教學基本信息
課題
10.3.2隨機模擬
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書數(shù)學必修第二冊（A版 ）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 6 月
教學目標及教學重點、難點
了解產(chǎn)生隨機數(shù)的方法，知道如何利用計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)，會用頻率估計概率；
結(jié)合具體實例，通過隨機模擬試驗，體會用頻率估計概率，理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系；
經(jīng)歷建立和運用隨機模擬方法解決問題的過程，體會隨機模擬思想方法，提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算素養(yǎng).
教學重點：頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別；
教學難點：用隨機模擬方法求概率.
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設(shè)置意圖
引入
同學們，大家好！通過前面的學習，我們知道對于樣本點等可能的試驗，我們可以用古典概型公式計算有關(guān)事件的概率。但在現(xiàn)實中，很多試驗的樣本點往往不是等可能的或者是否等可能不容易判斷，此時無法通過古典概型公式計算有關(guān)事件的概率。因此需要尋找新的求概率的方法。上節(jié)課我們學習了用頻率估計概率，可以用這種方法估計隨機事件發(fā)生的概率.
提出問題，啟發(fā)思考
新課
環(huán)節(jié)1
問題1 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如何估計正面朝上的概率？如何驗證這個結(jié)論？
問題2 如何產(chǎn)生隨機數(shù)？
產(chǎn)生隨機數(shù)的方法有兩種：
由試驗產(chǎn)生的隨機數(shù)
例如我們想要產(chǎn)生0~9之間的隨機整數(shù)，像彩票搖獎那樣，把10個質(zhì)地和大小相同的號碼球放入搖獎器中，充分攪拌后搖出一個球，這個球上的號碼稱為隨機數(shù).
2、利用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)
利用計算器或計算機軟件產(chǎn)生隨機數(shù)是按照確定的算法產(chǎn)生的數(shù)，具有周期性，因此我們把利用計算器或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)稱為偽隨機數(shù).經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，由于偽隨機數(shù)的周期很長，它與真正的隨機數(shù)或隨機數(shù)序列具有類似的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用. 在隨機模擬中，往往需要大量的隨機數(shù)，這時會選擇用計算機產(chǎn)生隨機數(shù).我們根據(jù)不同的隨機試驗構(gòu)建相應的隨機數(shù)模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復試驗了.
下面以拋擲一枚均勻硬幣為例.
首先，建立概率模型，將試驗所有等可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，利用計算機產(chǎn)生取值于集合{0，1}的隨機數(shù)，用0表示拋擲硬幣出現(xiàn)反面朝上，用1表示正面朝上，每次實驗中0，1出現(xiàn)的機會相等，這樣不斷產(chǎn)生0或1，就相當于不斷地做拋擲硬幣的試驗.選定一個空白單元格，然后鍵入，按Enter鍵，則在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的0或1. 用電子表格軟件的自動填充功能，可以快速生成隨機數(shù).按照如上方法，這樣我們很快就得到了100個隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，相當于做了100次隨機試驗.
比起前蘇聯(lián)數(shù)學家手動投擲八萬多次硬幣，利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)模擬試驗，顯然方便快捷很多。
環(huán)節(jié)2
用隨機數(shù)進行簡單隨機抽樣
問題3 要從11件產(chǎn)品中抽取5件進行質(zhì)量檢驗，其中甲產(chǎn)品必須被抽中，如何利用隨機數(shù)表示抽樣過程.
解：
（1）將10件產(chǎn)品進行編號，號碼為1，2，…，10；
（2）用計算器的隨機函數(shù)或利用計算機的隨機函數(shù)產(chǎn)生4個1到10之間的隨機數(shù)（如果有一個重復，只需重新產(chǎn)生一個即可）.
（3）以上號碼就是對應的4件產(chǎn)品，也就是要抽取的對象.
用隨機模擬估計等可能事件的概率
問題4 一個袋中裝有2個紅球和3個白球，這些球除顏色不同外沒有其他差別.從袋中摸出一個球，出現(xiàn)紅球的概率是0.4？如何設(shè)計隨機模擬試驗驗證結(jié)論？
建立概率模型
對于從袋中摸出一個球的試驗，除了具體試驗，我們還可以利用計算器或計算機產(chǎn)生在1~5之間的整數(shù)隨機數(shù)來模擬摸球試驗.用1，2表示紅球，用3，4，5表示白球，不斷產(chǎn)生1~5之間的整數(shù)隨機數(shù)，相當于不斷地做從袋中摸球的試驗.
2、進行模擬試驗
在電子表格軟件中，利用函數(shù)產(chǎn)生隨機數(shù)模擬試驗.
統(tǒng)計試驗結(jié)果
再用電子表格軟件模擬上述摸球試驗的結(jié)果，其中n為實驗次數(shù),nA為摸到紅球的頻數(shù)，fn(A)為摸到紅球的頻率.
用頻率估計概率
畫出頻率折線圖，從圖中可以看出隨著試驗次數(shù)的增加，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于概率0.4.
我們把這種利用隨機模擬解決問題的方法稱為蒙特卡洛（Mnte Carl）方法.
環(huán)節(jié)3
蒙特卡洛（Mnte Carl）方法是在20世紀40年代美國第二次世界大戰(zhàn)期間興起和發(fā)展起來，它的奠基人是研制原子彈“曼哈頓計劃”的成員烏拉姆和馮·諾伊曼.他首創(chuàng)該法用于裂變中的中子隨機擴散進行模擬，并以馳名世界的賭城—摩納哥的蒙特卡洛來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘的色彩.1777年，法國數(shù)學家布豐提出用投針實驗的方法求圓周率 ，這被認為是蒙特卡洛方法的起源.
蒙特卡洛方法的兩大優(yōu)點：一是簡單，省去了反復的數(shù)學推導和演算過程，使得一般人也能夠理解和掌握；二是快速.這兩個優(yōu)點使得蒙特卡洛方法在金融工程學、宏觀經(jīng)濟學、化學、生物、生態(tài)學、社會學等領(lǐng)域應用廣泛.
為引入隨機數(shù)的概念做鋪墊.
了解隨機數(shù)的意義，體會引入的必要性
經(jīng)歷和體會如何用模擬的方法估計概率
例題
例1 從你所在班級任意選出6名同學，調(diào)查他們的出生月份，假設(shè)出生在一月，二月，，十二月是等可能的.設(shè)事件A=“至少有兩人出生月份相同”，設(shè)計一種試驗方法，模擬20次，估計事件A發(fā)生的概率.
解：根據(jù)假設(shè)，每個人的出生月份在12個月中是等可能的，而且 相互之間沒有影響，所以觀察6個人出生月份可以看成重復試驗.
一種方法是可以構(gòu)建如下 有放回摸球試驗進行模擬：在袋子中裝入編號為1，2，…,12的12個球，這些球除編號外沒有什么差別.有放回地 隨機從袋中摸6次球，得到6個數(shù) 代表6個人的出生月份，這就完成了一次模擬試驗.如果這6個數(shù)中至少有2個相同，表示事件A發(fā)生了.
另一種方法是利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù)模擬試驗.例如在電子表格軟件中，利用函數(shù)RANDBETWEEN(1,12)，產(chǎn)生6個數(shù)，分別代表6個人的出生月份，即完成了一次模擬試驗.如此重復20次，相當于做20次重復試驗.
觀察20組數(shù)據(jù)，如果一組中的6個數(shù)至少有2個相同，則表示事件A發(fā)生了.統(tǒng)計20次試驗的結(jié)果，事件A發(fā)生了15次，事件A發(fā)生的頻率為0.75，可以用它估計概率為0.75.事實上，通過理論計算，得到事件A的概率約為0.78.
小結(jié)：當我們用事件A發(fā)生的頻率估計事件A發(fā)生的概率時會存在一定誤差，這是隨機事件發(fā)生的頻率具有隨機性的體現(xiàn).
例2 甲、乙兩人進行一項比賽，假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.4,乙獲勝的概率為0.6，利用計算機模擬試驗，估計三局兩勝制甲獲勝的概率.
問題1如何理解三局兩勝制甲獲勝？
問題2每局比賽甲獲勝的概率為0.4的含義是什么？
分析：若設(shè)事件A為甲贏得比賽，利用計算機產(chǎn)生0到9范圍內(nèi)的10個整數(shù)隨機數(shù)進行模擬試驗，當出現(xiàn)1，2，3，4表示一局比賽甲獲勝．例如產(chǎn)生如下隨機數(shù)，如何估計甲獲勝的概率呢？
4 4 1 7 1 6 5 8 0 9 7 9 8 3 8 6 1 9 6 2 0 6 7 6 5 0 0 3 1 0 5 5 2 3 6 4 0 5 0 5 2 6 6 2 3 8 2 1 9 7 7 5 8 4 1 6 0 7 4 4 9 9 8 3 1 1 4 6 3 2 2 4 2 0 1 4 8 5 8 8 4 5 1 0 9 3 7 2 8 8 7 1 2 3 4 2 9 7 7 7 7 7 8 1 0 7 4 5 3 2 1 4 0 8 3 2 9 8 9 4 0 7 7 2 9 3 8 5 7 9 1 0 7 5 5 3 3 6 1 9 9 5 5 0 9 2 2 6 1 1 9 6 0 5 6 7 6 3 1 3 8 8 0 2 2 0 2 5 3 5 3 8 6 6 0 4 2 0 4 5 3 3 7 8 5 9 4 3 5 1 2 8 3 3
同學們可能會有如下的想法:
第一種想法若將產(chǎn)生的隨機數(shù)三個一組，統(tǒng)計總組數(shù)N及至少有兩個數(shù)字都為1至4的組數(shù)N1，則即為甲獲勝的概率的近似值．
第二種想法是若將產(chǎn)生的隨機數(shù)每三個一組，統(tǒng)計總組數(shù)N及前兩個數(shù)字都為1至4的組數(shù)N1，則即為“甲以2：0獲勝”的概率的近似值．接著再統(tǒng)計前兩個數(shù)字中恰有一個數(shù)字為1至4的組數(shù)M及前兩個數(shù)字中恰有一個數(shù)字為1至4，且第三個數(shù)字也為1至4的組數(shù)M1，則即為“甲以2：1獲勝”的概率的近似值．所以+即為甲獲勝的概率的近似值．
第三種想法是，若將產(chǎn)生的隨機數(shù)兩個一組，統(tǒng)計總組數(shù)N及兩個數(shù)字都為1至4的組數(shù)N1，則即為“甲以2：0獲勝”的概率的近似值．再將產(chǎn)生的隨機數(shù)每三個一組，統(tǒng)計前兩個數(shù)字中恰有一個數(shù)字為1至4的組數(shù)M及前兩個數(shù)字中恰有一個數(shù)字為1至4，且第三個數(shù)字也為1至4的組數(shù)M1，則即為“甲以2：1獲勝”的概率的近似值．
問題3如何估計甲以2：0獲勝的概率？
下面我們利用隨機模擬幫助我們解決這個問題.
（1）若以每兩個隨機數(shù)作為一組樣本點，產(chǎn)生97組隨機數(shù)：
44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 21 97 75 84 16 07 44 99 83 11 56 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 53 36 19 95 50 92 26 11 96 05 67 63 13 88 02 20 25 35 38 66 04 20 45 33 78 59 43 51 28 33
相當于做了97次重復試驗，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了18次.因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.186，用頻率估計概率的近似值為0.186.
（2）若以每三個隨機數(shù)作為一組樣本點，產(chǎn)生64組隨機數(shù)：
441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128
相當于做了64次重復試驗，其中“甲以2：0獲勝”共發(fā)生了11次，因此“甲以2：0獲勝”的頻率為0.172 ，用頻率估計概率的近似值為0.172.事實上，若設(shè)事件Ai表示第i（i = 1，2，3）局比賽甲獲勝，則P(Ai)=0.4，從理論計算得到“甲以2：0獲勝”的概率的精確值為0.16. 這與通過隨機模擬得到的概率的估計值基本吻合.在重復試驗中，試驗次數(shù)越多，頻率接近概率的可能性越大.
問題4 如何估計“甲以2：1獲勝”的概率？
甲需要在前兩局中贏一局輸一局，并贏得第三局.以每三個隨機數(shù)作為一組，觀察64組隨機數(shù)：
441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128
相當于做了64次重復試驗，其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了32次.
其中第三個數(shù)也在1，2，3，4中，表示第三局甲勝，對應的組數(shù)分別是：364，623，821，744，463，201，712，293，922，611，631，022，353.其中“甲以2：1獲勝”發(fā)生了14次，因此“甲以2：1獲勝”的頻率為0.219，用頻率估計概率的近似值為0.219.所以，在三局兩勝制下甲獲勝的概率的近似值為0.172+0.219=0.391.
通過前面的學習，能否自己設(shè)計隨機模擬試驗解決這個問題？
解：設(shè)事件A =“甲獲勝”，事件Ai =“單局比賽甲勝”，則 P(Ai)=0.4（ i = 1，2，3），用計算機產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當出現(xiàn)隨機數(shù)1，2時，表示一局比賽甲獲勝，其概率為0.4. 由于要比賽三場，每三個隨機數(shù)為一組.
例如，產(chǎn)生40組隨機數(shù)：
414 544 114 135 522 525 452 213 255 125 442 534 522 242 323 114 224 344 253 245 415 244 124 315 511 524 451 214 254 115 452 533 521 241 423 134 214 544 255 243
相當于做了40次重復試驗，其中事件A發(fā)生了15次，對應的組數(shù)分別為:114，522，213，125，522，242，114，224，124，511，214，115，521，241，214.
事件A發(fā)生的頻率為0.375，用頻率估計事件A的概率的近似值為0.375.
小結(jié)：用隨機模擬方法得到是試驗中事件A發(fā)生的頻率，它是概率的近似值.事實上，通過理論計算得到事件A的概率的精確值為0.352.當試驗次數(shù)較大時，估計的誤差較小的可能性會更大.
用隨機模擬求概率，感受用頻率估計概率的誤差，進一步理解頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系。
總結(jié)
1、隨機模擬
2、用隨機模擬估計概率的步驟
(1)設(shè)計概率模型.
(2)進行模擬試驗.
(3)統(tǒng)計試驗結(jié)果.
(4)用頻率估計概率
課堂小結(jié)，提升認識
作業(yè)
1、將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲2次，設(shè)事件A=“出現(xiàn)一正一反”，有人認為事件A的概率為，有人認為事件A的概率為.能否設(shè)計隨機模擬試驗，驗證你的猜想？
盒子中僅有4個白球和5個黑球，從中任意取一個球.
(1) “取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？
(2) “取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(4) 設(shè)計一個用計算器或計算機模擬上面取球的試驗，并模擬100次，估計取出的球是白球的概率？
布置作業(yè)
鞏固知識

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10.3 頻率與概率

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