教學(xué)基本信息
課題
10.1.3隨機(jī)事件與概率（第三課時(shí)）
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段： 高中
年級(jí)
高一
教材
書(shū)名： 普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解古典概型的概念和基本特征，會(huì)計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率；
2．通過(guò)具體問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，提升從具體到抽象，從特殊到一般的分析問(wèn)題的能力；
3．用實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思維，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
教學(xué)重點(diǎn)：古典概型的概念
教學(xué)難點(diǎn)：確定隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間
教學(xué)過(guò)程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
研究隨機(jī)現(xiàn)象，最重要的是知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小．
對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率，事件A的概率用P(A)表示?
我們知道，通過(guò)試驗(yàn)和觀察的方法可以得到一些事件的概率估計(jì)．但這種方法耗時(shí)多，而且得到的僅是概率的近似值．能否通過(guò)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計(jì)算隨機(jī)事件的概率呢？
設(shè)置問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考．
新課
思考 以下三個(gè)試驗(yàn)，它們的共同特征有哪些？
1．袋子中裝有10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，2，…，9，隨機(jī)取出一個(gè)球，觀察球的號(hào)碼；
2．拋擲一枚均勻的硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上；
3．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù)．
通過(guò)對(duì)這三個(gè)試驗(yàn)的觀察，我們發(fā)現(xiàn)他們的樣本空間的樣本點(diǎn)都是有限的，而且每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性都是相等的．
所以，我們將具有：
有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．
下面我們就來(lái)研究古典概型：
問(wèn)題1 一個(gè)班級(jí)中有18名男生、22名女生，采用抽簽的方式，從中隨機(jī)選擇一名學(xué)生，事件A＝“抽到男生”，如何度量事件A發(fā)生的可能性大??？
分析：班級(jí)中共有40名學(xué)生，從中選擇一名學(xué)生，因?yàn)槭请S機(jī)選取的，所以選到每個(gè)學(xué)生的可能性都相等，這是一個(gè)古典概型．
抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級(jí)學(xué)生數(shù)中所占的比例大?。虼耍梢杂媚猩鷶?shù)與班級(jí)學(xué)生數(shù)的比值來(lái)度量．
解：樣本空間中有40個(gè)樣本點(diǎn)，
事件A＝“抽到男生”包含18個(gè)樣本點(diǎn)．
因此，事件A發(fā)生的可能性大小為．
由事件的概率的定義，可得事件A 的概率是．
問(wèn)題2 拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣3次，事件B＝“恰好一次正面朝上”．如何度量事件B發(fā)生的可能性大??？
分析：我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}，共有8個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型．
事件B發(fā)生的可能性大小，取決于這個(gè)事件包含的樣本點(diǎn)在樣本空間包含的樣本點(diǎn)中所占的比例大小．因此，可以用事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值來(lái)度量．
解：樣本空間共有8個(gè)有限的樣本點(diǎn)，
因?yàn)槭录﨎＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，
所以，事件B發(fā)生的可能性大小為．
由事件的概率的定義，可得事件B的概率是．
由問(wèn)題1及問(wèn)題2可知，判斷一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，就是要看它的樣本空間及樣本點(diǎn)是否具有有限性和等可能性，而古典概型的計(jì)算，利用我們初中已有經(jīng)驗(yàn)，可用事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含的樣本總數(shù)的比值來(lái)度量．
由此，可以得到：
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率
n(A)表示事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，
n(Ω)表示樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)．
法國(guó)的數(shù)學(xué)家拉普拉斯，在1812年把該式作為概率的一般定義，現(xiàn)在我們稱它為概率的古典定義．概率的定義還有概率的公理化定義、幾何定義、統(tǒng)計(jì)定義等．
回憶簡(jiǎn)單隨機(jī)試驗(yàn)，思考它們的共同特征，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)的能力．
提供簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生分析是否符合古典概型的基本特征，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，思考如何求解古典概型事件的概率．
從具體實(shí)例抽象、歸納古典概型的概率，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．
例題
例 單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案．如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案．假設(shè)考生有一題不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率是多少？
分析：因?yàn)榭忌粫?huì)做，讓他隨機(jī)的選擇一個(gè)答案，可能會(huì)選擇A、B、C、D中的任意一項(xiàng)，共4種可能結(jié)果，
所以，樣本空間Ω＝{A，B，C，D}，樣本點(diǎn)是有限的．
考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，表明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等，滿足等可能性，
所以這是古典概型．
解：設(shè)事件M＝“選中正確答案”，
樣本空間Ω＝{A，B，C，D}，n(Ω)＝4，
因?yàn)檎_答案是唯一的，所以n(M)＝1，
所以，．
所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率．
思考 在標(biāo)準(zhǔn)化考試中也有多選題，多選題是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選出所有正確的答案（四個(gè)選項(xiàng)中至少有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）．你認(rèn)為單選題和多選題哪種更難選對(duì)？為什么？
結(jié)果很顯然，一定是多選題的難度更大．
分析：因?yàn)橛蠥，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)的多選題，如果至少有一個(gè)選項(xiàng)正確，可以分為以下四類：
①若答案只有一個(gè)選項(xiàng)，可能的選擇是：A，B，C， D，共4種結(jié)果；
②若答案含有兩個(gè)選項(xiàng)，可能的選擇是： AB， AC， AD， BC， BD，CD，共6種結(jié)果；
③若答案含有三個(gè)選項(xiàng)，可能的選擇是： ABC， ABD， ACD，BCD，共4種結(jié)果；
④若答案含有四個(gè)選項(xiàng)，可能的選擇是： ABCD，只有1種結(jié)果，
所有可能的選擇共15種結(jié)果，即n(Ω)=15．
因?yàn)檎_答案是唯一的，所以答對(duì)多選題包含的樣本點(diǎn)數(shù)為1，
所以在不知道答案時(shí)，答對(duì)多選題的概率是．
相比單選題猜對(duì)答案的概率要小很多，
所以答對(duì)多選題，會(huì)更難．
例 拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(標(biāo)記為 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I號(hào)和 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II號(hào))，觀察兩枚骰子分別可能出現(xiàn)的基本結(jié)果．
（1）寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并判斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；
（2）求下列事件的概率：
A＝“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5”；
B＝“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等”；
C＝“I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于Ⅱ號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”．
分析：拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與Ⅱ號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果．
用有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）表示擲兩枚骰子試驗(yàn)的結(jié)果，m表示I號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，n表示Ⅱ號(hào)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．
可以用初中所學(xué)過(guò)的列表法將樣本空間的樣本點(diǎn)都列舉出來(lái)．
m
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
n
m
解：樣本空間Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，n(Ω)=36，樣本點(diǎn)有限．
由于骰子的質(zhì)地均勻，所以各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型．
因?yàn)锳＝｛(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
所以n(A)＝4，
所以，．
因?yàn)锽＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，
所以n(B)＝6，
所以，．
因?yàn)镃={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，
所以n(C)＝15，
所以，．

思考 如果在上例中，不給兩枚骰子標(biāo)上記號(hào)，會(huì)出現(xiàn)什么情況？你能解釋其中的原因嗎？
如果不給兩枚骰子標(biāo)上記號(hào)，則不能區(qū)分所拋擲出的兩個(gè)點(diǎn)數(shù)分別屬于哪枚骰子，例如，拋擲出的結(jié)果是1點(diǎn)和2點(diǎn)，有可能第一枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)，也有可能第二枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)．這樣（1，2）和（2，1）兩個(gè)樣本點(diǎn)的結(jié)果將無(wú)法區(qū)別．樣本點(diǎn)（1，1）和（1，2）發(fā)生的可能性大小也不相等，所以，不是古典概型．
根據(jù)古典概型的基本特征，我們知道每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相等的，所以無(wú)論骰子標(biāo)號(hào)還是不標(biāo)號(hào)，都應(yīng)該按照標(biāo)號(hào)來(lái)做．
歸納：求解古典概型問(wèn)題的一般思路：
(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)（字母、數(shù)字、數(shù)組等）表示試驗(yàn)的可能結(jié)果（借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果）；
(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性；
(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．
例 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求下列事件的概率:
(1)A＝“第一次摸到紅球”；
(2)B＝“第二次摸到紅球”；
(3)AB＝“兩次都摸到紅球”．
解：將兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，三個(gè)黃球編號(hào)為3，4，5．第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)都有4種等可能的結(jié)果．
將兩次摸球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，可用下表表示：
第一次
第二次
1
2
3
4
5
1
×
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，1)
×
(2，3)
(2，4)
(2，5)
3
(3，1)
(3，2)
×
(3，1)
(3，5)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
×
(4，5)
5
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
×
第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1，2行)，
即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}
所以，．
第二次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種(表中第1、2列)，
即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}
所以，．
事件AB包含2個(gè)可能結(jié)果，
即AB＝{(1，2)，(2，1)}，
所以，．
變式1 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中有放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，求事件AB＝“兩次都摸到紅球”的概率．
分析：將兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，三個(gè)黃球編號(hào)為3，4，5．那么第一次摸球時(shí)有5種等可能的結(jié)果，因?yàn)閺闹杏蟹呕氐匾来坞S機(jī)摸出2個(gè)球，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，第二次摸球時(shí)也有5種等可能的結(jié)果．
解：用m表示第一次摸球出現(xiàn)的數(shù)字，用n表示第二次摸球出現(xiàn)的數(shù)字，用數(shù)組（m，n）來(lái)表示兩次摸球的結(jié)果，樣本空間Ω1＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5}}，n(Ω1)=25，
事件AB＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，n(AB)=4，
所以，．
變式2 袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，從中同時(shí)摸出2個(gè)球，求事件AB＝“兩次都摸到紅球”的概率．
分析：將兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，三個(gè)黃球編號(hào)為3，4，5．同時(shí)摸出2個(gè)球，（1，2）和（2，1）都代表摸出1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)紅球，與順序無(wú)關(guān)，是同一個(gè)樣本點(diǎn)，所以樣本點(diǎn)具有無(wú)序性，
解：樣本空間Ω2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，n(Ω2)=10，
事件AB＝{(1，2)}，n(AB)=1，
所以，．
通過(guò)這個(gè)例題，我們知道想要求出某事件的概率，一定要首先明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，分析清楚試驗(yàn)的樣本空間是解決概率問(wèn)題重要前提．
通過(guò)列舉法寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間，熟悉用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)解題過(guò)程．
通過(guò)對(duì)多選題猜對(duì)答案的問(wèn)題思考，激發(fā)學(xué)生的求解興趣，體會(huì)概率越小，猜對(duì)答案越難．
理解古典概型的兩個(gè)基本特征，利用表格列舉出樣本空間，分析隨機(jī)事件的包含的樣本點(diǎn)，用古典概型的概率求解．
提出疑義，使學(xué)生深入思考．
深化鞏固古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)，使得學(xué)生認(rèn)識(shí)到在求解古典概型的概率時(shí)，要先判斷是否是古典概型，然后再計(jì)算．
通過(guò)歸納求解古典概型問(wèn)題的一般思路，
提升學(xué)生歸納、總結(jié)的能力．
這是典型的不放回摸球問(wèn)題，深化鞏固對(duì)古典概型及其概率計(jì)算公式的理解，用列舉法寫(xiě)出樣本空間和隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)．
提出質(zhì)疑，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索
求事件的概率，要首先明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，分析清楚試驗(yàn)的樣本空間
總結(jié)
1．古典概率的概念；
2．概率的定義；
3．求解古典概型問(wèn)題的一般思路．
通過(guò)學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容的回顧與小結(jié)，使知識(shí)系統(tǒng)化，提升歸納、總結(jié)的能力．
作業(yè)
1．從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人．
(1)分別寫(xiě)出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間；
(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率．
2．判斷下面的解答是否正確，并說(shuō)明理由．
某運(yùn)動(dòng)員連續(xù)進(jìn)行兩次飛碟射擊練習(xí)，觀察命中目標(biāo)的情況，用y表示命中，用n表示沒(méi)有命中，那么試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{yy，yn，ny，nn}，因此事件“兩次射擊都命中”的概率為0.25．
3．從52張撲克牌(不含大小王)中隨機(jī)地抽一張牌，計(jì)算下列事件的概率:
(1)抽到的牌是7；
(2)抽到的牌不是7；
(3)抽到的牌是方片；
(4)抽到J或Q或K；
(5)抽到的牌既是紅心又是草花；
(6)抽到的牌比6大比9小；
(7)抽到的牌是紅花色；
(8)抽到的牌是紅花色或黑花色．
4． 從0~9這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)，求下列事件的概率
(1)這個(gè)數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字為1；
(2)這個(gè)數(shù)的四次方的個(gè)位數(shù)字為1．
通過(guò)一個(gè)極端特殊的例子，對(duì)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、無(wú)放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和比例分層隨機(jī)抽樣，計(jì)算極端樣本發(fā)生的概率，通過(guò)比較這3個(gè)概率的大小，說(shuō)明用樣本估計(jì)總體時(shí)，按比例分層抽樣效果最好，而無(wú)放回抽樣比有放回抽樣效果好．
理解古典概型的概念和兩個(gè)基本特征，進(jìn)一步深化鞏固古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率問(wèn)題．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.1 隨機(jī)事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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