教學(xué)基本信息
課題
10.1.2 隨機事件與概率（第二課時）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 中學(xué)
年級
高一
教材
書名： 人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊 出版社：人教社 出版日期： 2019年 6月
教學(xué)目標及教學(xué)重點、難點
教學(xué)目標：
1.了解隨機事件的包含、并、交、互斥和對立的含義，會進行隨機事件的并、交運算；
2.結(jié)合實例，通過類比集合的關(guān)系和運算，認識隨機事件關(guān)系與運算，發(fā)展邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
3.在用簡單事件表示復(fù)雜事件的過程中，提升提出問題、分析問題、解決問題的能力.
教學(xué)重點：事件的關(guān)系與運算的意義.
教學(xué)難點：分析具體實例中隨機事件的關(guān)系，用簡單事件表達復(fù)雜事件.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動
設(shè)置意圖
引入
復(fù)習(xí)
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用樣本空間來刻畫隨機試驗的結(jié)果，將隨機事件看成是樣本空間的子集，并學(xué)會了用適當?shù)姆柋硎驹囼灥臉颖军c，下面我們一起來回顧一下：
例 擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察骰子朝上面的點數(shù).
（1）寫出試驗的樣本空間
（2）用集合表示事件
=“點數(shù)為”，；
=“點數(shù)不大于3”；= “點數(shù)大于3”；
=“點數(shù)為1或2”； =“點數(shù)為2或3”；
答：,,,,,
讓學(xué)生了解到隨機現(xiàn)象在我們身邊是大量存在的,我們學(xué)習(xí)有關(guān)概率知識的目的之一就是要了解和描述類似的現(xiàn)象；增加學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣,了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用；提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識提出問題、分析問題和解決問題的能力。
新課
我們還可以定義很多個隨機事件，同學(xué)們可以嘗試著舉出一些例子，我們可以看到，這些隨機事件有的就是基本事件也就是只包含一個樣本點，比如事件，也有的包含的樣本點多一些，不止一個比如后面這幾個事件，也就是有的簡單，有的復(fù)雜,而我們希望從簡單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率，那么怎么推算呢？要想解決這個問題，我們首先要清楚復(fù)雜的事件是如何用簡單的事件表示的，或者說事件和事件之間有什么樣的關(guān)系？也就是我們需要研究事件之間的關(guān)系和運算.這節(jié)課，我們就一起來學(xué)習(xí)這一內(nèi)容.
問題1：將事件和事件用集合的形式表示，這兩個集合是什么關(guān)系？
師：兩個事件用集合表示為，.這兩個集合的關(guān)系是,
追問：借助集合與集合的關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)這兩個事件有什么聯(lián)系嗎？
回顧前面的學(xué)習(xí)，如何用集合語言解釋一個事件是否發(fā)生？在一次試驗中，當且僅當擲出骰子的點數(shù)屬于集合時就說事件發(fā)生，在一次試驗中，當且僅當擲出骰子的點數(shù)屬于集合時就說事件發(fā)生，而因為集合是集合的子集，也就是事件的樣本點都在事件中，所以可以說如果事件發(fā)生，那么事件總發(fā)生.(PPT)因此，我們也可以借助集合的這個包含符號來表達事件的這種關(guān)系，并且也說這兩個事件具有包含關(guān)系.
1.事件的包含與相等：一般地，若事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，我們就稱事件包含事件 (或事件包含于事件)，
記作(或)可以用圖1表示：
特別地，如果事件包含事件,事件也包含事件,即且，則稱事件與事件相等，記作
師：回顧我們剛才學(xué)習(xí)的過程，我們把它寫在表格里
事件
集合表示
集合關(guān)系
事件的關(guān)系
=“點數(shù)為1”
=“點數(shù)不大于3”
事件發(fā)生則事件一定發(fā)生，記作（）
師：我們先用集合表示事件，然后類比集合的包含關(guān)系，得到了事件的包含關(guān)系.根據(jù)這樣的方法，我們是不是還能定義事件的一些其他的關(guān)系呢？
下面我們來看下面一個問題
問題2. 將事件事件和事件用集合表示，這三個集合之間什么關(guān)系呢？
師：由我們學(xué)過的集合的知識我們能看出來，集合是集合和的并集，可以表示為集合等于集合,什么是并集呢？就是集合的所有元素是由集合和的元素合并在一起構(gòu)成的，一個元素屬于集合或集合，就說它屬于集合.
事件
集合表示
集合關(guān)系
“點數(shù)不大于3”
“點數(shù)為1或2”
“點數(shù)為2或3”
追問：借助集合的這種關(guān)系，你能說說這三個事件有什么聯(lián)系嗎？
從事件的角度說，事件的樣本點和事件的樣本點合在一起就構(gòu)成了事件的樣本點，還可以這樣說，事件和事件只要有一個發(fā)生，或說至少一個發(fā)生，就相當于是事件發(fā)生了，這樣，我們?nèi)匀豢梢灶惐燃系年P(guān)系來定義事件的這種關(guān)系.
2.并事件（或和事件）：一般地，事件與事件B至少有一
個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件與事件B的并事件（或和事件），記作(或).用圖中的綠色區(qū)域與黃色區(qū)域表示這個并事件.
這兒還需要再次強調(diào)的是，至少有一個發(fā)生，什么意思呢？
包含兩種情況，第一種就是A和B這兩個事件有一個發(fā)生，也就是A發(fā)生，B不發(fā)生，或者是B發(fā)生，A不發(fā)生，不管哪個發(fā)生，我們都說A,B的和事件發(fā)生了.
第二種就是這兩個事件同時發(fā)生，出現(xiàn)什么結(jié)果代表同時發(fā)生呢？由韋恩圖我們更好理解，它們兩個相交的部分，代表它們公共的樣本點，如果試驗出現(xiàn)的是公共的樣本點，那么也說它們的和事件發(fā)生了.這自然就讓我們想問，公共的樣本點構(gòu)成的集合所代表的事件，與事件A和事件B有什么關(guān)系呢？我們不難聯(lián)想到可以利用集合的交來定義這種關(guān)系
3.交事件（或積事件）：一般地，事件與事件同時發(fā)生，
這樣的一個事件中的樣本點既在事件中，也在事件中，我們稱這個事件為事件與事件的交事件（或積事件），記作(或).(有時候交集的符號可以省略，記作AB)用圖中的藍色區(qū)域表示這個交事件.
師：比如說，事件與事件和，事件和同時發(fā)生這樣的一個事件包含的樣本點就是擲出2點，相當于事件發(fā)生. 可以表示為，我們說事件是事件和事件的交事件.
說到交事件，我們可以聯(lián)想到，在學(xué)習(xí)集合的知識時，有這樣一種情況，就是兩個集合沒有公共的部分，或者說交集是空集，那么對于兩個事件來說，這又是一種什么關(guān)系呢？還是用剛才的拋擲骰子的隨機試驗來舉例
問題3：拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，借助集合與集合的關(guān)系和運算，你能說說事件與事件有什么聯(lián)系嗎？
師：拋擲質(zhì)地均勻的骰子一次，出現(xiàn)點數(shù)為1和出現(xiàn)點數(shù)為2這兩個事件，如果我們還是用集合來表示它們，這兩個集合之間是不是就是我們剛才說的那種關(guān)系， 什么關(guān)系？用集合怎么表示？），大家想想，我們怎么來定義事件之間的這種關(guān)系呢？（停頓）我們知道，這兩個集合的交集是空集，從事件的角度說，這兩個事件的交事件是不可能事件，也就是說，事件與事件不可能同時發(fā)生(PPT),具有這種關(guān)系的兩個事件，我們稱為是互斥事件或是互不相容事件
事件
集合表示
集合關(guān)系
=“點數(shù)為1”；
=“點數(shù)為2”；
4.互斥（或互不相容）事件：一般地，如果事件與事件不能同時發(fā)生，也就是說是一個不可能事件，即，則稱事件與事件互斥（或互不相容）.用韋恩圖表示為：
問題4：事件與事件互斥么？它們與互斥事件=“點數(shù)為1”與=“點數(shù)為2”的關(guān)系相比有什么不同？
師：我們發(fā)現(xiàn)，集合B1和B2交集為空集，在任何一次試驗中,事件與事件不能同時發(fā)生，所以它們是互斥的，再請同學(xué)們思考，這兩個互斥事件與剛才我們討論的互斥事件=“點數(shù)為1”和=“點數(shù)為2“的關(guān)系相比有什么不同？
大家觀察這兩幅韋恩圖，第一幅圖用橙色圈起來的表示的事件和的集合，第二幅圖，樣本空間被分成兩部分，表示的是事件和的集合，這兩對互斥事件有什么不同？,的并集并不是樣本空間，而事件和除了滿足互斥的條件以外，它們集合的并集就是樣本空間，也就是它們的和事件是必然事件，所以我們得到這樣的結(jié)論，在一次試驗中，要么事件發(fā)生，要么事件發(fā)生，也就是兩者一次試驗中必然有一個發(fā)生，或者說這兩個事件有且僅有一個發(fā)生.我們稱事件與事件互為對立事件.
5.互為對立事件：一般地，如果事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即，且，那么稱事件與事件互為對立.事件的對立事件記為,可以用韋恩圖表示與的關(guān)系.
師：其含義是：事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．
這里，需要給同學(xué)們再一次強調(diào)，兩個事件A,B若想互為對立事件，需要滿足兩個條件，首先它們是互斥的，也就是在任何一次試驗中不能同時發(fā)生，并且還要滿足一個條件，就是必然有一個發(fā)生,具體來說就是如果A不發(fā)生，B就一定發(fā)生，反之B不發(fā)生，A就一定發(fā)生，必須滿足這兩個條件才能說明它們是互為對立事件.
問題5：一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的3個球，顏色分別為紅球、黃球、藍球，從袋中隨機摸出一個球，事件A=“摸出紅球”，B=“摸出藍球”，C=“摸出黃球”，D=“摸出藍球或黃球”.事件A與事件B，事件B與事件C，事件A與事件C之間分別什么關(guān)系?
答：將紅球、黃球、藍球分別用1，2，3表示，則樣本空間為,,,,.
事件A,B,C兩兩互斥,事件A對事件D互為對立.
小結(jié)：對立事件一定互斥，互斥事件不一定對立.
事件的關(guān)系或運算
含義
符號表示
包含
發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生
并事件（和事件）
與至少有一個發(fā)生
或
交事件（積事件）
與同時發(fā)生
或
互斥（互不相容）
與不能同時發(fā)生
互為對立
與有且僅有一個發(fā)生
且
師：類似的，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.例如，對于事件，，,(或)發(fā)生當且僅當，，中至少有一個發(fā)生，(或)發(fā)生當且僅當，，同時發(fā)生，這里我們還可以拓展到n個事件的積事件和和事件，同學(xué)們可以課下查閱相關(guān)資料進行研究.
【設(shè)計意圖】：事件之間的關(guān)系與運算本質(zhì)上就是集合之間的關(guān)系與運算,因此,借助實例幫助學(xué)生理解抽象概念，并且用類比的學(xué)習(xí)方法，從集合的角度、包含樣本點的角度、邏輯的角度等方面多角度理解事件的包含關(guān)系，體現(xiàn)知識間的聯(lián)系，為后續(xù)事件的運算打下方法的基礎(chǔ).
例題
三.例題
例.如圖,由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路,每個元件可能正常或失效.設(shè)事件=“甲元件正?！? =“乙元件正?！?
(1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；
(2)用集合的形式表示事件,以及它們的對立事件；
(3)用集合的形式表示事件和事件,并說明它們的含義及關(guān)系.
分析：注意到試驗由甲、乙兩個元件的狀態(tài)組成,所以可以用數(shù)組表示樣本點.這樣,確定事件,所包含的樣本點時,不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).
解：(1)用分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài),則可以用表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為.
(2)根據(jù)題意,可得,,
.
(3) ,;表示電路工作正常, 表示電路工作不正常；和互為對立事件.
師：根據(jù)例1和例2的研究我們可以總結(jié)出判斷事件關(guān)系的步驟：
(1).確定每個事件包含的結(jié)果，用集合表示；
(2).根據(jù)集合的關(guān)系判斷事件的關(guān)系.
例.一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設(shè)事件=“第一次摸到紅球”, =“第二次摸到紅球”, =“兩次都摸到紅球”, =“兩次都摸到綠球”, =“兩個球顏色相同”, =“兩個球顏色不同”.
(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；
(2)事件與,與,與之間各有什么關(guān)系？
(3)事件與事件的并事件與事件有什么關(guān)系？事件與事件的交事件與事件R有什么關(guān)系？
解：(1)所有的試驗結(jié)果如圖所示.用數(shù)組表示可能的結(jié)果, 是第一次摸到的球的標號, 是第二次摸到的球的標號,則試驗的樣本空間
.
事件=“第一次摸到紅球”,即=1或2，于是
;
事件=“第二次摸到紅球” 即=1或2,于是
同理，有
，
,
,
.
(2)因為所以事件包含事件；
因為,所以事件與事件互斥；
因為,所以事件與事件互為對立事件.
(3)因為所以事件是事件與事件的并事件；
因為所以事件是事件與事件的交事件.
練習(xí)：生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要2道工序，設(shè)事件=“第一道工序加工合格”，事件=“第二道工序加工合格”，用，，，表示下列事件：
=“產(chǎn)品合格”，=“產(chǎn)品不合格”.
解：只有兩道工序加工合格，產(chǎn)品才合格，所以=“產(chǎn)品合格”=;
至少一道工序加工不合格，產(chǎn)品就不合格，所以=“產(chǎn)品不合格”===.
總結(jié)
小結(jié)
師：下面我們一起來回顧這一節(jié)課的內(nèi)容，首先，我們學(xué)習(xí)了事件的關(guān)系或運算的含義，可以用表格表示：
1.
事件的關(guān)系或運算
含義
符號表示
包含
發(fā)生導(dǎo)致發(fā)生
并事件（和事件）
與至少有一個發(fā)生
或
交事件（積事件）
與同時發(fā)生
或
互斥（互不相容）
與不能同時發(fā)生
互為對立
與有且僅有一個發(fā)生
且
這是我們這節(jié)課的重要知識，我們要學(xué)會用集合的運算和關(guān)系描述事件的關(guān)系，判斷事件關(guān)系的步驟：
(1)確定每個事件包含的結(jié)果，用集合表示；
(2)根據(jù)集合的關(guān)系判斷事件的關(guān)系.
可以看到借助集合的關(guān)系和運算可以很清晰的表示復(fù)雜的事件的關(guān)系.
2.在這個研究的過程中，我們采用了類比的思想方法，通過分析特殊的事件的關(guān)系得到一般的結(jié)論,體現(xiàn)了特殊到一般的思想方法.
有了事件的關(guān)系和運算，我們就具備了用簡單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率的基礎(chǔ)，以后我們會進一步進行研究.
作業(yè)
作業(yè)
人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書必修二第233頁練習(xí)：
1.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是( ).
(A)至多一次中靶 (B)兩次都中靶
(C)只有一次中靶 (D)兩次都沒有中靶
解：“至少一次中靶”的對立事件是“兩次都沒有中靶”，所以選D
2.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件:
=“點數(shù)為”，其中；
=“點數(shù)不大于2”，=“點數(shù)大于2”，=“點數(shù)大于4”；
= “點數(shù)為奇數(shù)”= “點數(shù)為偶數(shù)”.
判斷下列結(jié)論是否正確.
（1）與互斥；（2）與為對立事件；（3）；
（4）; （5），；（6）;
（7）；（8），為對立事件；（9）；
（10）.
解：（1）正確；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確；（5）正確；（6）正確；（7）正確；（8）正確；（9）正確；（10）正確；

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10.1 隨機事件與概率

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