：若保持本例條件不變，問t為何值時，B為線段AP的中點？
解：由＝＋t，得＝t．
所以當t＝2時，＝2，B為線段AP的中點．
4．向量共線的判定
（1）已知向量a＝（1，－2），b＝（3，4）．若（3a－b）∥（a＋kb），則k＝________．
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判斷與是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？
解：（1）3a－b＝（0，－10），a＋kb＝（1＋3k，－2＋4k），
因為（3a－b）∥（a＋kb），所以0－（－10－30k）＝0，
所以k＝－．故填－．
（2）因為＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
＝（2－（－1），5－（－1））＝（3，6），
因為2×6－3×4＝0，
所以∥，所以與共線．
又＝，所以與的方向相同．
互動探究：
變問法：若本例（1）條件不變，判斷向量（3a－b）與（a＋kb）是反向還是同向？
解：由向量（3a－b）與（a＋kb）共線，得k＝－，
所以3a－b＝（3，－6）－（3，4）＝（0，－10），
a＋kb＝a－b＝（1，－2）－（3，4）
＝＝（0，－10），
所以向量（3a－b）與（a＋kb）同向．
5．三點共線問題
（1）已知＝（3，4），＝（7，12），＝（9，16），求證：點A，B，C共線；
（2）設向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k），求當k為何值時，A，B，C三點共線．

解：（1）證明：由題意知＝－＝（4，8），
＝－＝（6，12），所以＝，
即與共線．
又因為與有公共點A，所以點A，B，C共線．
（2）法一：因為A，B，C三點共線，即與共線，
所以存在實數(shù)λ（λ∈R），使得＝λ．
因為＝－＝（4－k，－7），＝－＝（10－k，k－12），
所以（4－k，－7）＝λ（10－k，k－12），
即解得k＝－2或k＝11．
所以當k＝－2或k＝11時，A，B，C三點共線．
法二：由已知得與共線，
因為＝－＝（4－k，－7），＝－＝（10－k，k－12），
所以（4－k）（k－12）＋7（10－k）＝0，
所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11．
所以當k＝－2或k＝11時，A，B，C三點共線．
6．向量共線的應用
如圖所示，在△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），＝，＝，AD與BC相交于點M，求點M的坐標．

解：因為＝＝（0，5）＝，
所以C．
因為＝＝（4，3）＝，
所以D．
設M（x，y），則＝（x，y－5），
＝＝．
因為∥，
所以－x－2（y－5）＝0，
即7x＋4y＝20．①
又＝，＝，
因為∥，所以x－4＝0，
即7x－16y＝－20．②
聯(lián)立①②解得x＝，y＝2，故點M的坐標為．
三、學習小結(jié)
1．平面向量坐標的相關(guān)概念

2．平面向量的坐標運算
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，則
①a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；
②a－b＝（x1－x2，y1－y2）；
③λa＝（λx1，λy1）．
（2）一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．
3．兩向量共線的充要條件
設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0．則a，b（b≠0）共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
四、精煉反饋
1．已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），則2a－b＝（　　）
A．（5，7）
B．（5，9）
C．（3，7）
D．（3，9）
答案：A
2．已知A（－1，－2），B（2，3），C（－2，0），D（x，y），且＝2，則x＋y＝________．
解析：因為＝（－2，0）－（－1，－2）＝（－1，2），＝（x，y）－（2，3）＝（x－2，y－3），又2＝，即（2x－4，2y－6）＝（－1，2），
所以解得所以x＋y＝．
答案：
3．已知點B（1，0）是向量a的終點，向量b，c均以原點O為起點，且b＝（－3，4），c＝（－1，1）與a的關(guān)系為a＝3b－2c，求向量a的起點坐標．
解：a＝3b－2c＝3（－3，4）－2（－1，1）＝（－7，10），
設a的起點為A（x，y），
則a＝＝（1－x，－y），
所以
所以
所以A（8，－10）．
即a的起點坐標為（8，－10）．
4．已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么2a－b＝（　　）
A．（4，0） B．（0，4）
C．（4，－8） D．（－4，8）
解析：選C．因為向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，所以1×4＝（－2）×m，所以m＝－2，所以2a－b＝（2－m，－4－4）＝（4，－8）．
5．若三點A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一條直線上，則下列式子一定正確的是（　?。?br /> A．2m－n＝3 B．n－m＝1
C．m＝3，n＝5 D．m－2n＝3
解析：選A．因為三點A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一條直線上，所以＝λ，所以（1，m－3）＝λ（2，n－3），所以λ＝，所以m－3＝（n－3），即2m－n＝3．
6．平面內(nèi)給定三個向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）．
（1）求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n的值；
（2）若（a＋kc）∥（2b－a），求實數(shù)k的值．
解：（1）因為a＝mb＋nc，所以（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）．
所以解得
（2）因為（a＋kc）∥（2b－a），
又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），
所以2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．
所以k＝－．
【第三學時】
學習重難點
學習目標
核心素養(yǎng)
平面向量數(shù)量積的坐標表示
掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示，
會用向量的坐標形式求數(shù)量積
數(shù)學運算
平面向量的模與夾角的坐標表示
能根據(jù)向量的坐標計算向量的模、
夾角及判定兩個向量垂直
數(shù)學運算、邏輯推理
【學習過程】
一、問題導學
預習教材內(nèi)容，思考以下問題：
1．平面向量數(shù)量積的坐標表示是什么？

2．如何用坐標表示向量的模、夾角和垂直？

二、合作探究
1．數(shù)量積的坐標運算
例1：已知向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），則（2a＋b）·a＝（　　）
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：因為a＝（1，－1），b＝（－1，2），
所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1．
答案：C
2．平面向量的模
例2：（1）設平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b則|3a＋b|等于（　　）
A． B．
C． D．
（2）已知|a|＝2，b＝（2，－3），若a⊥b，求a＋b的坐標及|a＋b|．
解：（1）選A．因為a∥b，所以1×y－2×（－2）＝0，
解得y＝－4，從而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝．
（2）設a＝（x，y），
則由|a|＝2，得x2＋y2＝52．①
由a⊥b，解得2x－3y＝0．②
聯(lián)立①②，解得或
所以a＝（6，4）或a＝（－6，－4）．
所以a＋b＝（8，1）或a＋b＝（－4，－7），
所以|a＋b|＝．
3．平面向量的夾角（垂直）
例3：已知a＝（4，3），b＝（－1，2）．
（1）求a與b夾角的余弦值；
（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求實數(shù)λ的值．

解：（1）因為a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，設a與b的夾角為θ，所以cos θ＝＝＝．
（2）因為a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8），
又（a－λb）⊥（2a＋b），
所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，所以λ＝．
三、學習小結(jié)
1．平面向量數(shù)量積的坐標表示
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a·b＝x1x2＋y1y2．
即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和．
2．兩個公式、一個充要條件
（1）向量的模長公式：若a＝（x，y），則|a|＝．
（2）向量的夾角公式：設a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a與b的夾角，則cos θ＝＝．
（3）兩個向量垂直的充要條件
設非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
四、精煉反饋
1．已知向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)·b＝2 B．a(chǎn)∥b
C．b⊥（a＋b） D．|a|＝|b|
解析：選C．因為向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），設b＝（x，y），則解得所以b＝（－1，－1），a＋b＝（1，－1），b·（a＋b）＝－1×1＋（－1）×（－1）＝0，所以b⊥（a＋b）．
2．在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，＝（1，－2），＝（2，1），則·＝________．
解析：由四邊形ABCD為平行四邊形，知＝＋＝（3，－1），故·＝（2，1）·（3，－1）＝5．
答案：5
3．已知a＝（1，），b＝（2，m）．
（1）當3a－2b與a垂直時，求m的值；
（2）當a與b的夾角為120°時，求m的值．
解：（1）由題意得3a－2b＝（－1，3－2m），
由3a－2b與a垂直，得－1＋9－2m＝0，
所以m＝．
（2）由題意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝2＋m，
所以cos 120°＝＝＝－，
整理得2＋m＋＝0，
化簡得m2＋2m＝0，
解得m＝－2或m＝0（舍去）．
所以m＝－2．

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6.3 平面向量基本定理及坐標表示

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