教學基本信息
課題
10.1.4隨機事件與概率（第四課時）
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書數(shù)學必修第二冊（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
教學目標及教學重點、難點
教學目標：
1．理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則；
2．通過類比函數(shù)的性質，揭示事件的關系與運算，研究概率的性質，培養(yǎng)學生的類比與歸納的數(shù)學思想，提升從特殊到一般的分析問題的能力；
3．用實際問題，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．
教學重點：概率的性質
教學難點：概率的性質與運用
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
引入
一般而言，給出了一個數(shù)學對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個數(shù)學對象的性質．例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、特殊點的函數(shù)值等性質，這些性質在解決問題時可以發(fā)揮很大的作用．
類似的，在給出概率的定義后，我們來研究概率的基本性質．
介紹本節(jié)課的研究方法：從定義出發(fā)，研究概率的基本性質．
新課
思考1：從概率的定義出發(fā)，可以研究概率的哪些性質？
由概率的定義可知，
因為
所以：任何事件的概率都是非負的；即．
性質1 對任意事件A，都有．
在每次實驗中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會發(fā)生．得到特殊事件的概率：
性質2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，
即，．
在“事件的運算和關系”中，我們研究過事件的某些關系，具有這些關系的事件，它們的概率之間會有什么關系呢？
思考2設事件A與事件B互斥，和事件的概率與事件A，B的概率之間具有怎樣的關系？
為了同學們方便完成這個探究問題，請大家看我們已經做過的一個題目：
一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中2個紅球（標號為1和2），2個綠球（標號為3和4）從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．求下列事件的概率：
事件R=“兩次都摸到紅球”；
（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，
（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”．
分析：用數(shù)組(x,y)表示摸球的結果，
x是第一次摸到的球的標號，
y是第二次摸到的球的標號，
則樣本空間Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．
n(Ω)=12．
解：（1）事件R=“兩次都摸到紅球”，
所以R={(1,2)，(2,1)}，
n(R)=2，n(Ω)=12，
所以，．
（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，
所以G={(3,4)，(4,3)}，
n(G)=2，n(Ω)=12，
所以，．
（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”，
所以，
n()=4，n(Ω)=12，
所以，．
回顧解題過程：
事件R與事件G是互斥事件，
所以，事件R與G的和事件包含的樣本點恰好是事件R包含的樣本點和事件G包含的樣本點；
所以，4==2+2，
將上式的每一項都除以n(Ω)：
由概率的定義，可得：．
因此，從特殊到一般，如果A、B是一個隨機試驗中的兩個互斥事件，那么A與B不含有相同的樣本點，所以，這等價于，即兩個互斥事件的和事件的概率等于這兩個事件概率之和．
所以，我們有互斥事件的概率加法公式：
性質3 如果事件A與事件B互斥，那么
互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個事件的情況．如果事件兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個事件分別發(fā)生的概率值和，即．
回到剛才的問題：
一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中2個紅球（標號為1和2），2個綠球（標號為3和4）從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．事件N=“兩個球顏色不相同”，求P(N)．
解：事件N是兩個球顏色不相同，
所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，
(3,2)，(4,2)}，
n(N)=8，n(Ω)=12，
所以，．
還可以用其他方法求事件N的概率嗎？
事件M與事件N互為對立事件，
所以，，．
所以，．
所以，．
如果A、B是一個隨機試驗中的兩個對立事件，用同樣的方法可以證明：．
由此得到：
性質4 如果事件A與事件B互為對立事件，那么
，．
例 從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，設事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”．求
（1）C=“抽到紅花色”，求P(C)；
（2）D=“抽到黑花色”，求P(D)．
分析：（1）一副不包含大小王的撲克牌，有紅心，方片，黑桃，梅花四種花色，事件C是抽到紅花色，即抽到紅心或方片，所以，
因為隨機抽取一張撲克牌，抽到紅心和方片是不可能同時發(fā)生的，所以事件A與事件B是互斥事件，
根據互斥事件的概率加法公式，即可得到
．
事件A=“抽到紅心”，紅心從A到k共有13張，
由概率的定義，可知，
同理，．
所以，．
解：（1）因為，且A與B不會同時發(fā)生，
所以A與B是互斥事件．
根據互斥事件的概率加法公式，
得．
分析：（2）事件D抽到黑花色，與事件C抽到紅花色，是不可能同時發(fā)生的，而且從一副撲克牌中隨機抽取一張，不是黑花色就是紅花色，也必然發(fā)生其中之一，所以事件C與事件D互為對立事件．
由對立事件的概率公式，可得．
由（1）知，，
所以，．
解：（2）因為C與D互斥，又因為C∪D是必然事件，
所以C與D互為對立事件．
因此．
思考3 一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中2個紅球（標號為1和2），2個綠球（標號為3和4）從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R=“兩次都摸到紅球”，事件R1與事件R有什么關系？他們的概率又具有怎樣的關系？
分析：事件R1=第一次摸到紅球，
所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，
事件R=兩次都摸到紅球，
所以R={(1,2)，(2,1)}，，
所以，對于事件R與R1，，
即事件R發(fā)生，則事件R1一定發(fā)生，
且，
于是，
由概率的定義，得到：．
所以，對于一個隨機試驗中的兩個事件A、B，如果，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率不超過事件B發(fā)生的概率．于是我們有概率的單調性：
性質5 如果，那么．
由性質5可得：對于任意事件A，因為，所以．
思考4：一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中2個紅球（標號為1和2），2個綠球（標號為3和4）從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R2=“第二次摸到紅球”，那么與之間有什么關系？
分析：事件R1=第一次摸到紅球，
所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，
，
所以，．
事件R2=第二次摸到紅球，
所以R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，
，
所以，．
和事件R1∪R2=“兩個球中有紅球”，
所以R1∪R2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
，
所以，．
通過計算我們發(fā)現(xiàn)：．
為什么不相等呢？
因為，={(1,2)，(2,1)}，
所以事件R1與事件R2 不是互斥事件，
不能用互斥事件的概率加法公式計算和事件的概率．
那么如何計算呢？
對三類事件的樣本點進行分析，可以發(fā)現(xiàn)：
，，，
因為={(1,2)，(2,1)}，，
所以：．
將上式的每一項都除以n(Ω)：
．
由概率的定義，可得：
．
于是，我們得到，一個隨機試驗中兩個不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式：
性質6 設A、B是一個隨機試驗中的兩個事件，我們有
．
顯然，性質是性質的特殊情況．
說明本節(jié)課的研究內容及研究方法．
概率的取值范圍
特殊事件的概率
以古典概型概率的定義為出發(fā)點，采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性質
性質---互斥關系的事件概率間的關系
利用性質3推出性質4----對立關系的事件概率間的關系
想要正確的運用我們學習的這兩個公式，需要分析清楚事件之間的基本關系，明確公式成立的條件，才能利用相應的性質，使問題迎刃而解．
利用定義推導具有包含關系的事件之間概率關系
性質5--包含關系的事件概率間的關系，
完善概率的取值范圍．
由具體實例出發(fā)研究，一個隨機試驗中兩個不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式．
由特殊到一般得到性質6，一個隨機試驗中的兩個事件概率的關系．
例題
例、為了推廣一種新飲料，某飲料生產企業(yè)開展了有獎促銷活動：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎的飲料，若從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率為多少？
分析：從一箱中隨機抽出2罐飲料，共有4種情況：
第一種情況：兩罐都中獎；
第二種情況：第一罐中獎，第二罐不中獎；
第三種情況：第一罐不中獎，第二罐中獎；
第四種情況：兩罐都不中獎．
在一次試驗中，有一種情況發(fā)生，則另外三種情況不可能同時發(fā)生．
從一箱中隨機抽出2罐能夠中獎的飲料，包含前三種情況．
解：我們不妨用事件A=“中獎”，事件“第一罐中獎”，事件“第二罐中獎”，那么事件=“兩罐都中獎”，事件=“第一罐中獎，第二罐不中獎”，事件=“第一罐不中獎，第二罐中獎”，且．
因為兩兩互斥，
所以根據互斥事件的概率加法公式，可得
．
借助樹狀圖，來求相應事件的樣本點數(shù)．
樣本空間包含的樣本點總個數(shù)，
每個樣本點都是等可能的，是古典概型問題．
因為，
所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：．
所以，從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率等于．
上述解法需要分若干種情況計算概率，有沒有更簡便的方法呢？對于這個問題也可以這樣進行思考：
分析：事件A=“中獎”的對立事件是“不中獎”，即“兩罐都不中獎”，所以只要求出兩罐都不中獎的概率，這樣就可以利用對立事件的概率公式來求事件A=“中獎”發(fā)生的概率．
另解：事件=“兩罐都不中獎”，
通過樹狀圖，可得：，
由概率的定義，可得，
因此，利用對立事件的概率公式，可得
．
所以，從一箱中隨機抽出2罐，能中獎的概率等于．
利用互斥事件、對立事件概率公式解決問題
遇到一個較復雜的概率問題，首先要不重不漏地將試驗結果分類，用簡單事件表示復雜事件，分析清楚事件的關系和運算，再利用概率的性質，運用公式進行計算．
總結
以古典概型為具體的實例支撐，由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關系（互斥、對立、包含）時，它們的概率之間的關系，得到概率的6條性質，利用概率的性質，可以簡化概率的計算．
作業(yè)
已知．
（1）如果，那么 ， ．
（2）如果互斥，那么 ， ．
指出下列表述中的錯誤：
（1）某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率是0.5；
（2）如果事件A與事件B互斥，那么一定有．
在學校運動會開幕式上，100名學生組成一個方陣進
行表演，他們按照性別（M（男），F(xiàn)（女））及年級（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分類統(tǒng)計的人數(shù)如下表：
G1
G2
G3
M
18
20
14
F
17
24
7
若從這100名學生中隨機選一名學生，求下列概率：
， ， ， ，
， ，
．
具有特殊關系的事件，和事件與積事件發(fā)生的概率求解
概率性質的辨析
進一步深化鞏固概率性質的運用

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