教學(xué)基本信息
課題
隨機(jī)事件與概率（第四課時(shí)）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級(jí)
高一
教材
書名： 普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）


出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：


1．理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則；


2．通過(guò)類比函數(shù)的性質(zhì)，揭示事件的關(guān)系與運(yùn)算，研究概率的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的類比與歸納的數(shù)學(xué)思想，提升從特殊到一般的分析問(wèn)題的能力；


3．用實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．


教學(xué)重點(diǎn)：概率的性質(zhì)


教學(xué)難點(diǎn)：概率的性質(zhì)與運(yùn)用
教學(xué)過(guò)程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)．例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問(wèn)題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用．


類似的，在給出概率的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì)．
介紹本節(jié)課的研究方法：從定義出發(fā)，研究概率的基本性質(zhì)．
新課
思考1：從概率的定義出發(fā)，可以研究概率的哪些性質(zhì)？


由概率的定義可知，


因?yàn)?br/>

所以：任何事件的概率都是非負(fù)的；即．


性質(zhì)1 對(duì)任意事件A，都有．


在每次實(shí)驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生．得到特殊事件的概率：


性質(zhì)2 必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，


即，．





在“事件的運(yùn)算和關(guān)系”中，我們研究過(guò)事件的某些關(guān)系，具有這些關(guān)系的事件，它們的概率之間會(huì)有什么關(guān)系呢？


思考2設(shè)事件A與事件B互斥，和事件的概率與事件A，B的概率之間具有怎樣的關(guān)系？


為了同學(xué)們方便完成這個(gè)探究問(wèn)題，請(qǐng)大家看我們已經(jīng)做過(guò)的一個(gè)題目：


一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．求下列事件的概率：


事件R=“兩次都摸到紅球”；


（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，


（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”．


分析：用數(shù)組(x,y)表示摸球的結(jié)果，


x是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，


y是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，


則樣本空間Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．


n(Ω)=12．


解：（1）事件R=“兩次都摸到紅球”，


所以R={(1,2)，(2,1)}，


n(R)=2，n(Ω)=12，


所以，．


（2）事件G=“兩次都摸到綠球”，


所以G={(3,4)，(4,3)}，


n(G)=2，n(Ω)=12，


所以，．


（3）事件=“兩次摸到的球顏色相同”，


所以，


n()=4，n(Ω)=12，


所以，．


回顧解題過(guò)程：


事件R與事件G是互斥事件，


所以，事件R與G的和事件包含的樣本點(diǎn)恰好是事件R包含的樣本點(diǎn)和事件G包含的樣本點(diǎn)；


所以，4==2+2，


將上式的每一項(xiàng)都除以n(Ω)：





由概率的定義，可得：．


因此，從特殊到一般，如果A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)互斥事件，那么A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以，這等價(jià)于，即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和．


所以，我們有互斥事件的概率加法公式：


性質(zhì)3 如果事件A與事件B互斥，那么





互斥事件的概率加法公式可以推廣到多個(gè)事件的情況．如果事件兩兩互斥，那么事件發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率值和，即．





回到剛才的問(wèn)題：


一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件N=“兩個(gè)球顏色不相同”，求P(N)．


解：事件N是兩個(gè)球顏色不相同，


所以N={(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，


(3,2)，(4,2)}，


n(N)=8，n(Ω)=12，


所以，．





還可以用其他方法求事件N的概率嗎？


事件M與事件N互為對(duì)立事件，


所以，，．


所以，．


所以，．





如果A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)對(duì)立事件，用同樣的方法可以證明：．


由此得到：


性質(zhì)4 如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么


，．





例 從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”．求


（1）C=“抽到紅花色”，求P(C)；


（2）D=“抽到黑花色”，求P(D)．


分析：（1）一副不包含大小王的撲克牌，有紅心，方片，黑桃，梅花四種花色，事件C是抽到紅花色，即抽到紅心或方片，所以，


因?yàn)殡S機(jī)抽取一張撲克牌，抽到紅心和方片是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以事件A與事件B是互斥事件，


根據(jù)互斥事件的概率加法公式，即可得到


．


事件A=“抽到紅心”，紅心從A到k共有13張，


由概率的定義，可知，


同理，．


所以，．


解：（1）因?yàn)椋褹與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，


所以A與B是互斥事件．


根據(jù)互斥事件的概率加法公式，


得．





分析：（2）事件D抽到黑花色，與事件C抽到紅花色，是不可能同時(shí)發(fā)生的，而且從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張，不是黑花色就是紅花色，也必然發(fā)生其中之一，所以事件C與事件D互為對(duì)立事件．


由對(duì)立事件的概率公式，可得．


由（1）知，，


所以，．


解：（2）因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃∪D是必然事件，


所以C與D互為對(duì)立事件．


因此．








思考3 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R=“兩次都摸到紅球”，事件R1與事件R有什么關(guān)系？他們的概率又具有怎樣的關(guān)系？


分析：事件R1=第一次摸到紅球，


所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，，


事件R=兩次都摸到紅球，


所以R={(1,2)，(2,1)}，，


所以，對(duì)于事件R與R1，，


即事件R發(fā)生，則事件R1一定發(fā)生，


且，


于是，


由概率的定義，得到：．


所以，對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件A、B，如果，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率不超過(guò)事件B發(fā)生的概率．于是我們有概率的單調(diào)性：


性質(zhì)5 如果，那么．


由性質(zhì)5可得：對(duì)于任意事件A，因?yàn)?，所以?br/>




思考4：一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），2個(gè)綠球（標(biāo)號(hào)為3和4）從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．事件R1=“第一次摸到紅球”，事件R2=“第二次摸到紅球”，那么與之間有什么關(guān)系？


分析：事件R1=第一次摸到紅球，


所以R1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，


，


所以，．


事件R2=第二次摸到紅球，


所以R2={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}，


，


所以，．


和事件R1∪R2=“兩個(gè)球中有紅球”，


所以R1∪R2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，


，


所以，．


通過(guò)計(jì)算我們發(fā)現(xiàn)：．


為什么不相等呢？


因?yàn)椋?{(1,2)，(2,1)}，


所以事件R1與事件R2 不是互斥事件，


不能用互斥事件的概率加法公式計(jì)算和事件的概率．


那么如何計(jì)算呢？





對(duì)三類事件的樣本點(diǎn)進(jìn)行分析，可以發(fā)現(xiàn)：


，，，


因?yàn)?{(1,2)，(2,1)}，，


所以：．


將上式的每一項(xiàng)都除以n(Ω)：


．


由概率的定義，可得：


．


于是，我們得到，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式：


性質(zhì)6 設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有


．


顯然，性質(zhì)是性質(zhì)的特殊情況．
說(shuō)明本節(jié)課的研究?jī)?nèi)容及研究方法．























概率的取值范圍








特殊事件的概率























































































































以古典概型概率的定義為出發(fā)點(diǎn)，采用由特殊到一般的方法研究概率的基本性質(zhì)












































性質(zhì)---互斥關(guān)系的事件概率間的關(guān)系

























































































利用性質(zhì)3推出性質(zhì)4----對(duì)立關(guān)系的事件概率間的關(guān)系














































































































想要正確的運(yùn)用我們學(xué)習(xí)的這兩個(gè)公式，需要分析清楚事件之間的基本關(guān)系，明確公式成立的條件，才能利用相應(yīng)的性質(zhì)，使問(wèn)題迎刃而解．






























































利用定義推導(dǎo)具有包含關(guān)系的事件之間概率關(guān)系




















性質(zhì)5--包含關(guān)系的事件概率間的關(guān)系，


完善概率的取值范圍．




















































































































由具體實(shí)例出發(fā)研究，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中兩個(gè)不互斥的事件，它們的和事件發(fā)生的概率公式．



































由特殊到一般得到性質(zhì)6，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件概率的關(guān)系．
例題
例、為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料，若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？


分析：從一箱中隨機(jī)抽出2罐飲料，共有4種情況：


第一種情況：兩罐都中獎(jiǎng)；


第二種情況：第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)；


第三種情況：第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)；


第四種情況：兩罐都不中獎(jiǎng)．


在一次試驗(yàn)中，有一種情況發(fā)生，則另外三種情況不可能同時(shí)發(fā)生．


從一箱中隨機(jī)抽出2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料，包含前三種情況．


解：我們不妨用事件A=“中獎(jiǎng)”，事件“第一罐中獎(jiǎng)”，事件“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件=“兩罐都中獎(jiǎng)”，事件=“第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)”，事件=“第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且．


因?yàn)閮蓛苫コ猓?br/>

所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得


．


借助樹狀圖，來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù)．





樣本空間包含的樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)，


每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的，是古典概型問(wèn)題．


因?yàn)椋?br/>

所以利用互斥事件的概率加法公式，可得：．


所以，從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率等于．





上述解法需要分若干種情況計(jì)算概率，有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的方法呢？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題也可以這樣進(jìn)行思考：


分析：事件A=“中獎(jiǎng)”的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，所以只要求出兩罐都不中獎(jiǎng)的概率，這樣就可以利用對(duì)立事件的概率公式來(lái)求事件A=“中獎(jiǎng)”發(fā)生的概率．


另解：事件=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，


通過(guò)樹狀圖，可得：，


由概率的定義，可得，


因此，利用對(duì)立事件的概率公式，可得


．


所以，從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率等于．






























利用互斥事件、對(duì)立事件概率公式解決問(wèn)題
































































































































遇到一個(gè)較復(fù)雜的概率問(wèn)題，首先要不重不漏地將試驗(yàn)結(jié)果分類，用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件，分析清楚事件的關(guān)系和運(yùn)算，再利用概率的性質(zhì)，運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算．
總結(jié)
以古典概型為具體的實(shí)例支撐，由特殊到一般地研究概率的研究概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系（互斥、對(duì)立、包含）時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系，得到概率的6條性質(zhì)，利用概率的性質(zhì)，可以簡(jiǎn)化概率的計(jì)算．
作業(yè)
已知．


（1）如果，那么 ， ．


（2）如果互斥，那么 ， ．


指出下列表述中的錯(cuò)誤：


（1）某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率是0.5；


（2）如果事件A與事件B互斥，那么一定有．


在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，100名學(xué)生組成一個(gè)方陣進(jìn)


行表演，他們按照性別（M（男），F(xiàn)（女））及年級(jí)（G1（高一）、G2（高二）、G3（高三））分類統(tǒng)計(jì)的人數(shù)如下表：



G1
G2
G3

M
18
20
14

F
17
24
7

若從這100名學(xué)生中隨機(jī)選一名學(xué)生，求下列概率：


， ， ， ，


， ，


．
具有特殊關(guān)系的事件，和事件與積事件發(fā)生的概率求解











概率性質(zhì)的辨析

















進(jìn)一步深化鞏固概率性質(zhì)的運(yùn)用










































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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.1 隨機(jī)事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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