人教A版 (2019)必修 第二冊10.3 頻率與概率教學設計

這是一份人教A版 (2019)必修 第二冊10.3 頻率與概率教學設計，共8頁。教案主要包含了教學目標，教學重點，教學難點，孟德爾遺傳規(guī)律等內(nèi)容，歡迎下載使用。

教學基本信息
課題
10.3.1頻率的穩(wěn)定性
學科
數(shù)學
學段： 高中
年級
高一
教材
書名： 普通高中教科書·數(shù)學必修第二冊·A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年 6月
教學設計參與人員
姓名
單位
聯(lián)系方式
設計者
趙燕
北京豐臺二中
實施者
趙燕
北京豐臺二中
指導者
康舒真
北京教育學院豐臺分院
課件制作者
其他參與者
教學目標及教學重點、難點
【教學目標】
（1）了解頻率與概率、頻率的特性、概率與頻率的關系，頻率的穩(wěn)定性等，同時結(jié)合實例，會用頻率估計概率；
（2）通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)頻率的特征（隨機性和穩(wěn)定性），提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；
（3）增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗。
【教學重點】
頻率的穩(wěn)定性
【教學難點】
對頻率的穩(wěn)定性規(guī)律的理解
教學過程(表格描述)
教學環(huán)節(jié)
主要教學活動
設置意圖
引入
通過前面的學習，我們知道，對于樣本點等可能的試驗，可以通過用古典概型公式計算有關事件的概率，例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為。但是在現(xiàn)實生活中，很多試驗的樣本點往往不是等可能或者是否等可能不容易判斷。例如，拋擲一枚質(zhì)地不均勻的骰（tu）子，無法判斷“正面朝上”和“反面朝上”是否等可能，或者拋擲一枚圖釘，無法判斷“針尖朝上”和“針尖朝下”是否等可能，在這種情況下就無法通過古典概型公式計算有關事件的概率，需要尋求新的求概率的方法。
引出新課，思考尋求新的求概率的方法
新課
知識回顧
首先我們回顧一下初中關于頻率與概率的關系是怎樣描述的。
歷史上，法國科學家蒲豐、皮爾遜等人做過成千上萬次擲一枚硬幣的實驗。下表中列舉的就是蒲豐、皮爾遜等人做過的擲幣實驗的記錄。
實驗者
擲幣次數(shù)
出現(xiàn)“正面向上”的頻數(shù)
頻率
德·摩根
2048
1061
0.5181
蒲豐
4040
2048
0.5069
德·摩根
4092
2048
0.5005
費勒
10000
4979
0.4979
皮爾遜
12000
6019
0.5016
皮爾遜
24000
12012
0.5005
羅曼諾夫斯基
80640
39699
0.4923
根據(jù)上述蒲豐、皮爾遜等人的擲幣實驗數(shù)據(jù)，“正面向上”發(fā)生的頻率在數(shù)值0.50（“正面向上”的概率）附近擺動。
由此思考：在重復試驗中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關系呢？
知識探索
重復做同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗，設事件=“一個正面朝上，一個反面朝上”，把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個試驗的樣本空間，，所以。
由此可以知道，對確定的隨機事件，其發(fā)生的可能大小是客觀存在的，即事件的概率是唯一確定的一個數(shù)值。
下面我們分步實施試驗，考察隨著試驗次數(shù)的增加，事件的頻率的變化情況，以及頻率與概率的關系。
第一步：每人重復做20次試驗，記錄事件發(fā)生的次數(shù)，計算頻率；
第二步：每7名同學為一組，相互比較試驗結(jié)果，同時思考：每組中4名同學的結(jié)果一樣嗎？為什么會出現(xiàn)這樣的情況？
第三步：各組統(tǒng)計事件發(fā)生的次數(shù)，計算事件發(fā)生頻率，然后匯總數(shù)據(jù)。
在42名學生的共同努力下，我們得到了以下的數(shù)據(jù)，用兩個表格來呈現(xiàn)。
小組序號
試驗總次數(shù)
事件A發(fā)生的次數(shù)
事件A發(fā)生的頻率
1
140
74
0.529
2
140
51
0.364
3
140
78
0.557
4
140
81
0.579
5
140
59
0.421
6
140
80
0.571
合計
840
423
0.504
根據(jù)上面的兩個表格，比較M同學的試驗20次、其所在第1組試驗140次和全班試驗840次的情況下，事件發(fā)生的頻率。思考下面的問題：
各小組的試驗結(jié)果一樣嗎？為什么會出現(xiàn)這種情況？
隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？
我們可以得到如下認識：
通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有隨機性，試驗次數(shù)不同，其頻率可能不同，即使試驗次數(shù)相同，不同的試驗頻率也可能不同；
每人做20次試驗，試驗次數(shù)較少，會發(fā)現(xiàn)頻率不完全相同，而且波動較大（以第1小組為例），如圖：
每個小組做140次試驗，再比較各組得到事件A的頻率，會發(fā)現(xiàn)頻率也不完全相同，但是跟第1組比較，波動變小，如圖：
匯總42名學生的試驗結(jié)果，有840次試驗會發(fā)現(xiàn)頻率0.504非常接近事件A的概率0.5。
下面把42位同學試驗840次得到的數(shù)據(jù)0.504與歷史上數(shù)學家擲幣試驗所得的數(shù)據(jù)做對比。
從整體來看，頻率在概率0.5附近波動。當試驗次數(shù)較少時，波動幅度較大；當試驗次數(shù)較大時，波動幅度較小。但試驗次數(shù)多的波動幅度并不全都比次數(shù)少的小，比如說我們試驗840次的頻率與0.5的差為0.004，而數(shù)學家擲幣2048次的頻率與0.5的差為0.0181，波動要更大。
隨著試驗次數(shù)的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率。我們頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性。因此我們用頻率估計概率。
【資料】雅各布第一·伯努利（Jakb I Bernulli,1654-1705）瑞士數(shù)學家，被公認為概率論的先驅(qū)，他給出了著名的大數(shù)定律。大數(shù)定律闡述了隨著試驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在概率附近。
回顧初中關于頻率與概率關系的描述，從而為進一步思考做準備。

經(jīng)歷重復試驗，收集、整理試驗數(shù)據(jù)，同時利用圖表表示試驗數(shù)據(jù)，通過觀察、比較發(fā)現(xiàn)頻率的特性（隨機性和穩(wěn)定性），提升直觀想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。
通過學生重復試驗產(chǎn)生的真實數(shù)據(jù)，更具有說服力，幫助學生更好的認識頻率與概率的關系。
逐步體會：對確定的隨機事件，其發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，即事件的概率是唯一確定的一個數(shù)值。而事件發(fā)生的頻率卻具有隨機性，試驗次數(shù)不同，其概率的可能不同，即使試驗次數(shù)相同，不同的試驗頻率也可能不同。
進一步體會頻率與概率的關系，用頻率估計概率，比較嚴格的表述為：“當試驗次數(shù)較少時，用頻率估計概率誤差較小的可能性較??；當試驗次數(shù)足夠多時，用頻率估計概率誤差較小的可能性大”。
對于頻率與概率的關系，初中、高中和大學課程中都會出現(xiàn)，學生的認識也是根據(jù)自身的思維發(fā)展水平逐步加深的，閱讀資料中的內(nèi)容可以推動學生的認識，為將來的學習做準備。
例題
例：新生嬰兒性別比是每100名女嬰對應的男嬰數(shù)。通過抽樣調(diào)查得知，我國2014年，2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.
分別估計我國2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；
根據(jù)估計結(jié)果，你認為“生男孩和生女孩是等可能的”這個判斷可靠嗎？
第（1）問分析；
首先我們來看性別比是什么意思？根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，2014年新生兒性別比是115.88，意味著每100名女嬰對應的男嬰數(shù)為115.88，如果樣本中2014年新生兒中女嬰的頻數(shù)為100（為某個正實數(shù)），那么男嬰的頻數(shù)就應該是115.88（為某個正實數(shù)），由此我們可以求出2014年男嬰出生的頻率。
其次根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計男嬰的出生率。
下面先給出第（1）問的解答。
假設在抽查的樣本中，2014年的女嬰數(shù)為100（為某個正實數(shù)），2015年的女嬰數(shù)為100（為某個正實數(shù)）.
2014年男嬰出生的頻率為
,
2015年男嬰出生的頻率為
,
由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，可以估計，我國2014年男嬰出生率約為0.537,2015年男嬰出生率為0.532.
第（2）問分析：
從決定新生兒性別的生物學理論看，“生男孩和生女孩是等可能的”，平常我們也是接受這樣的理論的。這個理論是否絕對正確呢？通過對例題中大量調(diào)查數(shù)據(jù)的分析，來判斷“生男孩和生女孩是等可能的”這個理論是否正確。
根據(jù)第（1）問的計算結(jié)果，可以整理下面的表格：
男嬰出生率
女嬰出生率
2014年
0.537
0.463
2015年
0.532
0.468
發(fā)現(xiàn)生男孩的頻率和生女孩的頻率有明顯的差異，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對男嬰出生率的估計具有較高的可信度。因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論。
當然這樣的判斷還需要經(jīng)過更客觀的假設檢驗加以確認。
這道例題是根據(jù)頻率和概率的關系，利用調(diào)查數(shù)據(jù)來判斷“生男孩和生女孩是等可能的”的正確性。也就是說對于男嬰出生率這樣的隨機現(xiàn)象，根據(jù)生物學知識中有理論概率模型（認為男嬰出生率為0.5），然后通過重復試驗，用頻率進行驗證。
反過來，對某個事件，是不是也可以通過大量重復試驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而建立概率模型呢？
【孟德爾遺傳規(guī)律】
奧地利遺傳學家孟德爾在1858-1865年的8年間做了大量豌豆雜交試驗。他把子葉為黃色和綠色的豌豆雜交，第一年收獲的豌豆的子葉都是黃色的；第二年，當他把第一年收獲的子葉都是黃色的豌豆再種下時，收獲的豌豆的子葉顏色既有黃色也有綠色。同樣地，他把圓粒和皺粒豌豆雜交，第一年收獲的都是圓粒豌豆；第二年，當他把這種雜交圓粒豌豆再種下時，收獲的卻既有圓粒豌豆，又有皺粒豌豆。試驗的具體數(shù)據(jù)如下：
豌豆雜交試驗的子二代結(jié)果
性狀
表現(xiàn)1
表現(xiàn)2
表現(xiàn)1：表現(xiàn)2
子葉的顏色
黃色
6022
綠色
2001
3.01:1
種子的形狀
圓粒
5474
皺粒
1850
2.96:1
為什么表面完全相同的豌豆會長出這樣不同的后代呢？而且每次試驗第二年收獲的結(jié)果比例都接近3:1，非常穩(wěn)定。孟德爾認為其中一定有某種遺傳規(guī)律，經(jīng)過長期的、堅持不懈的研究，孟德爾終于找到了規(guī)律，并提出了一種遺傳機理的概率模型。這一發(fā)現(xiàn)為近代遺傳學奠定了基礎，孟德爾本人也成為遺傳學的奠基人。孟德爾提出的概率模型究竟是怎樣的呢？感興趣的同學可以在課下的時候進一步研究。
【例】
在足球比賽中，若比賽的兩只球隊均非主場球隊，就需要投擲硬幣進行開球的優(yōu)先權(quán)，由雙方隊長各自選擇正反面，猜中的隊優(yōu)先開球。你認為這樣的開球方式公平嗎？
分析：要判斷這種方法是否公平，只要看所選取的方法使這兩個隊選取比賽場地的可能性是否相等即可．因為一枚硬幣只有正反兩面，所以正面朝上或朝下的概率均為，即兩個隊選擇場地的可能性相等，所以這種方法公平．
總結(jié)一下：一個游戲包含兩個隨機事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝。判斷游戲是否公平的標準是事件A和B發(fā)生的概率是否相等。
【問題】在游戲過程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝出300次，而乙卻勝了700次。據(jù)此，乙認為游戲公平，因為當游戲玩了10次時，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；甲認為游戲不公平，因為當游戲玩到1000次時，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.你更支持誰的結(jié)論？為什么？
分析：由于頻率的隨機性，如果玩的次數(shù)較少，難以從雙方獲勝的頻率判斷他們獲勝的概率是否相等；如果玩的次數(shù)足夠多，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，可以以很大的把握從雙方獲勝的頻率判斷他們獲勝的概率是否相等。
相對于10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次游戲的頻率離概率更近。而游戲玩到1000次時，甲乙獲勝的頻率存在較大的差距，所以有理由認為游戲時不公平的，此時支持甲對游戲公平性的判斷比支持乙對游戲公平性的判斷犯錯的可能性要小。因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷。
本例題是根據(jù)頻率和概率的關系，利用調(diào)查數(shù)據(jù)來判斷“生男孩和生女孩是等可能的”的正確性，也就是利用試驗驗證概率模型的合理性。
體會通過試驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律從而建立概率理論模型的思想。
通過足球比賽賽前擲硬幣這一現(xiàn)象，引發(fā)對于公平性的思考。
通過甲乙雙方勝負的頻率來判斷“游戲是否公平”，進一步理解頻率和概率的關系。
總結(jié)
本節(jié)課，我們結(jié)合具體的隨機試驗，通過具體的試驗來認識頻率與概率的關系。概括起來有以下三步：
通過重復試驗，探究頻率的穩(wěn)定性規(guī)律；
頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系；
頻率估計概率的應用實例。
頻率的穩(wěn)定性是概率論的理論基礎，用頻率估計概率是獲得隨機事件概率的方法之一，也是一種重要的概率思想。
通過小結(jié)梳理本節(jié)課的主要內(nèi)容，形成完整的認識。
作業(yè)
1.據(jù)統(tǒng)計ABO血型具有民族和地區(qū)差異。在我國H省調(diào)查了30488人，四種血型的人數(shù)如下：
血型
A
B
O
AB
人數(shù)/人
7704
10765
8970
3049
頻率
計算H省各種血型發(fā)的頻率并填表（精確到0.001）；
如果從H省任意調(diào)查一個人的血型，那么他是O型血的概率大約是多少？
2.用擲兩枚硬幣做勝負游戲，規(guī)定：兩枚硬幣同時出現(xiàn)正面或者同時出現(xiàn)反面算甲勝，一個正面、一個方面算乙勝。這個游戲公平嗎？
通過作業(yè)鞏固本節(jié)課知識。