人教A版 (2019)10.2 事件的相互獨(dú)立性教學(xué)設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

教學(xué)基本信息
課題
10.2事件的相互獨(dú)立性
學(xué)科
數(shù)學(xué)
學(xué)段：高中
年級
高一
教材
書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊（A版）出版社：人民教育出版社出版日期： 2019年年 6 月
教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)目標(biāo)：
1.結(jié)合有限樣本空間,了解兩個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立的含義；結(jié)合古典概型,利用事件的獨(dú)立性計(jì)算概率；
2.經(jīng)歷事件的相互獨(dú)立性從具體到抽象、從特殊到一般的探究過程,提高數(shù)學(xué)抽象能力、推理論證能力,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).
3.在知識的探究過程中,體會(huì)概率思想,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心..
教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義.
教學(xué)難點(diǎn)：兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義.
教學(xué)過程(表格描述)
教學(xué)環(huán)節(jié)
主要教學(xué)活動(dòng)
設(shè)置意圖
引入
復(fù)習(xí)回顧：
前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率性質(zhì),還研究過和事件的概率計(jì)算方法.我們先來回顧下面四個(gè)問題：
1.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅色球（標(biāo)號為1和2），1個(gè)綠色球（標(biāo)號為3），1個(gè)黃色球（標(biāo)號為4），從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球.設(shè)事件=“摸到紅球”，=“摸到綠球”，=“摸到綠球或黃球”，事件與事件，事件與事件之間各有什么關(guān)系？
師：試驗(yàn)的樣本空間為，
，，
因?yàn)?所以事件與事件互斥；
因?yàn)?所以事件與事件對立.
2.如果事件與事件互斥,和事件的概率與事件,的概率之間具有怎樣的關(guān)系？
3.設(shè),是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,和事件的概率與事件,的概率之間具有怎樣的關(guān)系？
4.設(shè)事件與事件互為對立事件,它們的概率有什么關(guān)系？
,
我們知道,積事件就是事件與事件同時(shí)發(fā)生.因此,積事件發(fā)生的概率一定與事件,發(fā)生的概率有關(guān).本節(jié)課,我們來討論與積事件的概率計(jì)算有關(guān)的問題.
復(fù)習(xí)互斥事件、對立事件概率性質(zhì)、和事件概率計(jì)算的方法,為后面計(jì)算復(fù)雜事件的概率做鋪墊,引出本節(jié)課課題.
新課
（一）事件與事件相互獨(dú)立的定義
試驗(yàn)1：甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，甲袋中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號3和4），乙袋中有1個(gè)紅色球（標(biāo)號1），3個(gè)綠色球（標(biāo)號2、3和4）.從甲乙兩袋中各隨機(jī)摸出一個(gè)球.設(shè)=“甲袋摸到紅色球”,=“乙袋摸到紅色球”.
問題1：你覺得事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率嗎？如果事件不發(fā)生,會(huì)影響事件發(fā)生的概率嗎？
師：顯然,對于試驗(yàn)1,因?yàn)閺膬蓚€(gè)袋子分別摸球,甲袋摸球的結(jié)果與乙袋摸球的結(jié)果互相不受影響,所以事件發(fā)生與否都不會(huì)影響事件發(fā)生的概率.對于試驗(yàn)2:因?yàn)槭怯蟹呕孛?第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響,所以事件發(fā)生與否都不會(huì)影響事件發(fā)生的概率.
問題2：計(jì)算試驗(yàn)1中的,你有什么發(fā)現(xiàn)？
師：因?yàn)?樣本空間
,
,
,
,
所以
,,,
于是有
積事件的概率等于,的乘積.
試驗(yàn)2：一個(gè)袋子中裝有標(biāo)號分別是1,2,3,4的4個(gè)球,除標(biāo)號外沒有其他差異.采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設(shè)=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”,=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”.
問題1：你覺得事件發(fā)生會(huì)影響事件發(fā)生的概率嗎？如果事件不發(fā)生,會(huì)影響事件發(fā)生的概率嗎？
師：因?yàn)槭怯蟹呕孛?第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響,所以事件發(fā)生與否都不會(huì)影響事件發(fā)生的概率.
問題2：計(jì)算試驗(yàn)2中的,你有什么發(fā)現(xiàn)？
師：因?yàn)闃颖究臻g
,
,
,
,
所以
,,,
于是也有
積事件的概率也等于,的乘積.
小結(jié)：這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都滿足：事件和同時(shí)發(fā)生的概率是它們各自發(fā)生概率的乘積.對上述兩個(gè)試驗(yàn)的共同屬性進(jìn)一步抽象概括,我們引入這種事件關(guān)系的一般定義：對任意兩個(gè)事件和,如果
成立,則稱事件和事件相互獨(dú)立,簡稱為獨(dú)立.
思考：必然事件與任意一個(gè)隨機(jī)事件是否相互獨(dú)立？不可能事件與任意一個(gè)隨機(jī)事件是否相互獨(dú)立？
師：因?yàn)楸厝皇录倳?huì)發(fā)生,不會(huì)受任何事件是否發(fā)生的影響；不可能事件總不會(huì)發(fā)生,也不受任何事件是否發(fā)生的影響,并且它們也不影響其他事件是否發(fā)生,所以必然事件與任意一個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立,不可能事件與任意一個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立.
例題：一個(gè)袋子中有標(biāo)號分別為1,2,3,4的4個(gè)球,除標(biāo)號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件=“第一次摸到球的標(biāo)號小于3”,事件=“第二次摸到球的標(biāo)號小于3”,那么事件與事件是否相互獨(dú)立？
解：因?yàn)?br>,
,
,
,
所以
,,
此時(shí),因此事件與事件不獨(dú)立.
小結(jié)：判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立要依據(jù)事件相互獨(dú)立的定義.
例題：天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)：甲、乙兩地都降雨的概率.
解：設(shè)“元旦假期甲地降雨”，“元旦假期乙地降雨”，則“元旦假期甲、乙兩地都降雨”，由題意知，與相互獨(dú)立，所以
即在這段時(shí)間內(nèi)甲、乙兩地都降雨的概率為0.06.
小結(jié)：根據(jù)事件的相互獨(dú)立性，可以計(jì)算積事件發(fā)生的概率
（二）探究事件與事件相互獨(dú)立的性質(zhì)
問題3：互為對立的兩個(gè)事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件與事件相互獨(dú)立,那么它們的對立事件是否也相互獨(dú)立？以問題1的有放回摸球試驗(yàn)為例,分別驗(yàn)證與,與,與是否獨(dú)立,你有什么發(fā)現(xiàn)？
師：對于事件與
因?yàn)?而且與互斥,
所以所以
由事件的獨(dú)立性定義,與相互獨(dú)立.
類似地,可以證明事件與,與,也都相互獨(dú)立.
結(jié)論：如果事件與事件相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立,與,與,也都相互獨(dú)立.這是事件的獨(dú)立性的一個(gè)性質(zhì).
例題：甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽,甲的中靶概率為0.8,乙的中靶概率為0.9,求下列事件的概率：
（1）兩人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）兩人都脫靶；
（4）至少有一人中靶.
分析：設(shè)“甲中靶”,“乙中靶”,則=“甲脫靶”,=“乙脫靶”。從要求的概率可知,需要先分別求,的對立事件,的概率,并利用,,,構(gòu)建相應(yīng)的事件,我們可以借助樹狀圖來完成這個(gè)任務(wù).
由此得到,“兩人都中靶”,“恰好有一人中靶”,“兩人都脫靶”,“至少有一人中靶”,顯然與互為對立事件.
解：設(shè)“甲中靶”,“乙中靶”,則=“甲脫靶”,=“乙脫靶”.由于兩個(gè)人射擊的結(jié)果互不影響,所以與相互獨(dú)立,與,與,與都相互獨(dú)立.
由已知可得,
,,,
（1）“兩人都中靶”,由事件獨(dú)立性定義,得
（2）“恰好有一人中靶”,且與互斥,根據(jù)概率的加法公式和事件獨(dú)立性定義,得
（3）事件“兩人都脫靶”,所以
（4）
方法1：事件“至少有一人中靶”,且,與兩兩互斥,所以
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的對立事件是“兩人都脫靶”,根據(jù)對立事件的性質(zhì),得事件“至少有一人中靶”的概率為
小結(jié)：求復(fù)雜事件的概率時(shí)我們首先要分析清楚隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件，分析基本事件時(shí)可以借助樹狀圖，使得分析更有條理，然后用基本事件表示復(fù)雜事件,再根據(jù)事件獨(dú)立的性質(zhì),計(jì)算較復(fù)雜事件的概率.
選擇兩個(gè)符合獨(dú)立性直觀意義的試驗(yàn),促進(jìn)學(xué)生感悟事件的獨(dú)立性.讓學(xué)生探索兩個(gè)試驗(yàn)中事件,之間關(guān)系的共同數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性在此基礎(chǔ)上,給出兩個(gè)事件相互獨(dú)立的數(shù)學(xué)定義.
根據(jù)定義判斷事件的相互獨(dú)立性,進(jìn)一步討論特殊事件與任意一個(gè)隨機(jī)事件之間的相互獨(dú)立性,以使知識完整化、系統(tǒng)化.
會(huì)判斷給定的兩個(gè)事件是否獨(dú)立,體會(huì)用定義判斷事件的相互獨(dú)立性..
會(huì)利用事件的相互獨(dú)立性計(jì)算概率；
類比事件和事件相互獨(dú)立的問題,得出與事件,相互獨(dú)立彼此等價(jià)的三條性質(zhì).這里提出新的問題,既是知識的自認(rèn)延伸,又體現(xiàn)了一種提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的思考方式.
利用事件獨(dú)立的性質(zhì),計(jì)算較復(fù)雜事件的概率.
例題
例題：甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng),每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語,已知甲每輪猜對的概率為,乙每輪猜對的概率為.在每輪活動(dòng)中,甲和乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對3個(gè)成語的概率.
分析：兩輪活動(dòng)猜對3個(gè)成語,相當(dāng)于事件“甲猜對1個(gè),乙猜對2個(gè)”、事件“甲猜對2個(gè),乙猜對1個(gè)”的和事件發(fā)生.設(shè)表示事件“甲在兩輪中猜對個(gè)成語”；表示事件“乙在兩輪中猜對個(gè)成語”；與獨(dú)立；解題的關(guān)鍵是分別求出和,我們可以借助表格來表示這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).
第一輪
第二輪
猜對個(gè)數(shù)
概率
猜對
猜對
2
猜錯(cuò)
1
猜錯(cuò)
猜對
1
猜錯(cuò)
0
,,
同理可得,,,
解：設(shè),分別表示甲兩輪猜對1個(gè),2個(gè)成語的事件,,分別表示乙兩輪猜對1個(gè),2個(gè)成語的事件.根據(jù)獨(dú)立性假定,得
,
,
設(shè)“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對3個(gè)成語”,則,且與互斥,與,與分別相互獨(dú)立,所以
因此,“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對3個(gè)成語的概率是.
小結(jié)：遇到比較復(fù)雜的概率問題，我們首先要分析清楚隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件，并且基本事件的分析要做到不重不漏，然后用基本事件表示復(fù)雜事件，分析清楚事件之間的關(guān)系，再利用事件的互斥關(guān)系或獨(dú)立關(guān)系的性質(zhì)計(jì)算概率.
讓學(xué)生綜合利用事件的互斥關(guān)系的性質(zhì)與事件的獨(dú)立性計(jì)算兩個(gè)事件積的概率,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣.
總結(jié)
知識總結(jié)：
事件的相互獨(dú)立性
1.定義：對任意兩個(gè)事件和,如果
成立,則稱事件和事件相互獨(dú)立,簡稱為獨(dú)立
2.性質(zhì)：如果事件與事件相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立,事件與,與,也都相互獨(dú)立.這是事件的獨(dú)立性的一個(gè)性質(zhì).
總結(jié)本課知識內(nèi)容
作業(yè)
1.分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)事件“第1枚正面朝上”,事件“第2枚正面朝上”,事件“2枚硬幣朝上的面相同”,,,中哪兩個(gè)相互獨(dú)立？
2.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點(diǎn),且
請驗(yàn)證,,三個(gè)事件兩兩獨(dú)立,但.
3.天氣預(yù)報(bào)元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3,假定在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響,計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)：
（1）甲、乙兩地都不降雨的概率；
（2）至少一個(gè)地方降雨的概率.
4.證明必然事件和不可能事件與任意事件相互獨(dú)立．
鞏固本課所學(xué)知識

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